上海大学2011级概率论与数理统计第3章ppt

12:21:071第三章多维随机变量及其分布§1二维随机变量及其分布一、二维随机变量定义定义1：设是随机试验E的样本空间，设和是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个向量称为二维随机向量或二维随机变量。}{eS)(eXX)(eYY(,)XY12:21:072例如S={某地区的全部学龄前儿童}，对于S中每一个样本点表示一个学龄前儿童，和分别表示这个这个儿童的身高和体重，则就是一个二维随机变量。e)(eH)(eW),(WH二、二维随机变量的分布函数定义2：设是二维随机变量，对于任意实数，称二元函数为二维随机变量的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。yx、},{)}(){(),(yYxXPyYxXPyxF(,)XY(,)XY12:21:073二维随机变量的分布函数的性质(1)1),(0yxFyx,（2）是和的单调不减函数，),(yxFxy且对任意固定的，y0),(yF对任意固定的，x0),(xF0),(F1),(F，(3)关于和都是右连续的；),(yxFxy121222122111{,}(,)(,)(,)(,)PxXxyYyFxyFxyFxyFxy(4)12:21:074三、二维离散型随机变量及其联合分布律定义3：如果二维随机变量全部可能取到的值是有限对或可列无限对则称是二维离散型随机变量。),(YX),(YX二维离散型随机变量的统计规律可以用),(YXjijipyYxXP),(,2,1,ji来描述，我们称它为二维离散型随机变量的分布律（或称为二维随机变量的联合分布律）。,2,1,,),(jiyxji12:21:075通常也可用以下表格来表示和的联合分布律XY联合分布律性质:0ijp111ijijp例一个盒中有3黑2红2白共7个球,现从中任取4个,X表示取到的黑球数,Y表示取到的红球数,求(X,Y)的联合分布律.12:21:076四、二维连续型随机变量1、定义定义4：对于二维随机变量的分布函数，如果存在非负函数使得则称是二维连续型随机变量，称函数为二维随机变量的概率密度（或称为二维随机变量的联合概率密度）。),(yxF),(yxf),(yxf(,)(,)yxFxyfuvdudv(,)XY(,)XY(,)XY(,)XY12:21:0772、联合概率密度的性质0),(yxf(1)(,)1fxydxdy(2)（3）设G是平面上的区域，点落在G内的概率为GdxdyyxfGYXP),(}),{((4)若在点连续，则有),(yxf),(yx),(),(2yxfyxyxF(,)XY12:21:078对于二维连续型随机变量,当G的面积为0时(1)二维均匀分布设是平面上的有界区域，其面积为，若二维随机变量的联合概率密度为其它0),(/1),(DyxAyxf则称服从区域上的均匀分布。DDA0}),{(GYXP3、两个重要的二维连续型随机变量注意：与一维连续型随机变量类似，二维连续型随机变量在任意一条曲线上的概率为零。(,)XY(,)XY(,)XY12:21:079(2)二维正态分布若二维随机变量的联合概率密度为),(yx其中为常数，且，则称服从二维正态分布，记为1212,,,,1||,0,021221212(,)~(,,,,)XYN(,)XY(,)XY22112221122()()122(1)2121(,)21xxyyfxye12:21:0710五、维随机变量n维随机变量的分布函数定义为n},,,{),,,(221121nnnxXxXxXPxxxF若存在非负函数,使对于任意实数有则称为的概率密度函数。),,,(21nxxxfnxxx,,,21nnxxxnnndxdxdxxxxfxxxF11212121),,,(),,,(),,,(21nxxxf),,,(21nXXX12:21:0711例1：设二维随机变量的概率密度函数为),(YX其它00,0),()2(yxAeyxfyx（1）求常数；A（2）求;(3)求联合分布函数.}1{YXP(,)FXY()PXY12:21:0712例2：设二维随机变量的概率密度函数为),(YX其它010,10)(),(yxyxcyxf（1）求常数；c（2）求}{YXP例3：设二维随机变量服从G上的均匀分布),(YX}{1110:YXPyxG求：12:21:0713边缘分布定义：设是一个二维随机变量，它的联合分布函数为。而和本身又都是一维的随机变量，将一维随机变量和所对应的分布函数分别称为二维随机变量关于和关于的边缘分布函数。),(YX),(yxFXYXY、)(xFX)(yFY),(YXYX§212:21:0714),(},{}{)(xFYxXPxXPxFX),(},{}{)(yFyYXPyYPyFY边缘分布函数是一维随机变量的分布函数，所以具有一维随机变量分布函数的性质。1、二维离散型随机变量的边缘分布律对于二维离散型随机变量，它的分布律为ijjipyYxXP),(,2,1,jixxjijXipxFxF1),()(yyiijYjpyFyF1),()(12:21:0715关于和的分布律分别为1)(jijipxXP,2,1i1}{iijjpyYP,2,1j定义：记1}{jiijixXPpp,2,1i1}{ijijjyYPpp,2,1j则称和为关于和关于的边缘分布律。注意：边缘分布律是一个一维随机变量的分布律所以满足一维离散型随机变量分布律的所有性质),2,1(ipi),2,1(jpj(,)XYYXYX12:21:0716例一个盒中有3黑2红2白共7个球,现从中任取4个,X表示取到的黑球数,Y表示取到的红球数,求(X,Y)的联合分布律和关于X和关于Y的边缘分布律.12:21:07172、二维连续型随机变量的边缘分布dyyxfxfX),()(定义:对于二维连续型随机变量(X,Y)，设它的联合概率密度为，则X和Y的边缘分布函数分别为),(yxf()(,)(,)xXFxFxfuydydu()(,)(,)yYFyFyfxvdxdv对上述两个边缘分布函数求导，可得:dxyxfyfY),()(称分别为(X,Y)关于X和关于Y的边缘概率密度。（满足一维概率密度的所有性质）)(),(yfxfYX12:21:0718例1：设的联合概率密度函数为),(YX其它00,02),()2(yxeyxfyx求关于X和关于Y的边缘概率密度.例2：设其它06),(2xyxyxf求关于X和关于Y的边缘概率密度.求关于X和关于Y的边缘概率密度.例3：设服从单位圆上的均匀分布),(YX12:21:0719可以证明其两个边缘概率密度为21212)(121)(xXexf)(x22222)(221)(yYeyf)(y注意：在一般情况下，由关于X和关于Y的边缘分布是不能确定随机变量(X,Y)的联合分布的。221212(,)~(,,,,)XYN设12:21:0720§3条件分布与随机变量的独立性一、二维离散型随机变量的条件分布定义：设(X，Y)是二维离散型随机变量，对于固定的，若，则称j0}{jyYPjijjjijippyYPyYxXPyYxXP)(},{}|{,2,1i为在条件下随机变量的条件分布律；jyYX同样对于固定的,若，则称i0}{ixXP为在条件下随机变量的条件分布律；ixXYiijijiijppxXPyYxXPxXyYP)(},{}|{,2,1j12:21:0721例1：设(X，Y)是二维离散随机变量，已知关于X的边缘分布律为10/1}1,0{,5/1}0,1{YXPYXP且（1）求(X，Y)的联合分布律和关于Y的边缘分布律；（2）求在Y=1的条件下，X的条件分布律。12:21:0722例2:设随机变量X在1，2，3，4四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量Y在1~X中等可能地取一整数值，试求(X,Y)的分布律。例3：设A,B为两个随机事件，且2/1)|(,3/1)|(,4/1)(BAPABPAP不发生发生AAX01不发生发生BBY01令，求二维随机变量(X,Y)的概率分布。23二.随机变量的独立性1.二维随机变量的独立性定义4:设和分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数和边缘分布函数若对任意的有，则称随机变量X和Y是独立的。),(yxF)(),(yFxFYX)()(),(yFxFyxFYX例如：人的身高和体重这两个随机变量不是独立的，但身高与视力是独立的两个随机变量。注意：随机变量的独立性与随机事件的独立性的区别:随机变量的独立是必须对任意的事件相互独立.),(yx),(yx}{}{yYxX与随机变量相互独立也意味着条件分布等于边缘分布12:21:07242.离散型随机变量的独立性对于离散型随机变量(X,Y)来说，X与Y相互独立等价于对所有可能的取值()都有jiyx,}{}{},{jijiyYPxXPyYxXP3.连续型随机变量的独立性对于连续型随机变量(X,Y)来说，X与Y相互独立就是几乎处处成立。),()()(yxfyfxfYX12:21:0725显然对于二维正态分布来说，X和Y相互独立的充要条件是参数。0若的分布函数为，则关于的边缘分布函数为),,,(21nXXX),,,(21nxxxF),,2,1(niXi),,,,,()(iiXxFxFini,,2,14.维随机变量的独立性n若对于所有的，有nxxx,,,21)()()(),,,(212121nXXXnxFxFxFxxxFn则称是相互独立的。nXXX,,,2112:21:0726举例例1：设X，Y相互独立，下表为(X,Y)的分布律及边缘分布的部分数值，又知，试将其余值填入表中：4/1}2{YXP12:21:0727例2：设的联合分布律为),(YX已知，求常数和。32}1|1{YXPab12:21:0728例3：设二维随机变量的概率密度函数为),(YX其它00,02),()2(yxeyxfyx求的边缘概率密度函数，并判断是否独立。YX,YX,12:21:0729例4：设两个离散型随机变量X和Y相互独立且同分布：2/1}1{}1{YPXP2/1}1{}1{YPXP}{YXP：求其它00,06),(1)32(yxeyxfyx例：判别下列的随机变量X和Y是否相互独立：其它010,10),(2yxyxyxf其它01421),(322yxyxyxf12:21:0730(X,Y)是一个二维随机变量,Z=G(X,Y),现求Z的分布注意:Z是一维随机变量先讨论离散的情况设(X,Y)的联合分布律为Y\X|-1012-1|0.20.150.10.32|0.100.10.05求:Z=X+Y;Z=X–Y;Z=X/Y;Z=max{X,Y}的分布律§5二维随机变量的函数的分布12:21:0731例:设的分布律为),(YX求(1)；(2)；(3)的分布律。221ZXYXYZ/2),max(3YXZ12:21:0732再讨论连续型随机变量的情况一、的分布YXZ设（X，Y）