附录(惯性矩、静矩)

材料力学中南大学土木建筑学院1NNFFllAEAPPTTlIGI拉压杆圆轴扭转附录平面图形的几何性质几何性质——只与横截面的几何形状和尺寸有关的某些几何量，对杆件的应力和变形起着重要作用，如横截面面积A，圆轴横截面对圆心的极惯性矩IP等。材料力学中南大学土木建筑学院2梁的几何性质对变形的影响材料力学中南大学土木建筑学院3几何性质对变形的影响力学响应的决定因素载荷材料几何性质材料力学中南大学土木建筑学院4dAzCyASyAAdyACzASzAA一、形心dAyzOzyCyCzC§Ⅰ-1形心和静矩按合力矩定理理解——均匀薄板的重心材料力学中南大学土木建筑学院5dyASzAdzASyA为代数量，单位：m3或mm3。横截面对y轴的静矩横截面对z轴的静矩二、静矩（一次矩）dAyzOzyCyCzC三、静矩与形心坐标的关系Sz=AyCSy=AzC图形对一个轴的静矩，等于该图形面积与其形心坐标的乘积。材料力学中南大学土木建筑学院6结论：图形对其任意形心轴的静矩为零。Cyz任意图形当y是形心轴时，zC=0，Sy=AzC∴Sy=0Cyz几个特例形心必位于对称轴上材料力学中南大学土木建筑学院722d2d2dAyzRzz322302d2d312RyAdSzAzRzzR43yCSRzA解：由对称性，yC=0，Sz=0求图示半圆的Sy，Sz和形心坐标。OCRyzdAzCzdzy材料力学中南大学土木建筑学院8四、组合图形的静矩和形心组合图形——由几个简单图形组成的图形。材料力学中南大学土木建筑学院9组合图形的静矩和形心有如下公式11nnyiCiziCiiiSAzSAy；11nniCiiCiiiCCAyAzyzAA；材料力学中南大学土木建筑学院10112212CCCAyAyyAA1122yCCSAzAz1122zCCSAyAy112212CCCAzAzzAAⅠⅡyzC2(yC2,zC2)C1(yC1,zC1)C(yC,zC)组合图形的静矩和形心材料力学中南大学土木建筑学院112pdAIA二次矩，正定单位：m4或mm4显然，图形分布距离极点越远，对该极点的极惯性矩就越大。面积对极点的二次矩dAyzOzy§Ⅰ-2惯性矩惯性半径惯性积一、极惯性矩（与转动惯量类似）材料力学中南大学土木建筑学院122dyAIzA2dzAIyA二次矩，正定单位：m4或mm4显然，图形分布距离某轴越远，对该轴的惯性矩就越大。面积对y、z轴的惯性矩分别为dAyzOzy二、惯性矩材料力学中南大学土木建筑学院13由定义知：Ip=Iy+Iz图形对任意一对相互垂直轴的惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。通过同一点的一对相互垂直轴的惯性矩之和为常量。yyiIIzziII组合图形对某轴的惯性矩，等于各组成图形对同一轴惯性矩的和。dAyzOzy材料力学中南大学土木建筑学院14312bhIy312zbhI464yzdII常用图形的惯性矩bhzyCzydCzydCD44164yzDIIdD材料力学中南大学土木建筑学院15单位m或mm31223yyIbhhiAbh23zbi424644yzddiidyzzyIIiiAA，定义分别称为对y轴和对z轴的惯性半径三、惯性半径bhzyC矩形zydC圆形zydCD4422224)64)4yzDdDdiiDd材料力学中南大学土木建筑学院16dyzAIyzA混合二次矩，代数量单位：m4或mm4y,z轴中有一个是对称轴，则Iyz=0dAyzOzy四、惯性积zydAy-ydA材料力学中南大学土木建筑学院17dAyzOCabzCyCyz§Ⅰ-3平行移轴公式问题已知对形心轴的惯性矩和惯性积，求对所有与该形心轴平行的轴的惯性矩和惯性积?材料力学中南大学土木建筑学院1822d2ddCCAAAzAazAaA2()dCAzaA2dyAIzAdAyzOCabzCyCyz例如，已知IyC,y∥yC，求Iy。z=zC+a20CyIaA2CyIaA图形对某轴的惯性矩，等于对平行于此轴的形心轴的惯性矩，加上图形面积与此二轴距离平方的乘积。材料力学中南大学土木建筑学院19惯性积公式中a,b为形心坐标，注意其正负号。记住图形对形心轴的惯性矩，便可求出对所有平行于此形心轴的各轴的惯性矩。dAyzOCabzCyCyz一般地，Iy=IyC+a2AIz=IzC+b2AIyz=IyCzC+abA在一组平行的轴中，图形对其形心轴的惯性矩最小。材料力学中南大学土木建筑学院20已知C为形心，求Izc.解：①求形心位置由对称性，形心位于对称轴上。20zCz1z2z202002005555C1C2CyC112212CAyAyyAA2002021020020100155mm2002020020②求IzCIzC=（200×203/12＋200×20×552）＋（20×2003/12＋200×20×552）=37.67×106mm4材料力学中南大学土木建筑学院21441(2)2648yRRI4412816yRRI24421223yaaaIa4441316316yaaIa求图示截面对y轴的惯性矩。yRyRyaayaa材料力学中南大学土木建筑学院221221dcossindyAAIzAzyA一、转轴公式dAyzOzy§Ⅰ-4转轴公式坐标原点不变，坐标轴旋转，图形对轴的惯性矩和惯性积的变化。角：自y轴正向逆时针转动为正。y1z1新旧坐标转换关系：y1=ycos＋zsinz1=zcos－ysiny1z1材料力学中南大学土木建筑学院231cos2sin222yzyzyyzIIIIII11sin2cos22yzyzyzIIIIIy1、Iz1、Iy1z1都是角的有界周期函数Iy1+Iz1=Iy＋Iz=Ip=常数整理后得材料力学中南大学土木建筑学院2402tan2yzyzIII二、形心主惯性轴形心主惯性矩1、主惯性轴若Iy1z1=0，则y1，z1轴称为主惯性轴。其位置可由下式确定：由上式可求出相差90o的0，0+90o，分别对应于一对相垂直的主轴y0、z0。主惯性轴的意义对求导1cos2sin222yzyzyyzIIIIII111d2sin22cos220d2yyzyzyzIIIII即Iy1z1=0主惯性轴就是使得图形的惯性矩取极值时的坐标轴材料力学中南大学土木建筑学院252、主惯性矩图形对主惯性轴的惯性矩，称主惯性矩。当图形对任意两个坐标轴y，z的惯性矩Iy,Iz和惯性积Iyz已知时，其主惯性矩可由下式计算：2222yzyzyzIIIIImaxminII主惯性矩就是图形对通过一点的所有坐标轴中惯性矩取极值（最大值或最小值）时的惯性矩。与主轴方位的对应关系：求0时只取主值(|20|≤/2)，若IyIz，则由y轴转过0到达y0轴时，有Iy=Imax；若IyIz，则Iy=Imin。注意，0为正值逆时针旋转，为负则顺时针旋转。材料力学中南大学土木建筑学院263、形心主惯性轴通过形心的主惯性轴称为形心主惯性轴。对称轴必为形心主惯性轴。zyCyzCzyC4、形心主惯性矩图形对形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。形心主惯性矩对梁的应力分布和变形计算起着十分重要的作用。确定形心；确定对任意形心轴的惯性矩和惯性积；计算形心主惯性矩。计算步骤材料力学中南大学土木建筑学院27求图示正方形对过形心的任意y1、z1轴的惯性矩和惯性积。yzaaCy1z1解：由于：4012yzyzaIII，1cossin2222yzyzyzyyzIIIIIIII则同理，12yzzIII110yzI两形心主惯性矩相等的几何图形，通过形心的所有轴均为形心主惯性轴，且形心主惯性矩均相等。此结论可推广到任意正多边形，即正多边形对任一形心轴的惯性矩为常量。材料力学中南大学土木建筑学院28442222(2)(2)12644zaaaIaaa4717364aaa2a2y求图示图形对y轴的惯性矩。平面图形可看成一个矩形减去一个圆形组成。材料力学中南大学土木建筑学院29O为直角三角形ABD斜边上的中点，y、z轴为过点O且分别平行于两条直角边的两轴，关于惯性积和惯性矩有四种答案(已知ba)：（A）Iyz＞０（B）Iyz０(C)Iyz=０（D）Iy=Iz(C)yABDzOab正确答案是材料力学中南大学土木建筑学院30等腰直角三角形如图所示，y、z轴是过斜边中点的任意一对坐标轴（即图中q为任意值），该图形的:(1)惯性积Iyz＝＿＿(2)惯性矩Iy＝＿＿、Iz＿＿＿。答案：0；a4/24；a4/24zyaaq材料力学中南大学土木建筑学院31②求形心1002010100207040mm100202Cy1002050100201030mm100202Cz2010020O100求图示截面形心主惯性矩解:①建立坐标yOzyzC(yC,zC)C1C2材料力学中南大学土木建筑学院322010020O100yzC(40,30)C1C2③求IyC,IzC,IyCzC过质心C建立坐标系yCCzCyCzC202032322010020100201210020100202012CyI643.3310mm材料力学中南大学土木建筑学院332010020O100yzC(40,30)C1C2yCzC303033221002020100100203020100301212CzI=645.3310mmC1在坐标系yCCzC中坐标为（-30,20）;C2在坐标系yCCzC中坐标为（30,-20）。6420100(3020)10020(3020)2.410mmCCyzI材料力学中南大学土木建筑学院3422663.335.333.335.33102.41022={6.93×106mm41.73×106mm4④求形心主惯性矩2222CCCCCCyzyzyzIIIIImaxminII材料力学中南大学土木建筑学院35⑤形心主惯性轴022.4tan22.43.335.330=-33.7°yCzC2010020O100yzCC1C2y0z0-33.70材料力学中南大学土木建筑学院36截面几何性质小结1、静矩、惯性矩依赖坐标系数值不同，但是不同坐标系中的数值有一定的关系。2、Iz、Iy恒为正，Sz、Sy、Iyz可正可负，与坐标轴位置有关。3、对形心轴静矩为0，对称轴Iyz=0，对称轴就是形心主惯性轴。4、平行移轴公式中，对形心轴的惯性矩最小。5、形心主惯性矩一个为最大，一个为最小。材料力学中南大学土木建筑学院37本章结束