假设检验与方差分析1.ppt

第六章假设检验与方差分析第一节假设检验的基本原理第二节总体均值的假设检验第三节总体比例的假设检验第四节单因子方差分析第五节双因子方差分析第六节Excel在假设检验与方差分析中的应用第一节假设检验的基本原理一什么是假设检验二原假设与备择假设三检验统计量四显著性水平、P-值与临界值五双侧检验和单侧检验六假设检验的两类错误七关于假设检验结论的理解引例袋装咖啡的平均重量是否符合要求某品牌的咖啡厂商声称其生产的袋装咖啡每袋的平均重量是150克。现从市场上抽取简单随机样本n=100袋，测得其平均重量为149.8克，样本标准差s=0.872克。试问该厂商的装袋咖啡重量的期望值是真如厂商所宣称的是150克。要解决这一问题，就要用到本章所介绍的假设检验的思想与方法。一、什么是假设检验所谓假设检验，就是事先对总体的参数或总体分布形式做出一个假设，然后利用抽取的样本信息来判断这个假设（原假设）是否合理，即判断总体的真实情况与原假设是否存在显著的系统性差异，所以假设检验又被称为显著性检验。一个完整的假设检验过程，包括以下几个步骤：（1）提出假设；（2）构造适当的检验统计量，并根据样本计算统计量的具体数值；（3）规定显著性水平，建立检验规则；（4）做出判断。二、原假设与备择假设原假设一般用H0表示，通常是设定总体参数等于某值，或服从某个分布函数等；备择假设是与原假设互相排斥的假设，原假设与备择假设不可能同时成立。所谓假设检验问题实质上就是要判断H0是否正确，若拒绝原假设H0，则意味着接受备择假设H1。如在引例中，我们可以提出两个假设：假设平均袋装咖啡重量与所要控制的标准没有显著差异，记为H0:=150；假设平均袋装咖啡重量与所要控制的标准有显著差异，记为H1:150。三、检验统计量所谓检验统计量，就是根据所抽取的样本计算的用于检验原假设是否成立的随机变量。检验统计量中应当含有所要检验的总体参数，以便在“总体参数等于某数值”的假定下研究样本统计量的观测结果。检验统计量还应该在“H0成立”的前提下有已知的分布，从而便于计算出现某种特定的观测结果的概率。例6-1构造引例的检验统计量,并计算相应的样本观测值。解：150:0H，150:1H。由于咖啡的分袋包装生产线的装袋重量服从正态分布，所以其简单随机样本的均值X也服从正态分布。我们把X标准化成为标准正态变量()~(0,1)()XEXZNVX由第五章可知，()EX。由于原假设是=150，在原假设为真时，上式可以写作150~(0,1)()XZNVX仍然由第五章可知，2()/VXn，以及2150~(1)XttnSn是式中的t就是本例所要构造的检验统计量。由于t分布在自由度30情形下可用标准正态分布来近似，而本例中n=100，自由度n-1远大于30，故上近似服从标准正态分布。根据样本数据计算29.2100872.01508.1492z四、显著性水平、P-值与临界值小概率事件在单独一次的试验中基本上不会发生，可以不予考虑。在假设检验中，我们做出判断时所依据的逻辑是：如果在原假设正确的前提下，检验统计量的样本观测值的出现属于小概率事件，那么可以认为原假设不可信，从而否定它，转而接受备择假设。至于小概率的标准是多大？这要根据实际问题而定。假设检验中，称这一标准为显著性水平，用来表示，在应用中，通常取=0.01，=0.05。一般来说，犯第一类错误可能造成的损失越大，的取值应当越小。对假设检验问题做出判断可依据两种规则：一是P-值规则；二是临界值规则。（一）P-值规则所谓P-值，实际上是检验统计量超过(大于或小于)具体样本观测值的概率。如果P-值小于所给定的显著性水平，则认为原假设不太可能成立；如果P-值大于所给定的标准，则认为没有充分的证据否定原假设。例6-2假定=0.05，根据例6-1的结果，计算该问题的P-值，并做出判断。解：查标准正态概率表，当z=2.29时，阴影面积为0.9890，尾部面积为1–0.9890=0.011，由对称性可知，当z=–2.29时，左侧面积为0.011。0.011≤/2=0.0250.011这个数字意味着，假若我们反复抽取n=100的样本，在100个样本中仅有可能出现一个使检验统计量等于或小于–2.29的样本。该事件发生的概率小于给定的显著性水平，所以，可以判断μ=150的假定是错误的，也就是说，根据观测的样本，有理由表明总体的与150克的差异是显著存在的。（二）临界值规则假设检验中，还有另外一种做出结论的方法：根据所提出的显著性水平标准（它是概率密度曲线的尾部面积）查表得到相应的检验统计量的数值，称作临界值，直接用检验统计量的观测值与临界值作比较，观测值落在临界值所划定的尾部（称之为拒绝域）内，便拒绝原假设；观测值落在临界值所划定的尾部之外（称之为不能拒绝域）的范围内，则认为拒绝原假设的证据不足。这种做出检验结论的方法，我们称之为临界值规则。显然，P-值规则和临界值规则是等价的。在做检验的时候，只用其中一个规则即可。P-值规则较之临界值规则具有更明显的优点。这主要是：第一，它更加简捷；第二，在值规则的检验结论中，对于犯第一类错误的概率的表述更加精确。推荐使用P-值规则。例6-3假定=0.05，根据例6-1的结果，用临界值规则做出判断。解：查表得到，临界值z0.025=–1.96。由于z=–2.29–1.96，即，检验统计量的观测值落在临界值所划定的左侧（即落在拒绝域），因而拒绝μ=150克的原假设。上面的检验结果意味着，由样本数据得到的观测值的差异提醒我们：装袋生产线的生产过程已经偏离了控制状态，正在向装袋重量低于技术标准的状态倾斜。五、双侧检验和单侧检验图6-1双侧、单侧检验的拒绝域分配/21–/2–Z/2Z/2(a)双侧检验–Z0(b)左侧检验0Z(c)右侧检验表6-1拒绝域的单、双侧与备择假设之间的对应关系拒绝域位置P-值检验的显著性水平判断标准原假设备择假设双侧/2H0:θ＝θ0H1:θ≠θ0左单侧H0:θ≥θ0H1:θθ0右单侧H0:θ≤θ0H1:θθ0六、假设检验的两类错误显著性检验中的第一类错误是指：原假设事实上正确，可是检验统计量的观测值却落入拒绝域，因而否定了本来正确的假设。这是弃真的错误。发生第一类错误的概率在双侧检验时是两个尾部的拒绝域面积之和；在单侧检验时是单侧拒绝域的面积。显著性检验中的第二类错误是指：原假设事实上不正确，而检验统计量的观测值却落入了不能拒绝域，因而没有否定本来不正确的原假设，这是取伪的错误。发生第二类错误的概率是把来自θ=θ1(θ1≠θ0)的总体的样本值代入检验统计量所得结果落入接受域的概率。根据不同的检验问题，对于和大小的选择有不同的考虑。例如，在引例中，如果检验者站在卖方的立场上，他较为关心的是不要犯第一类错误，即不要发生产品本来合格却被错误地拒收这样的事情，这时，要较小。反之，如果检验者站在买者的立场上，他关心的是不要把本来不合格的产品误当作合格品收下，也就是说，最好不要犯第二类错误，因此，要较小。在样本容量n不变的条件下，犯两类错误的概率常常呈现反向的变化，要使和都同时减小，除非增加样本的容量。为此，统计学家奈曼与皮尔逊提出了一个原则，即在控制犯第一类错误的概率情况下，尽量使犯第二类错误的概率小。在实际问题中，我们往往把要否定的陈述作为原假设，而把拟采纳的陈述本身作为备择假设，只对犯第一类错误的概率加以限制，而不考虑犯第二类错误的概率。七、关于假设检验结论的理解这就是说，在假设检验中，相对而言，当原假设被拒绝时，我们能够以较大的把握肯定备择假设的成立。而当原假设未被拒绝时，我们并不能认为原假设确实成立。第二节总体均值的假设检验一单个总体均值的检验二双总体均值是否相等的检验一、单个总体均值的检验（一）总体为正态分布，总体方差已知来自总体的样本为(x1,x2,…,xn)。对于假设：H0:=0，在H0成立的前提下，有检验统计量02~(0,1)ZNnX（二）总体分布未知，总体方差已知，大样本来自总体的样本为(x1,x2,…,xn)。对于假设：H0:=0，在H0成立的前提下，如果样本足够大（n≥30），近似地有检验统计量02~(0,1)ZNnX（三）总体为正态分布，总体方差未知来自总体的样本为(x1,x2,…,xn)。对于假设：H0:=0，在H0成立的前提下，有检验统计量若自由度(n-1)≥30，该t统计量近似服从标准正态分布。02~(1)SttnnX（四）总体分布未知，总体方差未知，大样本来自总体的样本为(x1,x2,…,xn)。对于假设：H0:=0，在H0成立的前提下，如果总体偏斜适度，且样本足够大，近似地有检验统计量2~(0,1)0SX-mZNn例6-4某厂采用自动包装机分装产品，假定每包产品的重量服从正态分布，每包标准重量为1000克，某日随机抽查9包，测得样本平均重量为986克，样本标准差是24克。试问在α=0.05的显著性水平上，能否认为这天自动包装机工作正常？解：第一步：确定原假设与备择假设。H0:=1000，H1:1000第二步：构造出检验统计量，计算检验统计量的观测值。由于总体标准差未知，用样本标准差代替，相应检验统计量是t-统计量。75.192410009860nsXt第三步：确定显著性水平，确定拒绝域=0.05，查t-分布表(自由度n-1=8),得临界值是t0.025(8)=2.306，拒绝域是2.306。第四步：判断。由于2.306，检验统计量的样本观测值落入接受域，所以不能拒绝。样本数据没有充分说明这天的自动包装机工作不正常。tt二、双总体均值是否相等的检验（一）两个正态总体，方差相等，但未知两个正态总体为：总体1：),(~2111NX；总体2：),(~2222NX。并且，22221。分别来自两个总体的样本为：样本1：11(x，12x，…，)11nx，111111niixnx，1121112111niixxns样本2：21(x，22x，…，)22nx，212221niixnx，2122222211niixxns并且，两样本独立。为检验两个总体均值是否相等，我们提出原假设H0:1=2。可以证明，在原假设成立的条件下，以下检验统计量服从自由度为n1+n2-2的t-分布。即当n1+n2-2≥30时，上述检验统计量近似服从标准正态分布。12122211221212~211112XXttnnnSnSnnnn（二）两个正态总体，方差不相等，但也未知这时，使用检验统计量12221212XXtSS+nn在原假设H0:1=2成立的条件下，由于2221，统计量式(见上一页幻灯片)不服从t-分布，但是其分布近似于t-分布，自由度近似地等于最接近f的自然数。这里，f按下式计算。当自由度≥30时，上述检验统计量近似服从标准正态分布。22222121212222121)/()/()//(nnsnnsnsnsf（三）两个非正态总体，样本量足够大假设有两个任意分布的总体，均值分别为1和2。分别来自两个总体的样本为：样本1：11(x，12x，…，)11nx，111111niixnx，1121112111niixxns样本2：21(x，22x，…，)22nx，212221niixnx，2122222211niixxns并且，两样本独立。那么，只要n1和n2都足够大，在原假设H0:1=2成立的条件下，以下检验统计量近似服从标准正态分布。12221212XXZSS+nn例6-5某工厂为了比较两种装配方法的效率，分别组织了两组员工，每组9人，一组采用新的装配方法，另外一组采用旧的装配方法。假设两组员工设备的装配