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小学奥数专题之——————数阵图数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。幻方一般均为正方形。图中纵、横、对角线数字和相等。数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。变幻多姿，奇趣迷人。一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。数阵的特点是：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。解数阵问题的一般思路是：1.求出条件中若干已知数字的和。2.根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。1.10.5.2辐射型数阵例1将1～5五个数字，分别填入下图的五个○中，使横、竖线上的三个数字和都是10。解：已给出的五个数字和是：1＋2＋3＋4＋5＝15题中要求横、竖每条线上数字和都是10，两条线合起来便是20了。20－15＝5，怎样才能增加5呢？因为中心的一个数是个重复使用数。只有5连加两次才能使五个数字的和增加5，关键找到了，中心数必须填5。确定中心数后，按余下的1、2、3、4，分别填在横、竖线的两端，使每条线上数的和是10便可。例2将1～7七个数字，分别填入图中的各个○内，使每条线上的三个数和相等。解：图中共有3条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。设中心数为a，则a被重复使用了2次。即，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋2a＝28＋2a，28＋2a应能被3整除。（28＋2a）÷3＝28÷3＋2a÷3其中28÷3＝9…余1，所以2a÷3应余2。由此，便可推得a只能是1、4、7三数。当a＝1时，28＋2a＝3030÷3＝10，其他两数的和是10－1＝9，只要把余下的2、3、4、5、6、7，按和为9分成三组填入两端即可。同理可求得a＝4、a＝7两端应填入的数。例3将从1开始的连续自然数填入各○中，使每条线上的数字和相等。解：图中共有三条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。设中心数为a，a被重复使用了两次，即：1＋2＋3＋……＋10＋2a＝55＋2a，55＋2a应能被3整除。（55＋2a）÷3＝55÷3＋2a÷3其中，55÷3＝18余1，所以2a÷3应余2。由此，可推知a只能在1、4、7中挑选。在a＝1时，55＋2a＝57，57÷3＝19，即中心数若填1，各条线上的数字和应为19。但是除掉中心数1，在其余九个数字中，只有两组可满足这一条件，即：9＋7＋2＝18，8＋6＋4＝18，7＋5＋3＝15所以，a不能填1。经试验，a＝7时，余下的数组合为12（19－7＝12），也不能满足条件。因此，确定a只能填4。例4将1～9九个数字，填入下图各○中，使纵、横两条线上的数字和相等。解：1～9九个数字和是：1＋2＋3＋……＋9＝5×9＝45，把45平分成两份：45÷2＝22余1。这就是说，若使每行数字和为23，则需把1重复加一次，即中心数填1；若使数字和为24，中心数应填3……。总之，因45÷2余数是1，只能使1、3、5、7、9各个奇数重复使用，才有可能使横、竖行的数字和相等。因而，此题可有多种解法。但中心数必须是9以内的奇数。例5将1～11十一个数字，填入下图各○中，使每条线段上的数字和相等。解：图中共有五条线段，全部数字的总和必须是5的倍数，每条线上的数字和才能相等。1～11十一个数字和为66，66÷5＝13余1，必须再增加4，可使各线上数字和为14。共五条线，中心数重复使用4次，填1恰符合条件。此题的基本解法是：中心数重复使用次数与中心数的积，加上原余数1，所得的和必须是5的倍数。据此，中心数填6、11均可得解。1.10.5.3封闭型数阵例1把2、3、4、5、6、7六个数字，分别填入○中，使三角形各边上的数字和都是12。解：要使三角形每边上的数字和都是12，则三条边的数字和便是12×3＝36，而2＋3＋4＋5＋6＋7＝27，36与27相差9。三个角顶的数字都重复使用两次，只有这三个数字的和是9，才能符合条件。确定了角顶的数字，其他各数通过尝试便容易求得了！这题还可有许多解法，上图只是其中一种。例2把1～9九个数字，分别填入下图○中，使每边上四个数的和都是21。解：要使三角形每条边上的数字和是21，则三条边的数字和便是：21×3＝63。而1～9九个数字的和只有45。45比63少18，只有使三角形三个顶角的数字和为18，重复使用两次，才能使总和增加18。所以应确定顶点的三个数。下面是填法中的一种。确定了顶角的数后，其他各数便容易了。例3下图是四个互相联系的三角形。把1～9九个数字，填入○中，使每个三角形中数字的和都是15。解：每个三角形数字和都是15，四个三角形的数字和便是：15×4＝60，而1～9九个数字和只有45。45比60少15。怎样才能使它增加15呢？靠数字重复使用才能解决。中间的一个三角形，每个顶角都联着其他三角形，每个数字都被重复使用两次。因此，只要使中间的一个三角形数字和为15，便可以符合条件。因此，它的三个顶角数字，可以分别为：1、9、52、8、52、7、64、6、5及2、9、43、8、43、7、58、6、1。把中间的三角形各顶角数字先填出，其他各个三角形便容易解决了。前页下图是其中的一种。例4把2～10九个数字，分别填入下图○中，使每条直线上的三个数和为15。解：2～10九个数字的和为：2＋3＋4＋……＋10＝6×9＝54若排成每个三角形每边的数字和都是15，图中含有每边都三个数字的三角形有两个，共六条边，数字总和应是15×6＝90。54比90少36。在外围的六个数都被重复使用了两次，它们又分属于两个三角形。所以，每个三角形三个顶角的数和应为：36÷2＝18。这样，便可以先填外三角形三个顶角的数。三个数和为18的有很多组，可以通过试验筛选出适宜的一组。填好了外围三角形各个数后，里面的三角形，因为顶角的数已知，其他各数便容易填写了。上面是填法中的一种。例5把1～10十个数字，分别填入下图○中，使每个三角形三个顶角的三个数字和相等。解：图中有三个三角形，顶角数字互不联系，中心的一个数独立于各个三角形之外。因此，要使各三角形顶角的数字和相等。去掉中心数后，数字总和应是3的倍数，而且三角形顶角的数字三组中不能出现重复。如：以10为中心数，可填为如上图样。例6将1～12分别填入下图○中，使图中每个三角形周边上的六个数的和都相等。解：图中共有四个三角形，共有六个边。1～12的数字和是78。每条边上的数字和应为：78÷6＝13。这样，我们可以推想：因为内部的三条边都被重复计算两次，只要每个数增加1，十二个数的总和便增加6，它们同样可以填出来，因而，本题的解法是很多的。7、把127125433212161413121、、、、、、、、九个数分别填入下图○中，使每条直线上的三个数的和都相等。解：九个分数排成方阵，使纵、横、对角线的三个数和相等，这已经符合幻方的要求了，因此，可以按幻方的制作方法求解。这十二个分数，按从小到大的顺序排列是：433212721125314161121、、、、、、、、把它们按序排列为斜方形：将上、下两数，左、右两数对调，再把中间四数向外拉出，这样重新组成的数阵，便是求得的解了。例8将1～8八个数字，分别填入下图○中，使每个小三角形顶点上三数之和为12。解：图中共有四个小三角形，每个三角形顶点数字的和若都是12，数字总和便是12×4＝48，可是1～8八个数字总和只有36。36比48少12。只有靠共用顶角上数的重复使用，才能解决。因此，必须把四个公用顶角的数字和填成12。把1～8八个数四个一组，和为12的有：6＋3＋2＋15＋4＋2＋1上述两组中，经验证，只有6＋3＋2＋1可以作公用顶点的数字。例9在下图五个○内，各填入一个自然数，使图中八个三角形中顶点的数字和各不相同。求能满足这个条件的自然数中最小的五个数。解：能满足使八个三角形顶点数字和各不相同的任意自然数有很多组，但自然数中能满足这个条件的最小自然数却只有一组。最小的一组自然数中的五个数，若有两个相同的，其中三个数的和可以多到有7个不同值，因此，五个数互不相同。如果这五个数是1，2，3，4，5，则其中三个数的和有如下组合方式：1＋2＋3＝62＋3＋4＝93＋4＋5＝121＋2＋4＝71＋3＋4＝82＋3＋5＝102＋4＋5＝11这样，总共只有七种不同的和，而图中共八个三角形，可知1，2，3，4，5五个自然数不能满足条件。例10在下列图中三个正方形中，每个正方形的四个顶点上，只填入1，2，3，4四数，使图中八个三角形顶点数字和互不相同。解：图中，顶角在大正方形边上的四个三角形，顶角都分别为两个三角形共用，只有正方形的四个角分别只属于一个三角形，所以，四个三角形顶点数字的和应等于：（1＋2＋3＋4）×3＝3030不是4的倍数，因而，外面的四个三角形顶点数字和不可能相等。同理，里面的四个三角形顶点数字和也不可能相等。题中要求，每个三角形顶点数字和不相同，1～4四个数之和最小值是1＋1＋2＝4，最大值是4＋4＋3＝11，这样共可组成八组数，将八组数分别填入各个三角形顶点，便可符合条件。例11将1～8八个数字，分别填入下图○中，使每个面的四个数和相等。解：数字图是个正立方体，共有六个面。每个面四个顶点上的数都是三个面重复使用的。1～8八个数的数字总和是：1＋2＋3＋……＋8＝36因为每个顶点的数都被重复使用三次，所以六个面的数字总和是：36×3＝108每个面的数字和便是：108÷6＝18这样，便可填为下图或其他形式。数阵图【方阵】例1将自然数1至9，分别填在图5.17的方格中，使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等。（长沙地区小学数学竞赛试题）讲析：中间一格所填的数，在计算时共算了4次，所以可先填中间一格的数。（l+2+3+……+9）÷3=15，则符合要求的每三数之和为15。显然，中间一数填“5”。再将其它数字顺次填入，然后作对角线交换，再通过旋转（如图5.18），便得解答如下。例2从1至13这十三个数中挑出十二个数，填到图5.19的小方格中，使每一横行四个数之和相等，使每一竖列三个数之和又相等。（“新苗杯”小学数学竞赛试题）讲析：据题意，所选的十二个数之和必须既能被3整除，又能被4整除，（三行四列）。所以，能被12整除。十三个数之和为91，91除以12，商7余7，因此，应去掉7。每列为（91—7）÷4=21而1至13中，除7之外，共有六个奇数，它们的分布如图5.20所示。三个奇数和为21的有两种：21=1＋9+11=3＋5+13。经检验，三个奇数为3、5、13的不合要求，故不难得出答案，如图5.21所示。例3十个连续自然数中，9是第三大的数，把这十个数填到图5.22的十个方格中，每格填一个，要求图中三个2×2的正方形中四数之和相等。那么，这个和数的最小值是______。（1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：不难得出十个数为:2、3、4、5、6、7、8、9、10、11。它们的和是65。在三个2×2的正方形中，中间两个小正方形分别重复了两次。设中间两个小正方形分别填上a和b，则（65＋a＋b）之和必须是3的倍数。所以，（a＋b）之和至少是7。故，和数的最小值是24。【其他数阵】例1如图5.23，横、竖各12个方格，每个方格都有一个数。已知横行上任意三个相邻数之和为20，竖列上任意三个相邻数之和为21。图中已填入3、5、8和“×”四个数，那么“×”代表的数是______。（1994年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：可先看竖格。因为每相邻三格数字和为21，所以每隔两格必出现重复数字。从而容易推出，竖格各数从上而下是：3、10、8、3、10、8、3、10、8、3、10、8。同理可推导出横格各数，其中“×”=5。例2如图5.24，有五个圆，它们相交后相互分成九个区域，现在两个区域里已经分别填上数字10、6，请在另外七个区域里分别填进