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第1页（共89页）高中数学解题研究会QQ群339444963放缩法通关100题（含答案）1.由下列不等式： ， ‴ ‴ ， ‴ ‴ ‴ ‴ ， ‴ ‴ ‴ ‴ t ， ，你能得到一个怎样的一般不等式?并加以证明．2.数列 各项均为正数， ，且对任意的 ，都有 ‴ ‴t t h．（1）求t ‴t ‴t ‴t ‴ 的值；（2）若t h ，是否存在 ，使得 ，若存在，试求出 的最小值，若不存在，请说明理由．3.已知正项数列 的前 项和为 ，数列 满足 ‴ ．（1）求数列 的通项公式；（2）设数列 满足 ‴ ，它的前 项和为 ，求证：对任意正整数 ，都有 成立．4.已知数列 的前 项和为 ，若 ‴ ‴ ，且 ．（1）求证：数列 为等差数列；（2）设 ，数列 的前 项和为 ，证明： ．5.观察下列三角形数表，假设第 行第二个数为 t ．\（\begin{array}{ccccccccccc}&&&&1&&&&&&\llap{\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\}第\1\行\\&&&2&&2&&&&&\llap{\cdots\cdots\cdots\cdots\}第\2\行\\&&3&&4&&3&&&&\llap{\cdots\cdots\cdots\}第\3\行\\&4&&7&&7&&4&&\quad&\llap{\cdots\cdots\}第\4\行\\5&&11&&14&&11&&5&&\llap{\cdots\}第\5\行\\\cdots&&&&\cdots&&&&\cdots&&\cdots\\\end{array}\）（1）归纳出 ‴ 与 的关系式，并求出 的通项公式；（2）设 ，求证： ‴ ‴ ‴ ．6.已知一个口袋有 个白球， 个黑球 t t ，这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为 ， ， ， ， ‴ 的抽屉内，其中第 次取出的球放入编号为 的抽屉 t t t t ‴ ． ‴ （1）试求编号为 的抽屉内放的是黑球的概率 ；（2）随机变量 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数， 是 的数学期望，证明 ‴ ．7.数列 满足 ， ‴ ‴ ‴ h ．（1）求数列 的通项公式；（2）求证： ‴ ‴ ‴ ‴ ．8.已知数列 满足 ， ‴ ‴．（1）若数列 满足 ，求证： 是等比数列；第2页（共89页）高中数学解题研究会QQ群339444963（2）若数列t 满足t log ， t ‴t ‴ ‴t ，求证： ．9.求证： ‴ （ t ‴）．10.已知 ， ，t均为正实数，求证：（1） ‴ ‴ ；（2） ‴ ‴ t ‴ ‴ ‴t‴ t‴ ．11.已知数列 前 项和 满足： ‴ ．（1）求数列 的通项公式；（2）设 ‴ ‴ ‴ ‴ ，数列 的前 项和为 ，求证： ．12.已知数列 满足 ， ‴ t ‴t（t，t为常数）．（1）当t ，t 时，求 h 的值；（2）当t ，t 时，记 ， ‴ ‴ ‴ ‴ ，证明： ．13.已知数列 按如下方式构成： ht ，函数 ln ‴ 在点 t 处的切线与 轴交点的横坐标为 ‴ ．（1）证明：当 ht 时， ；（2）证明： ‴ ；（3）若 ht ， ht ，求证：对任意的正整数 ，都有log ‴log ‴ ‴ ‴log ‴ ．14.已知数列 满足 ， ， ‴ t （1）证明：数列 ‴ 是等比数列，并求出 的通项公式（2）设数列 满足 log ‴ ，证明：对一切正整数 ，有 ‴ ‴ ‴ ．15.设 ， 是曲线 ‴ ‴ 在点 t 处的切线与 轴交点的横坐标，（1）求数列 的通项公式；（2）记 ，证明： ．16.设各项均为正数的数列 的前 项和为 ，且 满足 ‴ ‴ h， ．（1）求 的值；（2）求数列 的通项公式；（3）证明：对一切正整数 ，有 ‴ ‴ ‴ ‴ ．17.已知数列 中， ， ‴ ‴ ，数列 满足 ‴ t （1）求数列 的通项公式；（2）证明： ‴ ‴ ‴ .18.设数列 满足 ， ‴ ‴ ‴ .第3页（共89页）高中数学解题研究会QQ群339444963（1）证明： ‴ ；（2）设数列 的前 项和为 ，证明： ．19.已知数列 满足 ， ‴ ‴ ．（1）求证： ‴ ；（2）求证： ．20.若等差数列 的前 项和 满足 h hh，数列 ， ， ， ， 的前t项和为 ．（1）求数列 的通项公式；（2）若数列 的前 项和为 ， ‴ ‴ ，求证： t ．21.已知点列 t 与 th满足 ‴ ， ‴ ‴ ，且 ‴ ‴ ，其中 ， ．（1）求 ‴ 与 的关系式；（2）求证： ‴ ‴ ‴ ‴ ．22.现有 ‴ （ ， ）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵： 第 行 第 行 第 行 第 行设 是第 行中的最大数，其中 ， ．记 的概率为 ．（1）求 的值；（2）证明： C ‴ ‴ ．23.已知数列 满足 t， ‴ ， ．（1）求 ；（2）求 的通项公式；（3）设 的前 项和为 ，求证： t ．24.设数列 满足 ， ‴ ‴ ．第4页（共89页）高中数学解题研究会QQ群339444963（1）证明： ‴ ；（2）证明： ‴ ．25.已知数列 ， 中， ， ‴ ‴ ， ，数列 的前 项和为 ．（1）若 ，求 ；（2）是否存在等比数列 ，使 ‴ 对任意 恒成立?若存在，求出所有满足条件的数列 的通项公式；若不存在，说明理由；（3）若 ，求证：h ．26.定义：若数列 满足 ‴ ，则称数列 为“平方递推数列”．已知数列 中， ，点 t ‴ 在函数 ‴ 的图象上．其中 为正整数．（1）求 ， ，并求证：数列 ‴ 是“平方递推数列”，且数列lg ‴ 为等比数列；（2）设 ‴ ‴ ‴ ．求数列 的通项公式及 关于 的表达式；（3）记 logt ‴ logt t 的前 项和为 ．求证： 对 恒成立．27.（1）已知 为常数，且h ，函数 ‴ ，求函数 在 上的最大值；（2）若 ， 均为正实数，求证： ‴ ．28.已知函数 ln ‴ ， ‴ ln ‴ ．（1）当 时，求 的最大值；（2）若对 ht‴ ， h恒成立，求 的取值范围；（3）证明 ‴ ln ．29.已知函数 ln ．（1）求函数 的最大值；（2）求证：ln ‴ ‴ln ‴ ‴ln ‴ ‴ ‴ln ‴ ‴ ln t ．30.设函数 ln ， ．（1）求函数 的最小值；（2）若存在 ht‴ ，使 成立，求实数 的取值范围；（3）若使关于 的方程 h在e te （其中e h 为自然对数的底数）上有解的 的最小值为 ，数列 的前 项和为 ，求证： ．31.已知数列 满足 ， ‴ ‴ ‴ ， ， ．（1）求证： ；（2）求证：当 时， ．32.已知数列 ， ，前 项和为 ，且满足 ．（1）求证：数列 是等差数列；（2）证明：当 时， ‴ ‴ ‴ ‴ ＜ ．33.设数列 满足 ‴ ， ．第5页（共89页）高中数学解题研究会QQ群339444963（1）证明： ， ；（2）若 ， ，证明： ， ．34.已知 满足 ‴ ‴ N ，且 t t 成等差数列．（1）求数列 的通项公式；（2）若数列 满足 sinπ ， 为数列 的前 项和，求证：对任意 N ， ‴π．35.设实数 ， ， ， 满足 ‴ ‴ ‴ h，且 ‴ ‴ ‴ 且 ，令 ．求证： ‴ ‴ ‴ ．36.已知函数 ln ‴ ， ．（1）求函数 的单调区间．（2）若 h在 ht‴ 上恒成立，求实数 的取值范围．（3）在（2）的条件下，任意的h ，求证： ‴ ．37.已知函数 ‴ ln t hh（1）当 时，求函数 单调区间和极值；（2）若关于 的方程 有解，求实数 的取值范围．38.已知数列 满足 ， ‴ ‴ ‴ ，令 ‴ ．（1）求证： 是等比数列；（2）记数列 的前 项和为 ，求 ；（3）求证： ‴ ‴ ‴ ‴ ．39.设函数 ln ‴ ‴ ．（1）若 时， 取得极值，求 的值；（2）若 在其定义域内为增函数，求 的取值范围；（3）设 ‴ ，当 时，证明 h在其定义域内恒成立，并证明ln ‴ln ‴ ‴ln ‴ t ．40.已知点 t （ ）在直线 ： ‴ 上， 是直线 与 轴的交点，数列 是公差为 的等差数列．（1）求数列 ， 的通项公式；（2）求证： ‴ ‴ ‴ ‴ ．41.已知数列 的前 项和为 ，通项公式为 ， t t ．（1）计算 ， ， 的值；（2）比较 与 的大小，并用数学归纳法证明你的结论.42.正项数列 的前n项和 满足： ‴ ‴ h．（1）求数列 的通项公式 ；第6页（共89页）高中数学解题研究会QQ群339444963（2）令 ‴ ‴ ，数列