六、最优潮流

东南大学电气工程系©版权所有六最优潮流东南大学电气工程系©版权所有内容提要概述最优潮流的数学模型最优潮流算法综述简化梯度算法解耦最优潮流计算东南大学电气工程系©版权所有一、概述基本潮流：对一定的扰动变量p（负荷情况），根据给定的控制变量u（发电机有功、无功、节点电压模值等），求出相应的状态变量x。一次基本潮流计算，决定了电力系统的一个运行状态。基本潮流计算结果主要满足了变量间等约束条件。f(x，u，p)=0东南大学电气工程系©版权所有最优潮流(OPF)系统状态变量及有关函数变量的上下限值间有一定间距，控制变量可以在一定范围内调节，因而对某一种负荷情况，理论上有众多可行解。选出最佳方案。最优潮流就是当系统的结构参数及负荷情况给定时，通过控制变量的优选，所找到的能满足所有指定的约束条件，并使系统的某一个性能指标或目标函数达到最优时的潮流分布。东南大学电气工程系©版权所有最优潮流和基本潮流比较最优潮流和基本潮流比较，有以下不同点。基本潮流计算时控制变量u是事先给定的；而最优潮流中的u则是可变而待优选的变量，为此必然有一个作为u优选准则的函数。最优潮流计算除了满足潮流方程这一等式条件之外，还必须满足与运行限制有关的大量不等式的约束条件。东南大学电气工程系©版权所有最优潮流和基本潮流比较进行基本潮流计算是求解非线性代数方程组；而最优潮流计算由于其模型从数学上讲是一个非线性规划问题，因此需要采用最优化方法来求解。基本潮流计算所完成的仅仅是一种计算功能，即从给定的u求出相应的x；而最优潮流计算则能够根据特定目标函数并在满足相应约束条件的情况下，自动优选控制变量，这便具有指导系统进行优化调整的决策功能。东南大学电气工程系©版权所有二、最优潮流的数学模型最优潮流的变量分为控制变量（u）及状态变量（x）。状态变量常见的有：（1）除平衡节点外，其它所有节点的电压相角；（2）除发电机节点以及具有可调无功补偿设备节点之外，其它所有节点的电压模值。一般常用的控制变量有：（1）除平衡节点外，其它发电机的有功出力；（2）所有发电机节点及具有可调无功补偿设备节点的电压模值；（3）移相器抽头位置（4）带负荷调压变压器的变比。（5）并联电抗器/电容器容量东南大学电气工程系©版权所有最优潮流的目标函数（1）全系统发电燃料总耗量（或总费用）由于平衡节点s的电源有功出力不是控制变量，其节点注入功率必须通过潮流计算才能决定，是节点电压模值U及相角θ的函数，于是(,)GssLsPPUPsiNGiGssGiiPKPKf)()(()iGiiNGfKP式中：NG为全系统发电机的集合，其中包括平衡节点s的发电机组。Ki(PGi)是发电机组Gi的耗量特性。（1）（2）（3）式中：PS(U,θ)为注入节点s而通过与节点相关的线路输出的有功功率；PLS为节点s的负荷功率。所以（1）式可写成：东南大学电气工程系©版权所有最优潮流的目标函数（续）（2）有功网损可直接采用平衡节点的有功注入作有功网损最小化的目标函数式中：NL为所有支路的集合。（4）,()ijjiijNLfPP),(minminUPfs（5）除此之外，最优潮流还可以采用其它类型的目标函数，如偏移量最小、控制设备调节量最小、投资及年运行费用之和最小等。由上可见，最优潮流的目标函数不仅与控制变量u有关，同时和状态变量x有关。因此可用简洁的形式表示f＝f（u,x）（6）东南大学电气工程系©版权所有等式约束条件及不等式约束条件最优潮流分布必须满足基本潮流方程，这就是最优潮流问题的等式约束条件。即f(x,u,p)＝0。由于扰动变量p是给定的，该式可简化为g(x,u)＝0不等式约束条件（1）有功电源出力上下限约束；（2）可调无功电源出力上下限约束；（3）带负荷调压变压器变比K调整范围约束；（4）节点电压模值上下限约束；（5）输电线路或变压器元件中通过的最大电流或视在功率约束；（6）线路通过的最大有功潮流或无功潮流约束（7）线路两端节点电压相角差约束，等等。统一表示为h(u,x)=0（7）（8）东南大学电气工程系©版权所有最优潮流的数学模型电力系统最优潮流的数学模型可表示为min()0()0(,)..,,ufstuxguxhux采用不同的目标函数并选择不同的控制变量，再和相应的约束条件结合，就可构成不同的最优潮流问题。（1）对有功及无功进行综合优化的通常泛称最优潮流问题。（2）有功最优潮流（3）无功优化潮流（9）东南大学电气工程系©版权所有三、最优潮流算法综述(一)最优潮流算法分类按处理约束的不同分类按选择的修正量不同分类按如何确定修正量的方向分类1.按处理约束的方法分类可以分成三类：罚函数法Kuhn-Tucker罚函数类（简称KT罚函数类）、Kuhn-Tucker类（简称KT类）东南大学电气工程系©版权所有按处理约束的方法：罚函数法把等式及不等式约束都用罚函数引入目标函数，将有约束优化问题转化为无约束优化问题，（9）式优化问题：（10）2212min()()()(),,,,iiiiiiFfghuxuxuxux式中ω1i和ω2i是罚因子，取充分大的正数。对越界的不等式约束通过罚函数引入目标函数。对未越界者相应罚因子为0，在罚函数中不出现。min()0()0(,)..,,ufstuxguxhux变成：东南大学电气工程系©版权所有按处理约束的方法：KT-罚函数法只将越界的不等式约束通过罚函数引入目标函数，保留等式约束方程，即：（11）2min()()()s.t.()=0,,,,iiiFfhuxuxuxguxT(,)(,)(,)LFuxuxλgux再用拉格朗日乘子将等式约束引入目标函数，构造拉格朗日函数：（12）L满足最优解的条件是满足Kuhn-Tucker条件(K-T条件)：000,,LLLxuλ求解上面方程得到最优解。（13）东南大学电气工程系©版权所有按处理约束的方法：KT类KT类算法完全不用罚函数。若迭代过程中某不等式约束越界，则将该不等式约束变为等式约束，即将其固定在限制值上，然后和等式约束同样处理。将违反不等式约束并固定在界值上的约束用乘子μ将其引入目标函数有：（14）T00(,)(,)(,)(,),TLfuxuxλguxμhuxλμ不等式约束只有违反者才引入到拉格朗日函数中。（15）求取最优解应满足K-T条件：0000,,,LLLLxuλμ求解上面方程，即为KT类算法。东南大学电气工程系©版权所有按修正的变量空间分类在迭代过程中，可以是同时修正全变量空间，包括控制变量u和状态变量x，称为直接类算法。也可以只修正控制变量u，而状态变量通过求解约束方程(潮流方程)得到。称为简化类算法。东南大学电气工程系©版权所有按变量修正的方向分类确定变量修正的方向有三类方法：第一类为梯度类算法，包括梯度法即最速下降法，这类方法具有一阶收敛性；第二类为拟牛顿类算法，如共扼梯度法和各种变尺度法，这类方法收敛性介于一阶和二阶之间；第三类为牛顿法，例如海森矩阵法，这类方法有二阶收敛性。东南大学电气工程系©版权所有三类最优潮流算法的三维分类图形表示简化梯度算法约束处理方式KT类KT罚函数类罚函数类直接法简化法变量修正方向东南大学电气工程系©版权所有（二）算法主要方法有：非线性规划法二次规划法线性规划法混合规划法内点法人工智能方法等。东南大学电气工程系©版权所有非线性规划法（Non-linearProgramming，NLP）非线性规划分为无约束非线性规划和有约束非线性规划。有约束非线性规划方法的基本思想是利用拉格朗日乘子法或罚函数法建立增广目标函数，使有约束非线性规划问题先转化为无约束非线性规划问题，然后利用不同的数学优化方法求解。非线性模型是最早的OPF数学表达形式。第一个成功的最优潮流算法是Dommel和Tinney于1968年提出的简化梯度算法。这种算法建立在牛顿法潮流计算基础之上，独立变量取系统的控制变量，用罚函数处理违约的函数不等式约束，用拉格朗日乘子方法判别是否已到边界。用罚函数处理不等式约束会产生病态条件，导致收敛性变坏。东南大学电气工程系©版权所有二次规划法(QuadraticProgramming，QP)二次规划是非线性规划的特殊形式，仅适于求解目标函数为二次形式，约束条件为线性表达式的问题。1973年，Reid和Hasdorf首次提出用二次规划法求解经济调度问题。1982年OPF二次规划法的研究取得了突破性进展，Burchett等人将原非线性规划模型分解为一系列二次规划子问题，运用增广拉格朗日法能从不可行点找到原问题的最优解，甚至在潮流方程发散的情况下也能得到可行点。以2000节点系统测试证明算法的速度和鲁棒性有了极大改善。二次规划法的优点是比较精确可靠，但其计算时间随变量和约束条件数目的增加而急剧延长，而且在求临界可行问题时会导致不收敛。东南大学电气工程系©版权所有线性规划法(LinearProgramming，LP)线性规划法是电力系统最优潮流问题的另一大类求解方法。通常把整个问题分解为有功功率和无功功率两个子优化问题，它们或者进行交替迭代求解，或者分别求解。在求解方法上，大都采用分段线性或逐次线性化逼近非线性规划问题，然后利用线性规划方法求解。1968年Wells首次提出用线性规划法求解安全约束的经济调度问题，算法思想是将成本目标函数和约束条件线性化后用单纯形法求解。其算法有两大缺陷：①在不可行条件下，最终结果不是最优解；②由于计算机舍入误差影响，约束可能出现过负荷现象。东南大学电气工程系©版权所有混合规划法混合规划法是指针对OPF问题中有功优化子问题与无功优化子问题呈现不同的特性而选择两种或几种方法联合求解.例如，混合整数规划法、线性规划与二次规划混合法等。实验证明采用不同规划方法分立求解有功、无功问题使优化过程更灵活，非常适合于EMS中在线应用。东南大学电气工程系©版权所有内点算法1954年，Frish提出了最早的内点法，它是一种仅限于求解无约束优化问题的障碍参数法。1984年，Karmarkar提出了线性规划的一种新的内点算法，证明该算法具有多项式计算复杂性，该算法在求解大规模线性规划问题时，计算速度比单纯形法快50倍以上。随后，Gill将内点法的应用进一步推广到非线性规划领域。近年来，许多学者对Karmarkar算法进行了广泛深入的研究，一些新的变型算法相继出现，最有发展潜力的是路径跟踪法(PathFollowing)，又称为跟踪中心轨迹法。东南大学电气工程系©版权所有人工智能方法近几年随着计算机和人工智能等技术的发展，不断有新的方法出现，模拟进化规划方法、模糊集理论、模拟退火算法等人工智能方法先后用于电力系统最优潮流问题。人工智能方法解决了寻找全局最优解的问题，能精确处理问题中离散变量，但由于这类方法通常属于随机搜索方法，具有计算速度慢的先天缺陷，难以适应在线计算及电力市场的要求。东南大学电气工程系©版权所有四、最优潮流计算的简化梯度算法最优潮流的简化梯度算法以极坐标形式的牛顿法潮流计算为基础。是在控制变量空间，采用KT罚函数法进行梯度类寻优的方法。对应于简化法、梯度类、KT罚函数类。东南大学电气工程系©版权所有（一）仅有等式约束时的算法对于仅有等式约束条件的最优潮流算法，问题表示为0min(,)..(,)ufstuxgux(,)(,)(,)TLfuxuxλgux（16）（17）式中，λ为由拉格朗日乘子所构成的向量。这样，就把有约束最优化问题转化为无约束最优化问题应用经典的拉格朗日乘子法，引入和等式约束g(u,x)＝0中方程式数同样多的拉格朗日乘子λ，构成拉格朗日函数为:东南大学电气工程系©版权所有最优潮流计算的简化梯度算法（续）采用经典的函数求极值的方法，是将L分别对变量x,u及λ求导并令其等于零