成人高考高数二专升本真题及答案

1/82012年成人高等学校专升本招生全国统一考试高等数学（二）一、选择题：每小题10分，共40分。在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求。1.3limxcos(x−2)x−2=（）A.1B.cos1C.0D.π答案：B解读：3limxcos(x−2)x−2=cos(3−2)3−2=cos12.设函数y=x2+1,则dydx=（）A.13x3B.x2C.2xD.x2答案：C3.设函数f(x)=cosx,则f’(π2)=（）A.−1B.−12C.0D.1答案：A解读：12sin2,sinfxxf4.下列区间为函数f(x)=sinx的单调增区间的是（）2/8A.(0,π2)B.(π2,π)C.(π2,32π)D.(0,2π)答案：A5.∫x2dx=（）A.3x3+CB.x3+CC.x33+CD.x2+C答案：C解读：由基本积分公式Cxadxxaa111可得6.∫11+xdx=（）A.e1+x+CB.11+x+CC.x+CD.ln|1+x|+C答案：D解读：Cxxdxdxx1ln111117.设函数z=ln(x+y),则∂z∂x|(1,1)=（）A.0B.12C.ln2D.1答案：B解读：∂z∂x=1x+y,将1,1yx代入，∂z∂x|(1,1)=128.曲线y=√4−x2与x轴所围成的平面图形的面积为（）A.2B.4C.2πD.4π3/8答案：C解读：画图可知此图形是以坐标原点为圆心，半径为2且位于x轴上方的半圆，也可用定积分的几何意义来做9.设函数z=ex+y2,则22zx（）A.2yB.ex+2yC.ex+y2D.ex答案：D解读：xexz，xexz2210.设事件A,B互不相容,P(A)=0.3,P(B)=0.2,则P(A+B)=（）A.0.44B.0.5C.0.1D.0.06答案：B解读：因为A，B互不相容，所以P(AB)=0，P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5二、填空题：每小题4分，共40分.11.1limxx2+x+2x2−3=.答案：2解读：1limxx2+x+2x2−3=12+1+212−3=−212.limx→0sin2x3x=.4/8答案：32解读：xxxxxxxx32lim32sinlim022sin0等价无穷小替换和2313.设函数f(x)={x2+1,x0a+x,x≥0在x=0处连续,则a=.答案：1解读：1,limlim,11limlim00200aaxaxfxxfxxxx14.曲线y=x3+3x的拐点坐标为.答案：（0，0）解读：0,06,332xxyxy，将0x代入y，0y，所以拐点为0,015.设函数f(x)=cosx,则f’’(x)=.答案：cosx解读：xxfxxfcos,sin16.曲线y=sin(x+1)在点(-1,0)处的切线斜率为.答案：1解读：1cosxy，10cos1xyk17.∫2xex2dx=.答案：ex2+C解读：Cedxedxxexxx222225/818.∫cosxdx10=.答案：sin1解读：1sin0sin1sinsincos1010xxdx19.∫e−x+∞0dx=.答案：1解读：10000eeexdedxexxx20.设函数z=x3ey,则全微分dz=.答案：3x2eydx+x3eydy解读：yexxz23，yexyz3，dzdxxzdyyz三、解答题：共70分。解答应写出推理、演算步骤。21.计算0limxex−1x答案：0limxex−1x=0limxex1=122.计算∫lnxxdx.答案：∫lnxxdx=∫lnxd(lnx)=12(lnx)2+C23.计算∫lnxxdx.答案：∫lnxxdx=∫lnxd(lnx)=12(lnx)2+C6/824.计算∫xcosxdx.解读：∫xcosxdx=∫xd(sinx)=xsinx-∫sinxdx=xsinx+cosx+C25.已知某篮球运动员每次投篮投中的概率是0.9,记X为他两次独立投篮投中的次数.（1）求X的概率分布（2）求X的数学期望EX解读：（1）x可能的取值是0,1,2P(x=0)=0,1×0.1=0.01P(x=1)=2×0.9×0.1=0.18P(x=2)=0.9×0.9=0.81因此x的概率分布为（2）数学期望EX=0×0.01+1×0.18+2×0.81=1.826.求函数f(x)=x3−3x−2的单调区间和极值.解读：xf=3x2-3，令xf=0,得驻点x1=-1,x2=10120.010.180.817/8x(-∞,−1)-1(-1,1)1(1,+∞)f’(x)+0-0+f(x)↑极大值0↓极小值-4↑因此f(x)的单调增区间是(-∞,−1),(1,+∞)。单调减区间为(-1,1)f(x)极大值为f(-1)=0,极小值为f(1)=-427.已知函数f(x)=−x2+2x：（1）求曲线y=f(x)与x轴所围成的平面图形的面积S。（2）求(1)中平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V.解读：（1）由{y=−x2+2xy=0得交点坐标为(0,0),(2,0)S=∫(−x2+2x)20dx=（−x33+x2）|02=43（2）V=∫π(−x2+2x)220dx=π∫(x4−4x3+4x2)dx20=π(15x5−x4+43x3)|02=1615π28.求二元函数f(x,y)=x2+y2+2y的极值.（2012年）解读：{fx’(x,y)=2xfy′(x,y)=2y+2，令{fx’(x,y)=0fy′(x,y)=0得驻点（0，−1）因为fxx′′(x,y)=2,fxy′′(x,y)=0,fyy′′(x,y)=2所以A=fxx′′(0,−1)=2,B=fxy′′(0,−1)=0,C=fyy′′(0,−1)=2由于A0且B2−AC0,故f(x,y)在点（0，−1）处取得极小值，极小值f(0,−1)=−18/8