二项分布与超几何分布的区别与联系

二项分布与超几何分布的区别与联系1．独立重复试验与二项分布(1)一般地，在相同条件下，重复做的n次试验称为n次独立重复试验．各次试验的结果不受其它试验的影响．(2)一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率都为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.则称随机变量X服从参数为n、p的二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．2．超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN，k＝0,1,2，…，m，(其中m是M，n中的最小值，n≤N，M≤N，n、M、N∈N*)．称分布列X01…mPC0MCn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnN…CmMCn－mN－MCnN为超几何分布列，如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布．3、二项分布、超几何分布的均值、方差(1)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．※(2)若X服从参数为N、M、n的超几何分布，则E(X)＝nMN.例题解析1、从含有2件优等品的5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中的优等品数的分布列及其均值。解：可能的取值为0,1,2，22325()iiCCPiC(0,1,2)i，的分布列为012P31035110均值314()125105E.[2011广东理17部分]从含有2件优等品的5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中的优等品数的分布列及其均值。解：可能的取值为0,1,2，22325()iiCCPiC(0,1,2)i，的分布列为012P31035110均值314()125105E.变式题：从含有2件优等品的5件产品中，有放回抽取2次，每次抽1件并记录下结果后放回，求抽取2次后记录的优等品数的分布列及其均值。.[2012广东理17部分]某学习小组由12个同学组成，在期中考试中该小组有3个同学成绩不低于90分，从该小组的同学中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的数学期望。[2010广东理17题部分]某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），发现当中有12件重量超过505克。（1）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列。（2）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率。一次数学摸底考试，某班360名同学成绩的频率分布直方图如图所示．若得分90分以上为及格．从该班任取2位同学，其中及格人数记为ξ，求ξ的分布列．一次数学摸底考试，某班360名同学成绩的频率分布直方图如图所示．若得分90分以上为及格．从该班任取2位同学，其中及格人数记为ξ，求ξ的分布列．结论：在实际应用时，只要N≥10n，不放回抽取可以近似看成是放回抽取，可用二项分布近似描述不合格品个数，即当超几何分布计算非常困难时应考虑用二项分布近似代替。[2009广东理17题部分]对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，发现一年中有219天空气质量为良或轻度污染，求该城市某一周至少有2天的空气质量为轻微污染的概率.练习：[2010·天津理]某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响．(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；解析：(1)设X为射手在5次射击中击中目标的次数，则X～B5，23.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率P(X＝2)＝C25×232×1－233＝40243.(2)设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i＝1,2,3,4,5)；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A，则P(A)＝P(A1A2A3A－4A－5)＋P(A－1A2A3A4A－5)＋P(A－1A－2A3A4A5)＝233×132＋13×233×13＋132×233＝881.