一次函数与方程、不等式

(1)解方程2x+20=0(2)当自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0？解：(1)2x+20=0220x10x(2)当y=0时，即2200x220x10x从“函数值”角度看两个问题实际上是同一个问题．序号一元一次方程问题一次函数问题1解方程3x-2=0当x为何值时，y=3x-2的值为0?2解方程8x-3=03当x为何值时，y=-7x+2的值为0?4解方程8x-3=2当x为何值时，___________的值为0?解方程-7x+2=08x-5=0y=8x-3当x为何值时，___________的值为0?y=8x-5下面3个方程有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这个方程进行解释吗？(1)2x+1=3(2)2x+1=0(3)2x+1=-1共同点：方程的左边相同不同点：方程的右边不同从函数的角度看，解这3个方程相当于在一次函数y=2x+1的函数值分别为3,0，-1时，求自变量x的值。或者说，在直线y=2x+1上取纵坐标分别为3,0，-1的点，看它们的横坐标分别为多少（3）画出函数y=2x+20的图象，并确定它与x轴的交点坐标.0xy20－10y=2x+20（思考：直线y=2x+20与x轴交点坐标为（____,_____），这说明方程2χ＋20＝0的解是x=_____）从“函数图像”上看-100从“函数值”看，“解方程ax+b=0(a，b为常数，a≠0)”与“求自变量x为何值时，一次函数y=ax+b的值为0”有什么关系？从图象上看呢？求一元一次方程ax+b=0(a，b是常数，a≠0)的解，从“函数值”看就是x为何值时函数y=ax+b的值为0．求一元一次方程ax+b=0(a,b是常数，a≠0)的解，从“函数图象”看就是求直线y=ax+b与x轴交点的横坐标．求ax+b=0（a≠0）的解x为何值时，y=ax+b的值为0？确定直线y=ax+b与x轴的横坐标从形的角度看：从数的角度看:求ax+b=0（a≠0）的解1、根据下列图像，你能说出哪些一元一次方程的解？并直接写出相应方程的解？y=5x0yxy=x+2-22oyxy=3x+62oyxy=x-1-11oyx5x=0的解其解为X=0X+2=0的解其解为X=-23x+6=0的解其解为X=2X-1=0的解其解为X=12、已知方程ax+b=0的解是-2，下列图像肯定不是直线y=ax+b的是（）oyx-2-2-2oyx-2oyxo-2yxABCDB求ax+b=0(a，b是常数，a≠0)的解．一次函数与一元一次方程的关系x为何值时函数y=ax+b的值为0．从“函数值”看求ax+b=0(a,b是常数，a≠0)的解．求直线y=ax+b与x轴交点的横坐标．从“函数图象”看例1一个物体现在的速度是5m/s，其速度每秒增加2m/s，再过几秒它的速度为17m/s？（要求用两种方法解题）解法1：设再过x秒物体的速度为17米/秒．列方程2x+5=17．解得x=6．解法2：速度y(单位：m/s)是时间x(单位：s)的函数y=2x+5．0xy6-12y=2x－12(6,0)由图看出直线y=2x−12与x轴的交点为（6，0），得x=6．由2x+5=17得2x−12=0．1．根据图象你能直接说出一元一次方程x+3=0的解吗？−3y=x+3Oxy解：由图象可知x+3=0的解为x=−3．2．利用函数图象解出x:5x−1=2x+5解：由5x−1=2x+5，得3x−6=0．xy−6Oy=3x−6２（1）由图看出直线y=3x−6与x轴的交点为（２，0），得x=２．解法２：画出两个函数y=5x−1和y=2x+5的图象．由图象知，两直线交于点(2，9)，所以原方程的解为x=2．Oy=5x−1y=2x+592xy2．利用函数图象解出x:5x−1=2x+5解一元一次方程ax+b=0(a，b为常数)可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，这相当于已知直线y=ax+b，确定它与x轴交点的横坐标的值1、直线y=3x+9与x轴的交点是（）A．（0，-3）B．（-3，0）C．（0，3）D．（0，-3）2、直线y=x+3与x轴的交点坐标为（，），所以相应的方程x+3=0的解是x=.B-30-33．直线y=3x+6与x轴的交点的横坐标x的值是方程2x+a=0的解，则a的值是______44.已知一次函数y=2x+1，根据它的图象回答x取什么值时，函数的值为1？为0？为－3？321-1-2-3-4-224gx=2x+14.已知一次函数y=2x+1，根据它的图象回答x取什么值时，函数的值为1？为0？为－3？解：由图像可知（1）当x=0时，函数值为1（2）当x=-0.5时，函数值为0（3）当x=-2时，函数值为-3-3-21-1012你认为利用图象怎样求方程2x+1=－3的解？你有几种方法？5.画出函数y=-x+2的图象，利用图象回答问题：（1）求x=-1当时，y的值；（2）求当y=-1，对应的的值；（3）求方程-x+2=0的解；（4）求方程-x+2=3的解下面3个不等式有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这些不等式进行解释吗？(1)x+12(2)x+10(3)x+1-1共同点：不等式的左边相同不同点：不等号和不等号的右边不同从函数的角度看，解这3个不等式相当于在一次函数y=x+1的函数值分别大于2,小于0，小于-1时，求自变量x的取值范围。或者说，在直线y=x+1上取纵坐标分别满足大于2,小于0，小于-1的点，看它们的横坐标分别满足什么条件画出y=x+1的函数图象1-1x0yy=x+1x+12x+11x+1021从图象上看不等式的解x1x0x-1作直线ｙ＝ｘ＋３ｘｙ００３－３ｙ＝ｘ＋３ｘ＿＿时，ｙ＞３ｘ＿＿时，ｙ＜３ｘ＿＿时，ｙ＝３＝０＞０＜０作直线ｙ＝ｘ＋３ｘｙ００３－３ｙ＝ｘ＋３ｘ＿＿时，ｙ＞２ｘ＿＿时，ｙ＜２ｘ＿＿时，ｙ＝２＝－１＞－１＜－１作直线y=２已知一次函数y=２x－２,根据它的图象回答下列问题.(1)x取什么值时,函数值y为4?(2)x取什么值是,函数值y大于4?(3)x取什么值时,函数值y小于4?及直线y=４（如图）y=２x－２y=４从图中可知：用函数观点看不等式一次函数与一元一次不等式解：作出函数y=２x－２的图象（1）当x=３时，函数值y为４。（2）当x３时，函数值y＞４。（3）当x３时，函数值y＜４。例题:用画函数图象的方法解不等式5x+4＜2x+10解法1:原不等式化为:3x-60,画出直线y=3x-6(如图)即这时y=3x-60用函数观点看不等式一次函数与一元一次不等式所以不等式的解集为:x2x2解法二：画出函数y=2x+10和y=5x+4图象从图中看出：即直线y=5x+4在y=2x+10的___方不等式5x+42x+10∴不等式5x+42x+10的解集是x2x2用函数观点看不等式一次函数与一元一次不等式思路：不等式5x+4＜2x+10可以看成是两个函数值y之间的大小比较，具体在图象上是两条直线间的位置关系。下y1y2当y1=y2时，x___当y1y2时，x___当y1y2时，x___看两直线的交点y1在y2的上方y1在y2的下方11=1y1y211ax+by+c=0(a≠0,b≠0)二元一次方程的一般式:一次函数的解析式:y=kx+b(k≠0)转化bcxbay过(0,),(,0)点的直线。bkb直线一次函数二元一次方程直线图像是.1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/min的速度上升。与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升。两个气球都上升了1h。（1）用式子分别表示两个气球所在位置的海拔y关于上升时间x的函数关系（2）在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？解：（1）对于1号气球，y关于x的函数解析式为：y=x+5对于2号气球，y关于x的函数解析式为：y=0.5x+150《x《60（2）在某时刻两个气球位于同一高度，即两个气球对应的函数值相等。在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图。由图可知，两条直线的交点坐标为（20,25），说明当气球上升20分钟时，两个气球都位于海拔25米的高度。25200xyy=x+5y=0.5x+15用图象法解方程组:21522yxyx-4x123y-1-2-3-44-3-2-14321021425yxxy把方程组化为:即：两直线无交点∴方程组无解在直角坐标系中画出这两条直线的图像由图得，两直线平行巩固练习:用图象法解:6232yxyx解:原方程组可转化为两个函数:62223xyxy两个函数图象的交点就是原方程组的解.yx01-22如图:两函数图象的交点是(3,0)所以原方程组的解是3x0y52yx1yx图象法解方程组：12yx解得：(2,1)对应关系:二元一次方程组解两个一次函数图象交点坐标图象法解方程组的步骤:(1)转化(2)画图(3)找交点的形式转化为baxy画出两个函数图象交点坐标为（2，1）即x=2,ｙ＝１125xyxy即:yx0112nymxbxyk的解是bxky2211方程组即：方程组的解两条直线的交点直线y1=k1x1+b1和直线y2=k2x2+b2的交点（m,n)一、二元一次方程的解与相应的一次函数图象上点对应。二、因为函数和方程有以上关系，所以我们就可以用图象法解决方程问题，也可以用方程的方法解决图象问题。三、用图象法解二元一次方程组的一般步骤:1.把两个方程都化成函数表达式的形式。2.画出两个函数的图象。3.找出交点坐标，交点坐标即为方程组的解。412xyxy1234x2341-1y0-1l1l21.右图中的两直线l1、l2的交点坐标可以看作方程组的解思考题：2.已知方程组，所对应的一次函数的图象表示如图，试求出a-b的值。1253byxyax01/2-1XY小明和小慧在长为50m的游泳池内练习游泳,小明每分游50m,小慧每分游20m,他们同时从一边出发游向对面,并且到达对面后立即转身返回(转身时间不计)。问：小慧游完一个来回与小明在途中共相遇几次?小明小慧由图象得小慧与小明在途中共相遇4次实践题2.5“数形结合”思想o1234550y(m)x(分)小东从A地出发以某一速度向B地前进，同时小明从B地出发以另一速度向A地前进(见下图)，图中的线段y1,y2分别表示小东、小明离B地的距离(km)与所用时间(h)的关系.(1)试用文字说明：交点P所表示的实际意义.(2)试求出A,B两地之间的距离.o2.57.541Py2y1x(h)y(km)(小东)解：（1）小东和小明出发2.5小时相遇，并且离B地7.5千米解：（2）设直线y1=kx+b(k≠0）∵过（2.5，7.5），（4，0）∴7.5=2.5k+b0=4k+b∴k=－5b=20∴y1=－5x+20当x=0时，y1=20∴A，B两地的距离为20千米综合题(小明)基础练习，提高能力（4，0）x4x4x64x6y=2y=-1基础练习，提高能力x-2X-2X-2议一议：A、B两地相距150千米，甲、乙两人骑自行车分别从A、B两地相向而行。假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离s(千米)都是骑车时间t(时)的一次函数.1时后乙距A地120千米,2时后甲距A地40千米.问：经过多长时间两人相遇?议一议：A、B两地相距150千米，甲、乙两人骑自行车分别从A、B两地相向而行。假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离s(千米)都是骑车时间t(时)的一次函数.1时后乙距A地120千米,2时后甲距A地40千米.问：经过多长时间两人相遇?直线型图表示B乙甲A120千米2时,40千米1时ts20甲ts30150乙A、B两地相距150千米，甲、乙两人骑自行车分别从A、B两地相向而行。假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离s(千米)都是骑车时间t(时)的一次函数.1时后乙距A