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......二轮专题（十一）导数与不等式证明【学习目标】1.会利用导数证明不等式.2.掌握常用的证明方法.【知识回顾】一级排查：应知应会1.利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题．比如要证明对任意x[a,b]都有f(x)g(x)，可设h(x)f(x)g(x)，只要利用导数说明h(x)在[a,b]上的最小值为0即可．二级排查：知识积累利用导数证明不等式，解题技巧总结如下：（1）利用给定函数的某些性质（一般第一问先让解决出来），如函数的单调性、最值等，服务于第二问要证明的不等式.（2）多用分析法思考.（3）对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明.例如采用两边取对数（指数），移项通分等等.要注意变形的方向：因为要利用函数的性质，力求变形后不等式一边需要出现函数关系式.（4）常用方法还有隔离函数法，f(x)ming(x)，放缩法（常与数列和基本不等式一起考max查），换元法，主元法，消元法，数学归纳法等等，但无论何种方法，问题的精髓还是构造辅助函数，将不等式问题转化为利用导数研究函数的单调性和最值问题.（5）建议有能力同学可以了解一下罗必塔法则和泰勒展开式，有许多题都是利用泰勒展开式放缩得来.三极排查：易错易混用导数证明数列时注意定义域.1......【课堂探究】一、作差（商）法例1、证明下列不等式：x②lnxx1③①ex1lnx1-1x④2(x-1)2xlnx(x1)⑤sinx,x(0,)x12二、利用f(x)ming(x)证明不等式max12e例2、已知函数.f(x)axb(a1)lnx,(a,bR),g(x)xxe2（1）若函数f(x)在x2处取得极小值0，求a,b的值；2（2）在（1）的条件下，求证：对任意的x1,x[e,e]，总有f(x1)g(x2).2......2......变式：证明：对一切x(0,)，都有12lnx成立.xeex三、构造辅助函数或利用主元法例3、已知m,n为正整数，且1mn,求证：nnm(1m)(1).变式：设函数f(x)lnx，g(x)2x2（x1）.2fxgx(1)试判断F(x)(x1)()()在定义域上的单调性；（2）当0ab时，求证2a(ba)f(b)f(a).22ab......3......四、分析法证明不等式2.若曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴平行，x例4、设a1，函数f(x)(1x)ea2且在点M(m,n)处的切线与直线OP平行（O是坐标原点）,证明：ma1.3e2变式：已知函数f(x)xlnx．（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；（Ⅱ）证明：对任意的t0，存在唯一的s，使tf(s)．（Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的s关于t的函数为sg(t)，证明：当2te时，有25lngln(t)t12.......4......五、隔离函数x.例5、已知函数f(x)eln(xm)（Ⅰ）设x0是f(x)的极值点，求m并讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）当m2时，证明:f(x)0.n其中nN，且n2.变式：已知函数f(x)nxx,xR,（1）讨论f(x)的单调性；（2）设曲线yf(x)与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为yg(x)，求证：对于任意的正实数x，都有f(x)g(x)；（3）若关于x的方程f(x)a(a为实数)有两个正实数根ax1,x，求证：2.xx212n1......5......六、与数列结合例6、已知函数f(x)alnxax3(aR).（1）求函数f(x)的单调区间；ln2ln3ln4lnn1（2）求证：(2)..nNn，234nn变式：（1）已知x(0,)，求证：1x1lnx1x1x；1111111（2）求证：(，2).lnn1nNn234n23n1......6......【巩固训练】12x3.已知函数ln,f(x)x求证：在区间(1,)上，函数f(x)的图像在函数223g(x)x的3图像的下方.4.已知函数fxln11xx．（Ⅰ）求曲线yfx在点0，f0处的切线方程；（Ⅱ）求证：当x0，1时，3xfxx；23（Ⅲ）设实数k使得3xfxkx对x0，1恒成立，求k的最大值．3......7......5.已知0x1x2，求证：nnxnxxx1212.22ln(1x)6.设函数f(0).(x)xx（1）判断f(x)的单调性；1n（2）证明：(e(e为自然对数，1)n*nN).......8......x7.已知函数f(x)ex.（1）求函数f(x)的最小值；（2）设不等式f(x)ax的解集为P，且[0,2]P，求实数a的取值范围；（3）设nN，证明：nnnn123nennnne.12axa8.已知f(x)ln(1x)(0).(1)讨论f(x)的单调性；111（2）证明：（1）（1）（1）44423ne(e为自然对数，*nN，n2).......9......9.已知函数f(x)ln(1x)x,g(x)xlnx(1)求函数f(x)的最大值；ab(2)设0ab,证明：g)()ln2.0(a)g(b)2g(ba210.设函数fx1bex(x)aelnx，曲线yf(x)在点（1，f(1)处的切线为ye(x1)2.x(Ⅰ)求a,b；（Ⅱ）证明：f(x)1.......10......x（a为常数）的图像与y轴交于点A，曲线yfx在点A处的切11.已知函数fxeax线斜率为-1.（Ⅰ）求a的值及函数fx的极值；（Ⅱ）证明：当x0时，2x；xe（Ⅲ）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当xx0，，恒有2x.xcex12.(选作)已知f(x)(1x)e1.（1）证明：当x0时，f(x)0;xnx（2）数列{xn}满足xne1e1,x1,求证：{xn}递减，且n1xn1n2.......11