数列专题(精品)

范老师课堂第1页共7页数列专题一、数列知识的梳理1.等差数列的通项公式和前n项和公式如果等差数列na的首项为1a，公差为d，那么它的通项公式是：)()1(11dadndnaan如果等差数列na的首项为1a，公差为d，那么它的前n项和公式是：ndanddnnnanaaSnn)2(22)1(2)(12112.等差数列的性质(1)通项公式的推广：),()(*Nmndmnaamn.(2)若na为等差数列，且),,,(*Nnmlknmlk，则nmlkaaaa.(3)若na是等差数列，公差为d，则na2也是等差数列，公差为d2.(4)若na，nb是等差数列，则nnqbpa也是等差数列.(5)若na是等差数列，公差为d，则),(,,*2Nmkaaamkmkk，是公差为md的等差数列.(6)数列,,,232mmmmmSSS构成等差数列.3.等比数列的通项公式和前n项和公式如果等比数列na的首项为1a，公比为q，那么它的通项公式是：)0(11qqaann如果等比数列na的首项为1a，公比为q，那么它的前n项和公式是：.111)1(;1111qqqaaqqaqnaSnnn4.等比数列的性质(1)通项公式的推广：),(*Nmnqaamnmn.(2)若na为等比数列，且),,,(*Nnmlknmlk，则nmlkaaaa.范老师课堂第2页共7页(3)若na，nb（项数相同）是等比数列，则}{,,},1{),0(2nnnnnnbabaaaan仍是等比数列.(4)公比不为-1的等比数列na的前n项和为nS，则,,,232nnnnnSSS仍成等比数列，其公比为nq.(5)若na是公比不为1的等比数列，)1,0,0,0(qqABABAqSnn且.二、数列通项的几种求法1.累加法：数列的基本形式为：)()(*1Nnnfaann.等式左边)()()()()(11223211aaaaaaaaaannnnn等式左边)1()2()2()1(ffnfnf所以：1)1()2()2()1(affnfnfan.例1已知na的首项)(,2,1*11Nnnaaann，求na的通项公式.2.累乘法：数列的基本形式为：)()(*1Nnnfaann.等式左边11223211aaaaaaaaaannnnn等式左边)1()2()2()1(ffnfnf所以：1)]1()2()2()1([affnfnfan.例2已知na的首项)(,2,2*11Nnannaann，求na的通项公式.范老师课堂第3页共7页2.公式法：若nS为数列na的前n项和，即：nnaaaaS321，则.2;111nSSnSannn例3数列na中，nS是前n项和，若)2(,31,211nSaann，求na的通项公式.4.待定系数法：数列na有形如)1(1kbkaann的关系时，可用待定系数法求得tan为等比数列，进而求得na.即：)(1taktann展开可得：tkkaann)1(1，其中1kbt.例4已知数列na满足关系，231nnaa且11a，求na的通项公式.5.倒数法：数列na有形如nnnakaa)(1的关系时，可先用倒数法，再用待定系数法求na.即：nnnnakaaa11两边同时除以nnaa1，可得：111nnaak将na1看成一个整体运用待定系数法，从而得出na.范老师课堂第4页共7页例5已知数列na满足关系，31nnnaaa且)(2*1Nna，求na的通项公式.课堂练习：1.已知等差数列na中，51,28610Sa，求数列na的通项公式.2.已知数列na满足，12,111naaann，求数列na的通项公式.3.已知数列na满足，nnnaaa2,111，求数列na的通项公式.4.已知数列na的前n项和nS满足，2)1(41nnaS且0na，求数列na的通项公式.5.已知数列na满足，12,111nnaaa，求数列na的通项公式.6.已知数列na满足，22,111nnnaaaa，求数列na的通项公式.范老师课堂第5页共7页三、数列前n项和的求法：1.裂项相消法：一般地，若是公差为d的等差数列，则有：)11()1(114321321321nnnaa·a·aaa·a·adnaa·a·a特殊的裂项公式：（1）111)1(1nnnnan；（2）)121121(21)12)(12(1nnnnan；（3）nnnnan111.例6已知数列na是递增的等比数列，且8,93241aaaa.⑴求数列na的通项公式；⑵设nS为数列na的前n项和，11nnnnSSab求数列nb的前前n项和nT.例7已知数列na满足)(1,1*11Nnnaaann，求数列}1{na的前10项和.2.错位相减法：一般地，若数列na是公差为d的等差数列，数列nb是公比为q的等比数列，若nnnbac，则数列nc的前n项和nS：范老师课堂第6页共7页nnnbababababaS44332211…………………………①154433221nnnbababababaqS………………………②①—②得：143211)()1(nnnnbabbbbdbaSq若1q时，212111)1(1qbbdqbabaSnnnn若1q时，2)(11naabSnn.例8已知数列na满足nnanaa211112,2）（.⑴求数列na的通项公式；⑵令nnnaab211，求数列nb的前n项和nS.课堂练习：1.已知等比数列na中，16,241aa.⑴求数列na的通项公式；⑵令*122loglog1Nnaabnnn，求数列nb的前n项和nS.2.已知等比数列na中，*11),1()1(,1Nnnnannaann.⑴证明：求数列nan是等差数列；⑵设nnnab3，求数列nb的前n项和nS.范老师课堂第7页共7页四、等差、等比数列的综合应用例9已知数列nnba，满足3,4,6332211bababa，且数列)*1Nnaann（是等差数列，2nb是等比数列，求数列na和nb的通项公式.五、课堂小结：1.数列知识梳理：①等差数列；②等比数列的通项公式；③前n项和公式及性质；2.数列通项的求法：①累加法；②累乘法；③公式法；④待定系数法；⑤倒数法.3.数列前n项和的求法：①裂项相消法；②错位相减法。4.等差数列和等比数列的综合应用