预测与决策--8.增长曲线预测法G

第五章趋势外推预测方法趋势外推预测原理当预测对象依时间变化呈现某种上升或下降的趋向，且无明显的季节波动时，若能找到一条合适的函数曲线反映这种变化趋势，就可用时间t为自变量，时序数值y为因变量建立趋势模型y＝f(t)如果有理由相信这种趋势能够延伸到未来，在上式中赋予变量t在未来时刻的一个具体数值，可以得到相应时刻的时间序列未来值。这就是趋势外推法。趋势外推法的假设条件：(1)假设事物发展过程没有跳跃式变化，即事物的发展变化是渐进型的。(2)假设所研究系统的结构、功能等基本保持不变，即假定根据过去资料建立的趋势外推模型能适合未来，能代表未来趋势变化的情况。基本思想内容提要第一节直线模型预测法第二节指数曲线预测模型第三节修正指数曲线预测模型第四节龚伯兹曲线预测模型第五节罗吉斯曲线预测模型第一节直线趋势模型直线预测模型为：ˆtyabt式中：a代表当t=0时的预测值。直线预测模型的特点是：一阶差分为常数b。直线预测模型中参数a、b的求法可采用“最小二乘法”或“折扣最小平方和法”。1ˆˆˆtttyyyb第一节直线趋势模型年份199819992000200120022003200420052006时间－4－3－2－101234销售量265297333370405443474508541一阶差分—3236373538313433采用最小二乘法求参数的方法与步骤同前。例1：某市1998—2006年某产品销售量如表所示，试预测2007年销量。解：采用最小二乘法，代入相关公式得3636ˆ4049tyan22092ˆ34.8760ttybtˆ40434.87yt所求方程为：2007ˆ578.35y例1的点估计：21ˆ()32.9342.169192ntttyyySnm0.025(7)2.365t202007221ˆ1()yttytSntt计算结果为：（572.01，584.69）预测区间：05,0tt第一节直线趋势模型折扣最小平方和法最小二乘法的缺陷：把远期误差与近期误差的重要性等同看待。为了克服上述缺陷，常采用“折扣最小平方和法”，进行合理的加权，对近期误差比对远期误差给以较大的权重。折扣最小平方和法折扣最小平方和法就是对误差平方在进行指数折扣加权后，使其总和达到最小。21ˆmin:()nnttttQyy——为折扣系数，01效果分析：1、越近期的数据权重越大，越远期数据权重越小；2、折扣程度视值大小而异：越接近0，折扣程度越大；越接近1，折扣程度越小；折扣最小平方和法折扣最小平方和法的参数估计：21ˆmin:()nnttttQyy21()nntttyabt上式对a和b分别求偏导，整理得：1112111nnnntntntttttnnnntntntttttyabttyatbt上述方程组可求出a和b的值。折扣最小平方和法0.8例2：对例1的数据试用折扣最小平方和法进行计算（），预测2007年销量。解：列表进行计算，得到方程组：1958.74464.328927.684413349.934727.6844200.8408abab解得：ˆˆ231.1832,34.6034ab模型为：ˆ231.183234.6034tyt将各年t值代入，可得各年的追溯预测值（见计算表），并计算标准误差：21ˆ()15.71651.498492nnttttyyySnm折扣最小平方和法2007ˆ577.22y预测：以t0=10值代入模型，计算得：0.0250(7)2.365,1027.68446.39524.3289ntnttttt2()23.7933nttt202007221ˆ21()yntttytnSntt预测区间为：计算结果为：（572.66，581.78）第二节指数曲线指数曲线第二节指数曲线时序(t)bttaey一阶差比率（1ttyy）1bae—2bae2be3bae3be4bae4bet-1btae)1(bettbaebe指数曲线模型差分计算表结论：指数曲线的一阶环比为常数。be例3：某城市近5年来电视机的家庭拥有率的抽样调查数据见表。试建立指数增长预测模型，并预测第6年的拥有率。00.050.10.150.20.250.30.350.40123456ln4.18360.6251ˆ4.1836.6251abytˆln0.4ˆ0.67yy第6年的拥有率第二节指数曲线ktabKyˆk+ak0a00b1修正指数曲线图第三节修正指数曲线ttykk0a00b1k+a第三节修正指数曲线时序（t）ttabky一阶差分（1ttyy）一阶差分比率)(211ttttyyyy1abk—22abk)1(bab—33abk)1(2bab—44abk)1(3babbt-11tabk)1(2babtbttabk)1(1babtb修正指数曲线模型差分计算表结论：修正指数曲线的一阶差分比率为常数b。三和法（三段法）将整个序列分成三个相等的时间周期，并对每一个时间周期的数据求和以估计参数。1212221223(1,),(2,),,(,)(1,),(2,),,(2,)(21,),(22,),,(3,)nnnnnnnyynynynynynynyny1122101122122nnnnnnntttnnnyKabyKabyynKabbbbyKab112011211nntttnnyKabyKabyynKabbbbyKab2121223210112232133nnnnnnntttnnnyKabyKabyynKabbbbyKab第三节修正指数曲线011112101121321011321nntttnnntttnnnntttnyynKabbbbyynKabbbbyynKabbbb11110bbbbbnn112213111111ntnntnntbynKabbbynKabbbynKabbttttttttnnttttyyyyyynKyybbbayyyyb231223112212232111第三节修正指数曲线第四节龚伯兹曲线生物的生长过程一般经历发生、发展、成熟到衰老几个阶段，在不同的生长阶段，生物生长的速度也不一样。发生初期成长速度较慢，由慢到快；发展时期生长速度则较快；成熟时期，生长速度由达到最快而后逐渐变慢；到衰老期则几乎停止生长。指数曲线模型不能预测接近极限值时生物生长的特性值，因为趋近极限值时，生物生长特性值已不按指数规律增长。龚帕兹生长曲线-6-4-20246800.511.52-3-2-10123400.250.50.7511.251.51.7502460510152025-0.500.511.520255075100125150(a)lna0,0b1(b)lna0,b1(c)lna0,0b1(d)lna0,b1第四节龚伯兹曲线龚伯兹曲线预测模型如式所示tbkayˆ在上式中，k、a、b为待定参数。参数k、a和b的不同取值，决定龚珀兹曲线的不同形式，用以描述不同产品生命周期的具体规律。对上式两端取对数，得ˆlnlnlntykba上式在形式上已与修正指数曲线相同。时序（t）tbkayˆlnlnlnttykba1lnlnttyy112lnlnlnlnttttyyyy1bkalnlnkba——22bka2lnlnkba(1)lnbba＿33bka3lnlnkba2(1)lnbbab44bka4lnlnkba3(1)lnbbabt-11tbka1lnlntkba1(1)lntbbabttbkalnlntkba(1)lntbbab第四节龚伯兹曲线结论：龚伯兹曲线的对数一阶差分比率为常数b。在选择应用龚珀兹曲线时，应考察历史数据yi对数一阶差的比率是否大致相等。当一组统计数据对数一阶差的比率大致相等时，就可选用龚珀兹曲线进行预测。龚珀兹曲线模型一阶差的比率计算表第四节龚伯兹曲线用分组法求解龚珀兹曲线中参数k、a、b的具体步骤为：（1）收集的历史统计数据，样本数要能够被3整除，设为nyyy321,,,（2）将收集到的数据分成每组数据个数相等的三组I：nyyy,,,21II：nnnyyy221,,,III：nnnyyy32212,,,（3）对各组中的样本数据yi取对数。I：nyyylg,,lg,lg21II：nnnyyy221lg,,lg,lgIII：nnnyyy32212lg,,lg,lg第四节龚伯兹曲线查反对数表，求出参数k、a、b，并将k、a、b代入公式tbkayˆ，即得龚珀兹预测模型。32212121lnlnlnln1lnlnln111lnlnln1ttnttttnntyybyybayybbbKybanb例4：设某军工企业从1993年1月开始为海军批量生产某型装备，从元月到9月平均每台节省原材料如表所示，试用龚伯兹曲线预测法预测10月份，每台可能节约原材料费多少？第四节龚伯兹曲线求解过程32333321lnln7.7117.3400.3710.42110.7495lnln7.3406.4590.881ttttyybyy0.5178a14.2962KttbtKay7495.05178.02962.14ˆ龚伯兹曲线方程为：将t＝10代入，得：78.135178.02962.145178.02962.14ˆ0559.07495.01010y第五节罗吉斯曲线罗吉斯曲线图kxy1938年比利时数学家P.F.Verhulst在研究人口增殖规律时，归纳出了著名的罗吉斯曲线(Logisticcurve)，又称生长理论曲线或推理曲线，广泛用于长期预测的数学模型。适合用罗吉斯曲线表示：某种耐用消费品的普及过程流行商品的累积销售额被置于孤岛的动植物生长现象等1atKybe倒数总和法求倒数三和法求参数11,1,2,,3attbetnyK(1)1112(1)(21)(1)21213(2321321(1)111(1)1111naanaanatnaatttnananananatnaatntntnaatntntnteeeenbenbnbeeSyKKKeeeenbenbnbeeSyKKKenbenbSyK1)(31)(21)(1)11nanananaaeeenbeeKK倒数总和法构造则(1)(21)2(1)12(1)()(1)(1)(1)()anananaaanaananaanaanaanaDbeeeKeDKebeeeeeeeeeee(1)112(1)(21)223(1)()(1)(1)()(1)anaanaanananabee