第七章：应力状态、强度理论

第七章应力状态和强度理论§7–1概述§7–2平面应力状态的应力分析.主应力§7–3空间应力状态的概念§7–4复杂应力状态下的应力--应变关系——（广义虎克定律）§7–5空间应力状态下的应变能密度§7–6强度理论及其相当应力§7–7莫尔强度理论及其相当应力§7–１概述一、引言1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？M低碳钢铸铁PP铸铁拉伸P铸铁压缩2、组合变形杆将怎样破坏？MPtzx原始单元体（已知单元体）例1画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。PPAAsxsxMPxyzBCsxsxBtxzCtxytyx三、强度理论：关于材料破坏规律的假设。二、一点的应力状态：过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为该点的应力状态。构件内一点处的应力状态有无限多的可能性。如何判断应力组合情况下材料的极限应力？§7–2平面应力状态的应力分析.主应力等价sxtxysyxyzxysxtxysyO平面应力状态若单元体有一对平面上的应力等于零，即不等于零的应力分量均处于同一坐标平面内规定：s截面外法线同向为正；t绕研究对象顺时针转为正；逆时针为正。图1设：斜截面面积为dA，由分离体平衡得：Fn00sin)sin(cos)sin(cos)cos(sin)cos(ststsdAdAdAdAdAyyxxxy一、任意斜截面上的应力xysxtxysyOsytxysxstxyOtn图2图1xysxtxysyOsytxysxstxyOtn图2tsssss2sin2cos22xyyxyxtsst2cos2sin2xyyx考虑剪应力互等和三角变换，得：同理：0cos)sin(sin)sin(sin)cos(cos)cos(ststtdAdAdAdAdAyyxxxy可得：§7-2平面应力状态分析——图解法tssttsssss2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyx222222xyyxyxtsstsss对上述方程消去参数（2），得：一、应力圆（StressCircle）此方程曲线称为应力圆（或莫尔应力圆）由德国工程师：OttoMohr引入建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）二、应力圆的画法在坐标系内画出点A(sx，txy)和B(sy，tyx)AB与s轴的交点C便是圆心。以C为圆心，AC为半径画应力圆；OstCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2nD(s,t)sxtxysyxyOnstOstCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2nD(s,t)三、单元体与应力圆的对应关系面上的应力(s，t)应力圆上一点(s，t)两面夹角两半径夹角2；且转向一致。223122xyyxyxROCtssssss）（半径四、在应力圆上标出极值应力22minmax2xyyxRtsstt）（半径OCstA(sx,txy)B(sy,tyx)x21mintmaxt20s1s2s3一点处切应力等于零的截面称为主平面主平面上的正应力称为主应力045成极值剪应力面与主平面s3例1求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa)4532532595150°ABs1s2解：主应力坐标系如图AB的垂直平分线与s轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆0s1s2BAC2s0st(MPa)(MPa)O20MPa)325,45(B)325,95(A在坐标系内画出点s3s1s2BAC2s0st(MPa)(MPa)O20MPa主应力及主平面如图020120321sss3004532532595150°s10s2AB§7–3三向应力状态研究——应力圆法s2s1xyzs31s2s3sst1、空间应力状态2、三向应力分析弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。图a图b整个单元体内的最大剪应力为：tmax231maxssts2s1xyzs31s2s3sst例4求图示单元体的主应力和最大剪应力。解：由单元体图知：yz面为主平面501s建立应力坐标系如图，画应力圆和点s1′,得:285058321sss43maxt5040xyz3010(MPa)s（MPa）tABCABs1s2s3tmax§7–4复杂应力状态下的应力--应变关系——（广义虎克定律）单拉下的应力--应变关系ExxsxyEsxzEs纯剪切的应力--应变关系Gxyxyt)(0x,y,zii0zxyzxyzsxxyztxy应力正负号与方向的重新定义拉应力：拉为正，压为负xyzszsytxysx切应力：若正面（外法线与坐标轴正向一致的平面）上切应力矢的指向与坐标轴正向一致，或负面（外法线与坐标轴负向一致的平面）上的切应力矢的指向与坐标轴负向一致，则该切应力为正，反之为负。三、各向同性材料的应力--应变关系（广义胡克定律）依叠加原理,得:)zyxzyxxEEEEssssss1)xzyyEsss1)yxzzEsss1GxyxytGyzyztGzxzxt)zyxxEsss1xyzszsytxysx对于平面应力状态:)xzyyEsss1)yxzzEsss1GxyxytGyzyztGzxzxt)zyxxEsss10zxyzzttsxyyEss1)yxzEssGxyxytyxxEss1主应力---主应变关系对平面状态下的主应力—主应变:03s由)13221sssE)12331sssE)32111sssE主应力与主应变方向一致1221ssE2111ssE四、平面状态下的应变---应力关系:21211sE12221sE1221ssE2111ssE由03s假设例：已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：1=24010-6，2=–16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为=0.3，试求该点处的主应力及另一主应变。03:s自由面上解MPa3.4410)1603.0240(3.011021016292121sE所以，该点处的平面应力状态MPa3.2010)2403.0160(3.011021016291222sE1s2s;MPa3.20;0;MPa3.44321sss)6913210)3.443.22(102103.0ssE6103.34五、体积应变与应力分量间的关系321aaaV)1()1()1(3322111aaaV3211VVV略去高阶小量，体积应变：)(21)(21321zyxEEssssss体积应变与应力分量间的关系:例：边长a=0.1m的铜立方体，无间隙的放入体积较大、变形忽略的钢凹槽中。已知铜的弹性模量E=100GPa，泊松比=0.34，当受到F=300kN的均布压力作用时，试求铜块的主应力、体应变以及最大切应力。MPaPaAFy3010*306s解：铜块表面的正压力为由于钢凹槽的压力，导致铜块在x,z两个方向上应变为零。)01yxzzEsss)01zyxxEsssMPaPayzx5.15105.151162sss）（联立上面两式可得：MPa5.1521ssMPa303s可得：MPa5.1521ssMPa303s将)(21321sssE代入41095.1)1030105.15105.15(1010034.0216669最大切应力)]1030(105.15[21)(216631maxsstMPaPa25.71025.76例图a所示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的内压力值，容器表面用电阻应变片测得环向应变t=350×10-6，若已知容器平均直径D=500mm，壁厚=10mm，容器材料的E=210GPa，=0.25试求:1.导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式；2.计算容器所受的内压力。pppxs1smlpODxABy图a1、纵向应力:(longitudinalstress)解：容器的环向和纵向应力表达式用横截面将容器截开，受力如图b所示,根据平衡方程)42DpDmss4pDmpsmsmxD图b用纵截面将容器截开，受力如图c所示2、环向应力：(hoopstress))Dlplts2s2pDt3、求内压（以应力应变关系求之）ss241EpDEmttMPa36.3)25.02(5.01035001.0102104)2(469DEptstsm外表面ypststDqdq)d2(qDlpz图cO§7－5空间应力状态下的应变能密度332211212121sss)(31321ssssms2s3s1图a图cs3-sms1-sms2-sm)312321232221221sssssssssEsm图bsmsm)2321621sssEV:单元体的应变能为图b称为体积改变能密度。sm图bsmsm三个主应力相等)))21323222161ssssssEd:单元体的应变能为图c称为形状改变能密度。图cs3-sms1-sms2-sm主应力之和等于零)(21zxzxyzyzxyxyzzyyxxtttsss对于一般空间应力状态szsytxysxxyz例用能量法证明三个弹性常数间的关系。G2212tt纯剪单元体的应变能为：纯剪单元体应变能的主应力表示为：)312321232221221sssssssssE)tttt)(002)(02122E21tE)12EGtxyAs1s3§7–6强度理论及其相当应力强度理论：是关于“构件发生强度失效起因”的假说。材料的破坏形式：⑵塑性屈服⑴脆性断裂如铸铁在拉伸和扭转时的突然断裂如低碳钢在拉伸和扭转时明显的塑性变形四个强度理论的分类第一强度理论：最大拉应力理论第二强度理论：最大伸长线应变理论第二类强度理论第三强度理论：最大切应力理论第四强度理论：形状改变能密度理论第一类强度理论以脆性断裂作为破坏标志以塑性变形作为破坏标志一、最大拉应力理论（第一强度理论）：1、破坏判据：0)(11sssu2、强度准则：0)(11sss3、实用范围：适用于破坏形式为脆断的构件。不适用于没有拉应力的三轴压缩应力状态认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大拉应力达到单向拉伸的强度极限时，构件就发生脆性断裂。二、最大伸长线应变理论（第二强度理论）：1、破坏判据：0)(11u2、强度准则：3、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。)EEussss32111)ussss321)ssss321认为构件的断裂是由最大伸长线应变引起的。当最大伸长线应变达到