582.3.3 离散型随机变量的均值与方差习题课

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·选修2-3第二章随机变量及其分布成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-3随机变量及其分布第二章第二章随机变量及其分布成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-32.3离散型随机变量的均值与方差第二章2.3.3离散型随机变量的均值与方差习题课第二章2.32.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-3典例探究学案2巩固提高学案3自主预习学案1备选练习4第二章2.32.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-3自主预习学案第二章2.32.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-3通过练习巩固对离散型随机变量均值与方差概念的理解，熟练运用均值、方差的有关公式，能应用均值与方差解决一些实际问题．第二章2.32.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-3重点：离散型随机变量的均值和方差的应用．难点：离散型随机变量的均值和方差的实际应用．第二章2.32.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-3新知导学1．离散型随机变量的均值、方差都是数，它们没有随机性，它们是用来刻画随机现象的，均值刻画了离散型随机变量取值的__________，方差刻画了随机变量偏离均值的程度，方差越大，随机变量的取值越________．均值与方差的实际应用平均水平分散第二章2.32.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-32．求离散型随机变量X的均值、方差的方法与步骤：(1)理解X的意义，写出X的所有可能取值；(2)求X取每一个值的概率；(3)写出随机变量X的分布列；(4)由期望、方差的定义求E(X)、D(X)．第二章2.32.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-3牛刀小试1．设15000件产品中有1000件次品，从中抽取150件进行检查，则查得次品数X的均值为()A．15B．10C．20D．5[答案]B[解析]次品率P＝100015000＝115，且该题目中X服从二项分布，由公式得E(X)＝np＝150×115＝10，故选B.第二章2.32.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-32．设一随机试验的结果只有A和A两种情况，P(A)＝p，令随机变量X＝1，A出现，0，A不出现.，则X的方差为()A．pB．2p(1－p)C．－p(1－p)D．p(1－p)[答案]D[解析]因为X～B(1，p)，所以D(X)＝1×p×(1－p)＝p(1－p)．第二章2.32.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-33．已知随机变量，其中Y＝12X＋7，且E(Y)＝34.若X的分布列如下表，则m的值为()X1234p14mn112A.13B．14C．16D．18[答案]A第二章2.32.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-3[解析]本题考查随机变量的均值及有关的运算，由Y＝12X＋7⇒E(Y)＝12E(X)＋7⇒34＝12·E(X)＋7⇒E(X)＝94⇒94＝1×14＋2×m＋3×n＋4×112，又14＋m＋n＋112＝1，联立求解可得m＝13.第二章2.32.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-34．一个口袋中有6只球，编号为1、2、3、4、5、6，在袋中同时取出3只，则所取的3只球中的最大编号X的均值为________．[答案]5.25第二章2.32.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-3[解析]X的取值为3、4、5、6，P(X＝k)＝C2k－1C36，k＝3、4、5、6，因此，X的分布列如下表：X3456p12032031012所以E(X)＝3×120＋4×320＋5×310＋6×12＝5.25.[点评]求出随机变量的均值(数学期望)的关键在于写出它的分布列，再代入公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn即可．第二章2.32.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-35．(2014·北京理，16)李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛互相独立)：场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场12212客场1188主场21512客场21312主场3128客场3217主场4238客场41815主场52420客场52512第二章2.32.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-3(1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；(2)从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；(3)记x－为表中10个命中次数的平均数．从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX与x－的大小．(只需写出结论)第二章2.32.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-3[解析](1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”．第二章2.32.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-3则C＝AB－∪A－B，A、B独立．根据投篮统计数据，P(A)＝35，P(B)＝25，P(C)＝P(AB－)＋P(A－B)＝35×35＋25×25＝1325.所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325.(3)E(X)＝x－.第二章2.32.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-3典例探究学案第二章2.32.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-3离散型随机变量的均值某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球(即没有用过的球)，3个是旧球(即至少用过一次的球)，每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回．(1)设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；(2)求第二次训练时恰好取到一个新球的概率．第二章2.32.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-3[解析](1)ξ的所有可能取值为0、1、2.设“第一次训练时取到i个新球(即ξ＝i)”为事件Ai(i＝0,1,2)，因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以P(A0)＝P(ξ＝0)＝C23C26＝15，P(A1)＝P(ξ＝1)＝C13C13C26＝35，P(A2)＝P(ξ＝2)＝C23C26＝15.第二章2.32.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-3所以ξ的分布列为ξ012P153515ξ的数学期望为E(ξ)＝0×15＋1×35＋2×15＝1.第二章2.32.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-3(2)设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B.则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件A0B＋A1B＋A2B.而事件A0B、A1B、A2B互斥，所以，P(A0B＋A1B＋A2B)＝P(A0B)＋P(A1B)＋P(A2B)．由条件概率公式，得第二章2.32.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-3P(A0B)＝P(A0)P(B|A0)＝15×C13C13C26＝15×35＝325，P(A1B)＝P(A1)P(B|A1)＝35×C12C14C26＝35×815＝825，P(A2B)＝P(A2)P(B|A2)＝15×C11C15C26＝15×13＝115.所以，第二次训练时恰好取到一个新球的概率为P(A0B＋A1B＋A2B)＝325＋825＋115＝3875.第二章2.32.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-3[方法规律总结]解决离散型随机变量综合应用问题时，首先要读懂题意，分清事件及其相互关系，并用恰当的字母加以表示，然后依据随机变量的特点求其概率，要注意互斥、对立、独立事件或超几何分布，二项分布等特殊事件及分布的概率，理清事件及其关系是关键环节．第二章2.32.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-3(2012·江西理，18)如图，从A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1(0,0,1)，C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V＝0)．第二章2.32.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-3(1)求V＝0的概率；(2)求V的分布列及数学期望E(V)．[分析](1)从6个不同的点中随机选取3个点，共有C种方法，选取的3个点与原点共面时，3个点必须在同一个坐标平面内．因为每条坐标轴上有两个点，所以同一坐标平面内有4个点，从这4个点中任取3个即可；(2)先求出V的各种可能取值，然后求其概率．第二章2.32.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-3[解析](1)从6个点中随机选取3个点总共有C36＝20种取法，选取的3个点与原点在同一个面内的取法有3C34＝12种，因此V＝0的概率为P(V＝0)＝1220＝35.第二章2.32.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-3(2)V的所有可能取值为0、16、13、23、43，因此V的分布列为V016132343P35120320320120由V的分布列得E(V)＝0×35＋16×120＋13×320＋23×320＋43×120＝940.第二章2.32.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-3[点评]本题以立体图形为载体，考查概率知识及分布列、期望的求法，立意新颖，第1问易于解决，第2问中要对各种体积情况进行逐一运算，以防遗漏，难度中等．第二章2.32.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-3从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数．(1)求X的分布列；(2)求X的均值；(3)求“所选3人中女生人数X≤1”的概率．[分析]本题是超几何分布问题，可用超几何分布的概率公式求解．超几何分布的均值第二章2.32.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-3[解析](1)X的可能取值为0、1、2，P(X＝k)＝Ck2C3－k4C36，k＝0、1、2，所以，X的分布列为：X012P153515第二章2.32.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-3(2)由(1)知X的均值为E(X)＝0×15＋1×35＋2×15＝1.(3)“所选3人中女生人数X≤1”的概率为P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝45.第二章2.32.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-3(2013·天津理，16)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1、2、3、4；白色卡片3张，编号分别为2、3、4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．第二章2.32.3.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-3[解析](1)设“取出的