概率论与数理统计知识要点-重要(西北大学内部)

《概率论与数理统计》复习资料-1-西北大学数学系概率论考试复习知识要点一概念：1随机事件：用,,ABC等表示互不相容：AB互逆：AB且AB，此时，BA互逆互不相容，反之不行相互独立：()()PABPA或()()()PABPAPB2随机事件的运算律：(1)交换律：,ABBAABBA(2)结合律：()(),()()ABCABCABCABC(3)分配律：(),()()()ABCABACABCABAC(4)DeMorgen律（对偶律）BABABAAB推广：11nniiiiAA11nniiiiAA3随机事件的概率：()PA有界性0()1PA若AB则()()PAPB条件概率()()()PABPABPB4随机变量：用大写,,XYZ表示.若X与Y相互独立的充分必要条件是)()(),(yFxFyxFYX若X与Y是离散随机变量且相互独立的充分必要条件是(,)()()XYfxyfxfy《概率论与数理统计》复习资料-2-若X与Y是连续随机变量且相互独立的充分必要条件是(,)()()XYpxypxpy若X与Y不相关，则cov(,)0XY或(,)0RXY独立不相关反之不成立当X与Y服从正态分布时，则相互独立不相关二两种概率模型古典概型：()MPAN:MA所包含的基本事件的个数；:N总的基本事件的个数伯努利概型：n次独立试验序列中事件A恰好发生m次的概率()mmnmnnPmCpqn次独立试验序列中事件A发生的次数为1m到2m之间的概率2112()()mnmmPmmmPmn次独立试验序列中事件A至少发生r次的概率10()()1()nrnnmrmPmrPmPm特别的，至少发生一次的概率(1)1(1)nPmp三概率的计算公式：加法公式：()()()()PABPAPBPAB若BA,互不相容,则)()()(BPAPBAP推广：)()()()()()()()(ABCPACPBCPABPCPBPAPCBAP若BA,，C互不相容，则()()()()PABCPAPBPC乘法公式：)()()(ABPAPABP或()()PBPAB若,AB相互独立，()()()PABPAPB推广：)()()()()(12121312121nnnAAAAPAAAPAAPAPAAAP若它们相互独立，则1212()()()()nnPAAAPAPAPA全概率公式：若A为随机事件，nBBB21,互不相容的完备事件组，且0)(iBP则)()()()()()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP《概率论与数理统计》复习资料-3-注：常用,BB作为互不相容的完备事件组有诸多原因可以引发某种结果，而该结果有不能简单地看成这诸多事件的和，这样的概率问题属于全概问题.用全概率公式解题的程序：（1）判断所求解的问题是否为全概率问题（2）若是全概率类型，正确的假设事件A及iB，iB要求是互斥的完备事件组（3）计算出(),()iiPBPAB（4）代入公式计算结果四一维随机变量：分布函数：)()(xXPxF性质：（1）1)(0xF（2）若21xx，则)()(21xFxF（3）右连续（4）1)(limxFx即1)(F0)(limxFx即0)(F（此性质常用来确定分布函数中的常数）利用分布函数计算概率：()()()PaXbFbFa一维离散随机变量：概率函数：()()1,2iipxPXxi（分布律）性质：()0ipx()1iipx（此性质常用来确定概率函数中的常数）已知概率函数求分布函数()()()iiiixxxxFxPXxpx一维连续随机变量：概率密度()fx性质：（1）非负性()0fx（2）归一性：()1fxdx（常用此性质来确定概率密度中的常数）分布函数和概率密度的关系：()()fxFx《概率论与数理统计》复习资料-4-()()xFxfxdx（注意：当被导函数或被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数）利用概率密度求概率()()baPaXbfxdx五一维随机变量函数的分布：离散情形：列表、整理、合并连续情形()YgX：分布函数法.先求Y的分布函数，再求导六二维随机变量：联合分布函数：(,)(,)FxyPXxYy性质：（1）(,)0F（2）(,)0Fx（3）(,)0Fy（4）(,)1F（此极限性质常用来确定分布函数中的常数）边缘分布函数：()(,)XFxFx()(,)YFyFy二维离散随机变量：联合概率函数(,)(,)ijijpxyPXxYy列表边缘概率函数：()(,)Xiijjpxpxy()(,)Yiijipypxy二维连续随机变量：联合概率密度(,)fxy性质（1）(,)0fxy（2）(,)1fxydxdy（常用此性质来确定概率密度中的常数）联合分布函数与联合概率密度的关系(,)(,)(,)(,)xyfxyFxyxyFxyfxydxdy（注意：当被导函数或被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数）利用联合概率密度求概率((,))(,)RPxyRfxydxdy已知联合概率密度求边缘概率密度()(,)Xfxfxydy()(,)Yfyfxydx（注意：当被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数）《概率论与数理统计》复习资料-5-七随机变量的数字特征：若X为离散随机变量：1()()niiiEXxpx若X为连续随机变量：()()EXxfxdx二维情形若(,)~(,)XYfxy为二维连续随机变量，则()()(,)XEXxfxdxxfxydxdy()(,)EYyfxydxdy若(,)~(,)ijXYpxy为二维离散随机变量，则()()(,)iXiiijiijEXxpxxpxy()()(,)jYjjijjjiEYypyypxy随机变量的函数的数学期望：若X为离散随机变量：()()()iiiEgXgxpx若X为连续随机变量()()()EgXgxfxdx方差：定义2()()DXEXEX方差的计算公式：22()()()DXEXEX注意这个公式的转化：22()()()EXDXEX关于期望的定理：关于方差的定理（1）()ECC（1）()0DC（2）()()ECXCEX（2）2()()DCXCDX（3）()()()EXYEXEY相互独立：()()()DXYDXDY()()()EXYEXEY()()()DXYDXDY()()()EXYEXEY（注意：反之不成立）相互独立《概率论与数理统计》复习资料-6-()()()EXYEXEY（注意：反之不成立）八要熟记的常用分布及其数字特征：01分布(1,)Bp1()0,1xxpxpqx()()EXpDXpq二项分布(,)Bnp()0,1xxnxinpxCpqxn()()EXnpDXnpq泊松分布()p()0,1!xpxexx()()EXDX均匀分布：(,)Uab1()0axbfxba其他()01xaaxbbaFXxaxb2()()()212abbaEXDX指数分布：()e0()00xexfxx10()00xexFxx211()()EXDX正态分布：2~(,)XN22()21()2xfxe22()21()2xxFxedx2()()EXDX特别地(0,1)N221()2xxe221()2xxxedx（)(1)(xx）()0()1EXDX2~(,)XN1212()()xxXPxXxP21()()xx九正态随机变量线性函数的分布十统计部分：统计量无偏性有效性《概率论与数理统计》复习资料-7-矩估计最大似然估计区间估计假设检验例：甲袋中有5只红球10只白球，乙袋中有8只红球6只白球，现先从甲袋中任取一球放入乙袋，然后又从乙袋中任取一球放入甲袋.求这一个来回后甲袋中红球数不变的概率.解：设A：从甲袋中取出放入乙袋的是红球，B：从乙袋中返还甲袋的是红球,C:这一个来回后甲袋中红球数不变，则,BAABC从而)()()()()()()(ABPAPABPAPBAPBAPCP951581510159155.例高射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独立），设每发炮弹击中敌机的概率均为3.0，又若敌机中一弹，其坠落的概率为2.0，若敌机中两弹，其坠落的概率为6.0，若敌机中三弹，则必然坠落。求敌机被击落的概率。解：设事件A表示敌机被击落，事件iB表示敌机中i弹。3,2,1i则441.0)3.01(3.0)(21131CBP189.0)3.01(3.0)(12232CBP027.0)3.01(3.0)(03333CBP2.0)(1BAP6.0)(2BAP1)(3BAP所以，)()()()()()()(332211BAPBPBAPBPBAPBPAP2286.0027.01134.00882.01027.06.0189.02.0441.0例：设X的分布函数RxRxRxxxF1000)(22求)(xf解：当Rx0时，2222)()()(RxRxxFxf当Rxx,0时，0)(xf《概率论与数理统计》复习资料-8-在Rx处导数不存在，但规定为零其它002)(2RxRxxf例：设连续随机变量的概率密度202cos)(xxxaxf求：)40()3()()2()1(xPxFa解：（1）axaxdxaxdxadxxf2sin2cos2cos)(222020(对称性质)由1)(dxxf得：2112aa（2）当2x时，xdxxfxF0)()(当22x时，xxxxdxxdxdxdxxfxF22cos21cos210)()(2分段函数积分)1(sin21sin212xxx当2x时，1sin21)()(22xdxdxxfxFx212)sin1(2120)(xxxxxF（3）42cos21)()40(4040xdxdxxfxP《概率论与数理统计》复习资料-9-或42)0sin1(21)4sin1(21)0()4()40(FFxP例：~(1)Xe，求YX的密度函数解：0()00xexfxx()()()YFyPYyPxy当0y时，()0YFy当0y时，2220()()()()yyxYFyPxyPxyfxdxedx2000()0yYxyFyedxy200()()20YYyyfyFyyey例：设随机变量X的概率密度为.,0,10,)1(6)(其它xxxxf求：(1))(,)(XDXE,(2))21(XP解：（1）21)4131(641316)(6)1(6)()(1043103210xxdxxxdxxxxdxxxfXE103)514