(第10讲)能观性和可观标准型

现代控制理论(第10讲2009年4月23日)能观性/可观性定义能观性判据能观标准型自动化教研室谭功全[e-mail]四川理工自动化教研室为何要有能控性/能观性的概念？•怎样更好地了解和控制系统？•能控性：控制变量对状态变量的支配能力如何?从任意初始状态出发，在有限时间内，通过施加控制作用，能否使系统状态转移至期望终态？•能观性：输出变量对状态变量的反映能力如何在有限时间内，能否由输出变量的测量值，计算出系统的各个状态？uxyuxxDCBADCBA：),,,([e-mail]四川理工自动化教研室能控/可控性定义•在有限时间内，控制作用能否使系统从初始状态转移到期望状态?如果存在一个控制u(t)，能在有限时间间隔[to,tf]内，使系统从其一初态x(to)转移到任意指定的终态x(tf)，则称此状态x(to)是完全可控的，简称系统可（能）控。（只要有一个状态变量不可控，则系统不可控）。如果所有的初始状态都是完全能控的，则称系统是状态完全能控的。[e-mail]四川理工自动化教研室能控性判别矩阵LTI连续系统则系统状态完全可控的充要条件是定义能控性判别矩阵n是系统的阶数uxyuxxDCBADCBA：),,,(][12BABAABBQnCnrankQC非奇异状态变换不改变系统的能控性[e-mail]四川理工自动化教研室对角标准型的能控性•系统的状态方程是对角型，特征值互异•只要输入矩阵B中没有全为零的行，则系统就是能控的•这是因为：系统完全解耦，各状态变量互不影响，而输入能够直接影响每个状态Review时能控互异、011iinnbbbuxx[e-mail]四川理工自动化教研室Jordan标准型的能控性•要求：各个Jordan块对应的特征值不同•找到每个Jordan块的最后一行，找出输入矩阵中与之对应的行•如果输入矩阵中对应的行不全为零，系统能控。Review，能控中最后一行不等于零时互异、中iiiJJJbubbxx[e-mail]四川理工自动化教研室能控标准型4321043210,10000,10000010000010000010bbbbbaaaaaAcbReview5432143210,00001,10000100001000010000cbaaaaaA第一能控标准型第二能控标准型PPAPPAAAQPncccbbbbb,,111PPAPPAQPnnCccbb,,11111111[e-mail]四川理工自动化教研室Agenda•能观性/可观性定义•能观性/可观性判据•能控、能观与传递函数的关系•对偶原理[e-mail]四川理工自动化教研室能观性vs可物理测量•在实际工程实践中，往往需要知道状态变量，而由于各种原因，不一定都能直接获取,但输出变量总是可以获取和测量的。•能观性——能否通过对输出的测量来确定系统的状态变量？•能观性与物理上能够测量是两个不同的概念。比如，状态变量就不一定都是能测量的物理量。[e-mail]四川理工自动化教研室能观性定义系统在输入u(t)作用下，对任意初始时刻to，若能在有限时间间隔[to,tf]之内，根据从to到tf对系统输出y(t)的观测值和输入u(t)，唯一地确定系统在to时刻的状态x(to)，则称系统是状态完全可观测的，简称系统可（能）观测。（只要有一个状态变量不能（可）观测，则系统不可观测）。0(),(),ftttttuy0()?tx=已知信息能否计算出[e-mail]四川理工自动化教研室研究能观性时，关注A、C矩阵xAxyCx00()(,)(0)(,)()tttttudxΦxΦb研究能观性时，可以只考虑自治系统即，主要关注系统矩阵A、输出矩阵C为什么只要能够确定初时状态即可？由状态转移方程知，初始状态确定后，就能确定其余状态。xAxBuyCxDu系统如右。如果B、D已知，则输入对状态和输出的影响便已知道。为方便起见，可以不予以考虑。[e-mail]四川理工自动化教研室Agenda•能观性/可观性定义•能观性/可观性判据•能控、能观与传递函数的关系•对偶原理[e-mail]四川理工自动化教研室能观性判别矩阵rankonQ(,,,),i.e.xAxBuABCDyCxDuLTI连续系统则系统状态完全能观的充要条件是定义能观性判别矩阵思考：单输入、多输入情况下能观矩阵的维数分别是什么？（n是系统的阶数）1on[e-mail]四川理工自动化教研室真的不能观吗？u2x1y1x2x1x1/s1/s1220111111uyxxx从信号流图（状态图）看，系统似乎是既能控又能观的。系统是不能观的21111111,1102[e-mail]四川理工自动化教研室能观阵小练习解：4510A11C11,rank1255ooCQQCA2111311010uxxyx解：1010-10-102-10-1-2101rank2oo[e-mail]四川理工自动化教研室对角型系统能观的条件11221200bubyccxxx系统状态方程已知。对系统能观矩阵中的系数有什么限制？解：1211221221det()ooccccccCQCAQ。互异、系统能观，需满足0iic[e-mail]四川理工自动化教研室对角标准型中的能观性模态•系统的状态方程是对角型，特征值互异•只要输出矩阵C中没有全为零的列，则系统就是能观的•这是因为：系统完全解耦，各状态变量互不影响，而输出能够反映每个状态700050001320031xxyx能观阵是几维的？[e-mail]四川理工自动化教研室有约当块时系统能观的条件系统状态方程已知。对系统能观矩阵中的系数有什么限制？解：xxx21,01ccy21121cccccAQocc21212121detccccccQo对应输出行不为零。，即约当块第一行所系统能观，需满足01[e-mail]四川理工自动化教研室Jordan型中的能观性模态•要求：各个Jordan块对应的特征值不同•找到每个Jordan块的第一行，找出输出矩阵中与之对应的列•如果输出矩阵中对应的列不全为零，系统能观。1122334421021)3103xxxxxxxx11223401100111xyxyxx112233112)210021xxxxuxx123110xyxx[e-mail]四川理工自动化教研室状态变换不改变系统的能观性xAxBuyCxx=Ax+BuyCxx=Px状态变换rankrankooQQ我们断言即，状态变换不改变系统的能观性。11[e-mail]四川理工自动化教研室能观性系统化为能观标准型•如果系统能观，则一定能通过状态变换，将系统化为能观标准型SISOSystemTuyxAxbcx一定存在非奇异的线性变换x=Px使得变换后的系统成为能观标准型11TuyxPAPxPbcPx但是，一般我们是通过对偶原理来解决这一问题。[e-mail]四川理工自动化教研室SISO系统能观标准型4321043210,10000,10000010000010000010bbbbbaaaaaAccccb5432143210,00001,10000100001000010000cccaaaaaAcb第一能控标准型第二能控标准型TcoTcoTcoAAbccb,,第一能观标准型第二能观标准型[e-mail]四川理工自动化教研室SISO系统能观标准型100,,1100211021102cbnnbbbaaaA001,,101012111101cbnnaaaA第一能观标准型第二能观标准型PPAPPAAAQPTncccbbccc1111111,,PPAPPAAAPnnnccbbccc2121211111,,111[e-mail]四川理工自动化教研室Agenda•能观性/可观性定义•能观性/可观性判据•能控、能观与传递函数的关系•对偶原理[e-mail]四川理工自动化教研室335245345544332221111)()()()(sssssAsIsGbcSISO系统能控能观与传递函数的关系ssssssssAsIA1)(11)(1)(111112123221)(,11该规范型的传递函数为5432154321,cbT、如何理解零极相消？的最小多项式？、如何理解矩阵呢？、能观性问题？的变化如何影响模态的、能控性问题？的变化如何影响模态的、观察：5432121Aji[e-mail]四川理工自动化教研室零极相消时的能控性和能观性232)1)(2(2)(2sssssssG结论：能控不能观能控标准型实现(2.3.19)能观标准型实现(2.3.40)结论：能观不能控1,1212oorankQQ1,1111ccrankQQ2011ssxxx12103210yuxxx01113210yu能控和能观性如何？对角标准型xxx21212001yu0,12211条件[e-mail]四川理工自动化教研室定理定理：系统既能控又能观的充要条件是系统的传递函数中没有零极点相消现象。推论：（1）系统的传递函数是系统中