合情推理与演绎推理练习题

合情推理与演绎推理练习一、与代数等式、不等式有关的推理【例题1】考察下列一组不等式：332244335511222222252525252525373735将上述不等式在左、右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为_____________________________．【变式1-1】观察：1=1，1-4=-（1+2），1-4+9=（1+2+3），1-4+9-16=-（1+2+3+4）…猜想第n个等式是：_________________．【变式1-2】观察：715211；5.516.5211；33193211；….对于任意正实数,ab，试写出使211ab成立的一个条件可以是____________.【变式1-3】观察下列等式：①cos2α=2cos2α－1；②cos4α=8cos4α－8cos2α+1；③cos6α=32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；④cos8α=128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；⑤cos10α=mcos10α－1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1；可以推测，m－n+p=.【例题2】如果函数)(xf在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意1x，2x，…，nx，都有)()()()(2121nxxxfnxfxfxfnn.若xysin在区间(0,)上是凸函数，那么在ABC中，CBAsinsinsin的最大值是________________．二、与数列有关的推理【例题3】已知命题：若数列{an}为等差数列，且am＝a，an＝b(m≠n，m、n∈N*)，则am＋n＝bn－amn－m；现已知等比数列{bn}(bn0，n∈N*)，bm＝a，bn＝b(m≠n，m、n∈N*)，若类比上述结论，则可得到bm＋n＝_________________．【例题4】图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n个图形包含()fn个“福娃迎迎”，则(5)f；()(1)fnfn．（答案用数字或n的解析式表示）【变式4-1】用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n条“金鱼”需要火柴棒的根数为_____________．【变式4-2】一同学在电脑中打出如下图若干个圆（○表示空心圆，●表示实心圆）○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○……问：到2006个圆中有个实心圆．★2014年2月26日星期三【变式4-3】如图第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来,（ｎ＝1,2,3，…）。则第n－2个图形中共有个顶点。【例题5】将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（3n）从左向右的第3个数为．【变式5-1】把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设aij(i，1j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往24下数第i行、从左往右数第j个数，如357a42＝8.若aij＝2009，则i与j的和为681012()911131517A．105B．106141618202224C．107D．108三、与几何有关的推理【例题6】现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为24a．类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为___________________．【变式6-1】已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是_________________________________．【变式6-2】在ABC中,若090C,则1coscos22BA,用类比的方法,猜想三棱锥的类似性质,并证明你的猜想123456789101112131415………………★2014年2月26日星期三参考答案例题1、答案：am＋n＋bm＋nambn＋anbm(a0，b0，a≠b，m0，n0)解析：依题意得，推广的不等式为am＋n＋bm＋nambn＋anbm(a0，b0，a≠b，m0，n0)．变式1-2、点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故22ba变式1-3、答案：962例题2、[解析]3sin33sin3sinsinsinCBACBA332例题3、解析：等差数列中的bn和am可以类比等比数列中的bn和am，等差数列中的bn－am可以类比等比数列中的bnam，等差数列中的bn－amn－m可以类比等比数列中的n－mbnam.故bm＋n＝n－mbnam.答案：n－mbnam例题4、[解析])1(4)1()(,41)5(nnfnff需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.变式4-1、答案：6n＋2解析：由图形间的关系可以看出，第一个图中有8根火柴棒，第二个图中有8＋6根火柴棒，第三个图中有8＋2×6根火柴棒，以此类推第n个“金鱼”需要火柴棒的根数是8＋6(n－1)，即6n＋2.变式4-2、61变式4-3、[解析]设第n个图中有na个顶点，则3331a，4442a，2nn例题6、[解析]解法的类比（特殊化），易得两个正方体重叠部分的体积为83a变式5-1、解析：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2009＝2×1005－1，所以2009为第1005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2009在第32个奇数行内，所以i＝63，因为第63行的第一个数为2×962－1＝1923,2009＝1923＋2(m－1)，所以m＝44，即j＝44，所以i＋j＝107.答案：C变式6-1、[解析]原问题的解法为等面积法，即hrarahS3121321，类比问题的解法应为等体积法，hrSrShV4131431即正四面体的内切球的半径是高41变式6-2、[解析]由平面类比到空间,有如下猜想:“在三棱锥ABCP中，三个侧面PCAPBCPAB,,两两垂直，且与底面所成的角分别为,,，则1coscoscos222”证明：设P在平面ABC的射影为O，延长CO交AB于M，记hPO由PBPCPAPC,得PABPC面，从而PMPC，又PMCPChPCOsincos，PAhcos，PBhcoshPAPCPCPBPBPAPCPBPAVABCP)cos21cos21cos21(31611)coscoscos(hPBPAPC即1coscoscos222【名师指引】（1）找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积，平面上的角对应空间角等等；（2）找对应元素的对应关系，如：两条边（直线）垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等课后练习1、观察下列等式：332123，33321236，33332123410，…，根据上述规律，第五个等式．．．．．为。2、已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若a＋7t＝a7t(a，t均为正实数)，类比以上等式，可推测a，t的值，则t－a______3、观察223322443223,abababababaabbababaababb进而猜想nnab4、对于Nn，将n表示为1101102222kkkknaaaa,当ik时1ia，当01ik时ia为0或1，定义nb如下：在n的上述表示中，当01,aa，a2，…，ak中等于1的个数为奇数时，bn=1；否则bn=0.[中国教#*育&出版^网@]（1）b2+b4+b6+b8=__；（2）记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是___.5、传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3，6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：（Ⅰ）b2012是数列{an}中的第______项；（Ⅱ）b2k-1=______。（用k表示）6、已知圆的面积S(R)＝πR2，显然S′(R)＝2πR表示的是圆的周长：c＝2πR.把该结论类比到空间，写出球中的类似结论．7、在△ABC中，射影定理可以表示为a＝bcosC＋ccosB，其中a，b，c依次为角A、B、C的对边，类比以上定理，给出空间四面体性质的猜想．班级________姓名_________________★2014年2月26日星期三课后练习参考答案1、解析：第i个等式左边为1到i+1的立方和，右边为1+2+...+（i+1）的平方所以第五个等．．．．式．为333333212345621。2、解析：观察所给的等式，等号左边是2＋23，3＋38，4＋415，…，等号的右边是223，338，…，则第n个式子的左边是n＋＋n＋1n＋2－1，右边是(n＋1)·n＋1n＋2－1，故a＝7，t＝72－1＝48.t－a＝41，选B.4、【答案】（1）3；（2）2.【解析】（1）观察知000112,1,1aab；1010221202,1,0,1aab；一次类推10331212,0b；21044120202,1b；21055120212,0b；2106121202，60b，781,1bb，b2+b4+b6+b8=３；（2）由（1）知cm的最大值为２.5、【答案】（Ⅰ）5030；（Ⅱ）5512kk【解析】由以上规律可知三角形数1,3,6,10,…,的一个通项公式为(1)2nnna，写出其若干项有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,110,故142539410514615,,,,,babababababa.从而由上述规律可猜想：255(51)2kkkkba（k为正整数），2151(51)(511)5(51)22kkkkkkba，故201221006510065030baaa,即2012b是数列{}na中的第5030项.【点评】本题考查归纳推理，猜想的能力.归纳推理题型重在猜想，不一定要证明，但猜想需要有一定的经验与能力，不能凭空猜想.来年需注意类比推理以及创新性问题的考查.6、解：平面图形的面积应该和空间几何体的体积问题类比；平面图形的周长应和空间几何体的表面积类比．所以半径为R的球的体积为V(R)＝43πR3，其导函数V′(R)＝43×3πR2＝4πR2，显然表示的是球的表面积．所以结论是：以半径为R的球的体积为V(R)＝43πR3，其导函数表示的是球的表面积：S＝4πR2.7、解：如图，在四面体P－ABC中，S1、S2、S3、S分别表示△PAB、△PBC、△PCA、△ABC的面积，α、β、γ依次表示面PAB、面PBC、面PCA与底面ABC所成角的大小，我们猜想将射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1cosα＋S2cosβ＋S3cosγ.