合理构造函数解导数问题汇总

用心爱心专心合理构造函数解导数问题构造函数是解导数问题的基本方法，但是有时简单的构造函数对问题求解带来很大麻烦甚至是解决不了问题的，那么怎样合理的构造函数就是问题的关键，这里我们来一起探讨一下这方面问题。例1：（2009年宁波市高三第三次模拟试卷22题）已知函数axxxaxxf231ln.(1)若32为xfy的极值点，求实数a的值；(2)若xfy在,1上增函数，求实数a的取值范围；(3)若1a时，方程xbxxf311有实根，求实数b的取值范围。解：（1）因为32x是函数的一个极值点，所以0)32(f，进而解得：0a，经检验是符合的，所以.0a（2）显然,2312axxaxaxf结合定义域知道01ax在,1x上恒成立，所以0a且01axa。同时axx232此函数是31x时递减，31x时递增，故此我们只需要保证02311aaaf，解得：.2510a（3）方法一、变量分离直接构造函数解：由于0x，所以：2lnxxxxb32lnxxxx2321lnxxxxgxxxxxxg1266212当6710x时，,0xg所以xg在6710x上递增；当671x时，,0xg所以xg在671x上递减；又,01g.6710,000xxg当00xx时，,0xg所以xg在00xx上递减；当10xx时，,0xg所以10xx上递增；用心爱心专心xxg01原函数草图0xxxg0671x二阶导数草图xxg010x671x一阶导数草图当1x时，,0xg所以xg在1x上递减；又当x时，,xg41lnlnln232xxxxxxxxxxxg当0x时，,041lnx则,0xg且01gb的取值范围为.0,xxxxxxg1266212，2321lnxxxxg，32lnxxxxxg方法二、构造：2lnxxxxGxxxxxxxxxxxxG1121212211220x10x0xG从而xG在1,0上为增函数；,0,1xGx从而xG在,1上为减函数01GxG而0x0xGxb0b分析点评：第（3）问的两种解法难易繁杂一目了然，关键在合理构造函数上。那么怎样合理构造函数呢？（1）抓住问题的实质，化简函数1、已知xf是二次函数，不等式0xf的解集是5,0，且xf在区间4,1上的最大值12.（1）求xf的解析式；用心爱心专心xy0310xh（2）是否存在自然数m，使得方程037xxf在区间1,mm内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有m的值；若不存在，请说明理由。解：（1）Rxxxy1022（2）假设满足要求的实数m存在，则037xxf，即有：0371022xxx03710223xxx，即有：03710223xx构造函数3710223xxxh画图分析：)310(62062xxxxxh进而检验，知0)4(,0)310(,0)3(hhh,所以存在实数3m使得037xxf在区间4,3内有且只有两个不等的实数根。点评：本题关键是构造了函数3721032xxxh，舍弃了原函数中分母,x问题得到了简化。变式练习：设函数Rxxxxf,563，求已知当,1x时，1xkxf恒成立，求实数k的取值范围。（2）抓住常规基本函数，利用函数草图分析问题：例：已知函数xnxfln的图像在点),(mfmP处的切线方程为,xy设.ln2xxnmxxg（1）求证：当1x时，0xg恒成立；xy0xh310用心爱心专心y0ee2（2）试讨论关于x的方程txexxxgxnmx232根的个数。解证：（1）1nm（2）方程,223txexxxgxnmx从而txexxx232ln2因为,0x所以方程可变为.2ln22texxxx令texxxHxxxL2,ln22，得：.ln122xxxL当ex,0时，xLxL,0在e,0上为增函数；当,ex时，xLxL,0在,ex上为减函数；当ex时，,2)(maxeeLxL又,2222etextexxxH所以函数xHxL,在同一坐标系的大致图像如图所示①当,22eet即eet22时，方程无解；②当,22eet即eet22时，方程一解；③当,22eet即eet22时，方程有2个根。分析点评：一次函数，二次函数，指对数函数，幂函数，简单的分式根式函数，绝对值函数的图象力求清晰准确，一些综合性的问题基本上是这些函数的组合体，如果适当分解和调配就一定能找到问题解决的突破口，使问题简单化明确化。（3）复合函数问题一定要坚持定义域优先的原则，抓住函数的复合过程能够逐层分解。例：已知函数223241234xaxxxxf在区间1,1上单调递减，在区间2,1上单调递增。（1）求实数a的值.（2）若关于x的方程mfx2有3个不同的实数解，求实数m的取值范围.（3）若函数pxfy2log的图像与坐标轴无交点，求实数p的取值范围。解：（1）利用01f得：.21a（2）因为22213241234xxxxxf用心爱心专心x1237125y011238得)2)(1)(1(2223xxxxxxxf列表得,222,111,111,x000xf减增减增381237125xf因此xf有极大值,382,1251ff极小值.12371f作出xf的示意图，如图:因为关于x的方程mfx2有3个不同的实数解，令),0(2ttx即关于t的方程mtf在,0t上有3个不同的实数解，所以tfy的图像与直线my在,0t上有3个不同的交点。而tfy的图像与xfy的图像一致。即.381237m（3）函数pxfy2log的图像与坐标轴无交点，可以分以下2种情况：①当函数pxfy2log的图像与x轴无交点时，则必须有1pxf无解，而,125maxppxf函数pxfy的值域为,125,p所以,1251p解得.1217p②当函数pxfy2log的图像与y轴无交点时，则必须有pfy0log2不存在，即00pf或20f，有意义，所以02p，解得2p.③由函数存在，可知0pxf有解，解得125p，故实数p的取值范围为).1217,125(分析点评：复合函数尤其是两次复合，一定要好好掌握，构造两种函数逐层分解研究，化繁为简，导数仍然是主要工具。