2011年重庆高考理科数学试卷及答案详解-WORD版(答案超级详细)

2011年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学（理工农医类）(试卷及答案详解)一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．（1）复数2341iiii（A）1122i(B)1122i(C)1122i(D)1122i解析：选B.234111111112iiiiiiiiiii。（2）“1x”是“210x”的（A）充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析：选A.21011xxx或，，故“1x”是“210x”的充分而不必要条件（3）已知21lim213xaxxx，则a=(A)-6(B)2(C)3(D)6解析：选D.222512161limlimlim2133133xxxaxaxaxxaxaxxxxxxxx,故263aa（4）13nx（其中nN且6a）的展开式中5x与6x的系数相等，则n（A）6(B)7(C)8(D)9解析：选B。13nx的通项为13rrrnTCx，故5x与6x的系数分别为553nC和663nC，令他们相等，得：56!!335!5!6!6!nnnn，解得n7（5）下列区间中，函数()lg(2)fxx，在其上为增函数的是（A）(,1](B)41,3(C)3[0,)2(D)[1,2)解析：选D。用图像法解决，将lgyx的图像关于y轴对称得到lgyx，再向右平移两个单位，得到lg2yx，将得到的图像在x轴下方的部分翻折上来，即得到()lg(2)fxx的图像。由图像，选项中()fx是增函数的显然只有D（6）若ABC的内角,,ABC所对的边,,abc满足22()4abc，且060C，则ab的值为（A）43(B)843(C)1(D)23解析：选A。由22()4abc得22224ababc，由060C得222421cos222abcabCabab，解得43ab（7）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则14yab的最小值是（A）72（B）4（C）92（D）5解析：选C。因为a+b=2，所以14141414914522222abbabayabababab（8）在圆22260xyxy内，过点0,1E的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（A）52（B）102（C）152（D）202解析：选B，由题意，AC为直径，设圆心为F，则FEBD,圆的标准方程为221310xy，故1,3F，由此，易得：210AC，又31210EFk，所以直线BD的方程为112yx，F到BD的距离为1132552，由此得，25BD所以四边形ABCD的面积为112521010222ACBD（9）高为24的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（A）24（B）22（C）1（D）2解析：选C.设底面中心为G，球心为O，则易得22AG，于是22OG，用一个与ABCD所在平面距离等于24的平面去截球，S便为其中一个交点，此平面的中心设为H，则222244OH，故22227148SH，故22272184SGSHHG（10）设m，k为整数，方程220mxkx在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为（A）-8（B）8（C）12（D）13解析：选D.设22fxmxkx，则方程220mxkx在区间（0,1）内有两个不同的根等价于201001280ffkmkm，因为02f，所以120fmk，故抛物线开口向上，于是0m，02km，令1m，则由280km，得3k，则322km，所以m至少为2，但280km，故k至少为5，又522km，所以m至少为3，又由252mk，所以m至少为4，……依次类推，发现当6,7mk时，,mk首次满足所有条件，故mk的最小值为13二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案写在答题卡相应位置上。（11）在等差数列na中，3737aa，则2468aaaa解析：74.28463737aaaaaa，故246823774aaaa（12）已知单位向量,ijcc的夹角为60，则2ijcc解析：3。2222244414cos603ijijijijcccccccc（13）将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为解析：1132。硬币投掷6次，有三类情况，①正面次数比反面次数多；②反面次数比正面次数多；③正面次数而后反面次数一样多；，③概率为33361152216C，①②的概率显然相同，故①的概率为511116232（14）已知1sincos2，且0,2，则cos2sin()4的值为解析：142。由题设条件易得：7sincos2，故22in()sincos424s，7cos2sincossincos4，所以cos2142sin()4（15）设圆C位于抛物线22yx与直线3x所组成的封闭区域（包含边界）内，则圆C的半径能取到的最大值为解析：61。为使圆C的半径取到最大值，显然圆心应该在x轴上且与直线3x相切，设圆C的半径为r，则圆C的方程为2223xryr，将其与22yx联立得：222960xrxr，令2224960rr，并由0r，得：61r三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程和清算步骤（16）（本小题满分13分）设2,cossincoscos2aRfxxaxxx满足()(0)3ff，求函数()fx在11,424上的最大值和最小值解析：22sincoscossinsin2cos22afxaxxxxxx由()(0)3ff得311222a，解得：23a因此3sin2cos22sin26fxxxx当,43x时，2,632x，fx为增函数，当11,324x时，32,624x，fx为减函数，所以fx在11,424上的最大值为()23f又因为()34f，11224f所以fx在11,424上的最小值为11224f（17）（本小题满分13分。（Ⅰ）小问5分（Ⅱ）小问8分.）某市公租房房屋位于A.B.C三个地区，设每位申请人只申请其中一个片区的房屋，且申请其中任一个片区的房屋是等可能的，求该市的任4位申请人中:（Ⅰ）若有2人申请A片区房屋的概率;（Ⅱ）申请的房屋在片区的个数的分布列与期望。解析：（Ⅰ）所有可能的申请方式有43种，恰有2人申请A片区房源的申请方式有2242C种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为224428327C（Ⅱ）的所有可能值为1,2,3.又4311327p，243422142327Cp，234344339CAp综上知，的分布列为：123p127142749从而有1144651232727927E（18）（本小题满分13分。（Ⅰ）小题6分（Ⅱ）小题7分。）设321fxxaxbx的导数fx满足(1)2,(2),fafb其中常数,abR.（Ⅰ）求曲线.yfx在点1,(1)f处的切线方程。（Ⅱ）设().xgxfxe求函数gx的极值。解析：（Ⅰ）因321fxxaxbx，故232fxxaxb，令1x，得132fab，由已知12fa，解得3b又令2x，得2124fab，由已知2fb，解得32a因此323312fxxxx，从而512f又因为123fa，故曲线.yfx在点1,(1)f处的切线方程为5312yx，即6210xy（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2333.xgxxxe，从而有239.xgxxxe，令0gx，解得120,3xx。当,0x时，0gx，故gx在,0为减函数，当0,3x时，0gx，故gx在0,3为增函数，当3,x时，0gx，故gx在3,为减函数，从而函数gx在10x处取得极小值03g，在23x出取得极大值3315ge（19）本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分。如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥ACD,AB⊥BC,AD=CD,∠CAD=030（Ⅰ）若AD=2，AB=2BC，求四边形ABCD的体积。（Ⅱ）若二面角C-AB-D为060，求异面直线AD与BC所成角的余弦值。解析：（Ⅰ）如图所示，设F为AC的中点，由于AD=CD,所以DF⊥AC.故由平面ABC⊥ACD,知DF⊥平面ABC,即sin301,DFAD，cos303AFAD。在RtABC中，因223ACAF,AB=2BC,有勾股定理易得215415,55BCAB.故四面体ABCD的体积1112154154332555ABCVSDF（Ⅱ）如图所示设G、H分别为变CD，BD的中点，则FG//AD,GH//BC,,从而FGH是异面直线AD与BC所成角或其补角。设E为边AB的中点，则EF//BC,由AB⊥BC，知EF⊥AB，又由（Ⅰ）有DF⊥平面ABC，故由三垂线定理知DE⊥AB,所以DEF为二面角C-AB-D的平面角,由题设知60DEF，设AD=a，则DF=ADsinCAD=2a在RtDEF中，33cot236aEFDFDEFa，从而1326GHBCEFa因ADEBDE，故BD=AD=a.从而，在RtBDF中，1122FHBDa,又1122FGADa,从而在FGH中，因FG=FH，由余弦定理得2223cos226FGGHFHGHFGHFGGHFG,故异面直线AD与BC所成角的余弦值为36（20）（本小题满分12分，第一问4分，第二问8分）如图（20），椭圆的中心为原点O，离心率22e，一条准线的方程为22x。（Ⅰ）求该椭圆的标准方程。（Ⅱ）设动点P满足2OPOMON,其中M,N是椭圆上的点。直线OM与ON的斜率之积为12。问：是否存在两个定点12FF、，使得12PFPF为定值。若存在，求12FF、的坐标；若不存在，说明理由。解析：（Ⅰ）由22,222aaecc，解得2222,2,2acbac，故椭圆的标准方程为22142xy（Ⅱ）设,Pxy，1122,,,MxyNxy,则由2OPOMON得1122,,2,xyxyxy，即12122,2xxxyyy，因为点M,N在椭圆22142xy上，所以2222112224,24