高中数学排列组合模型讲义

1高中数学排列组合模型讲义定义：从n个不同的元素中取出m(nm)个元素，按照一定的顺序排成一列。记作：KmHY2.构成：原始的元素:n个取出的元素：m个【元素】【位置】m个元素按照一定的顺序排列【分步】本质：【顺序】从n个不同的元素中取出的m个元素进行排列时顺序是固定的【集合】有限集合K=naaa......,21},,|),......,,(.....21jixxkxxxxKKKKjiimm(1)(2)......(1)mmnknnnnmA【元素个数】nAcardBAmnmBcard)()(【数】m个不同的元素【个数】从n个不同的元素中取出m(nm)个元素的所有不同元素的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数【K集合中的两个元素】1.相邻2.不相邻3．在特定的位置4.不在特定的位置【三个元素】1.相邻2.不相邻3.在特定的位置4.不在特定的位置【四个元素】从a,b,c,d四个元素中取出三个元素的排列共有34A个，abc是其中一个排列【m个元素】1.取出的m个元素可以重复2.取出的m个元素不可以重复【位置与元素】1.特定的元素排在特定的位置2.特定的元素不排在特定的位置3.分类【元素的个数】【有限】有穷数列【无限】无穷数列【顺序】组合数列2【m】时，全排列时，选排列nmnm4.条件1.【定义】从n个不同的元素中取出m(nm)个元素，按照一定的顺序排成一列2.【位置】元素相同，位置也相同，则是同一个排列；元素完全不同，或元素不完全相同，或元素相同，位置不同都不是同一个排列5.性质【个数】)!(!mnnAmn【m=n】!nAnn11mnmnnAA排列模型一、直线排列：元素不完全相同的直线排列置特定元素必不在特定位特定元素必在特定位置元素顺序不固定元素顺序固定必不相邻模型）！元素顺序不固定（）！元素顺序固定（必相邻模型排列数不重复排列mmmmnmmnm!11模型个人，每个人至少一件映射个数为排列数为重复排列knm元素不完全相同的直线排列走楼梯法排列数!!!!!321kmmmmn二、环状排列长方形排列正多边形排列项圈排列排列数为无编号直线排列有编号直线排列一、不同元素的排列问题（一）不重复排列1、必相邻模型：3站法？必须站在一起，有几种名女生站成一排，女生名男生和例、有）数为（元素进行排列，总排列对个元素顺序不固定个元素排列元素看成一个元素，解析：用捆绑法把）元素顺序不固定：（）、（）总排列数为（个元素顺序一定个元素排列一个元素，然后对元素捆绑在一起，看成解析：把）元素顺序固定：（、元素必相邻的排列数：个不同元素中，34!!11!!12!11!1)1(mmnmmmnmmmnmmnmmnmmnmmn2、不相邻模型：有几种站法？女生和女生都不相邻，不相邻，有几种站法？名女生站成一排，女生名男生和例、有方法并按顺序排列，共有种个元素，个空来放个空，从中取出个元素全排列，则有解析：对元素顺序不固定：）、（顺序固定，即有个元素，个空来放个空，从中取出个元素全排列，则有解析：对元素顺序固定：、数：个元素必不相邻的排列个不同元素中，45121)1(mmmnmnmmmmnmnmmn3、特定元素必在特定位置站法？在两端，有几种不同的必须站中间，乙必须站个人站成一排，其中甲例、排列。个元素进行个元素种取出的个特定位置，再从剩余个特定元素放在解析：先把排列数为个元素必在特定位置的个元素的排列，其中个元素中，取出从7kmknkkmmn4、特定元素不能在特定位置的填法有多少种？与所填的数字均不相同方格的标号格填入一个数字，每个、的四个方格里，每个、、、、填入标号为、、、例、将数字时，排法有：时，时，排法有：时，时，排法有：时，排法有：时，排法有：间接法：则排列方法如下：特定位置时，元素分别不能排在某个定个不同元素做排列，规个元素中，取出从43214321321)(nknmrknmkkkmkkmn（二）重复排列4，有多少种方法？每个箱子至少放一个球个不同的箱子里，其中个不同的球，放入例、时，时，时，时，分配方法为：个人每人至少得一件，个人，限定个不同元素分给、有多少种不同的投法？个不同的邮箱中，一共封不同的信投入例、将排列数为：个元素的重复排列。个元素中取出，叫做从个（可重复）排成一列个不同元素中，任选、从48)3()2(3)1(23)2()1(22)1(1234122nnnnnnnnmmrkmmmmkmmmkmmkkmnnmnmn二、不都相异元素的排列多少种不同的排法？各种各样的排列，共有这个词的各个字母做成例、把拼成：个相异元素的排列数为个，则组有个，第第二组有个，顺序固定，若第一组有组元素在排列时各组的个元素做排列，若其中相似于，数为个元素的全排列，则个，类的相同元素有第个，元素有个，第二类的相同有类）第一类的相同元素类，（相同元素分为一个元素可分为设successmmmnnmkmmknmmmnnnmmmmmkmmknkkkkk!!!!!!!!212121321215穿成多少种钻石圈？颗不同颜色的钻石，可例：个做项圈排列个数为：个不同元素取出状排列项圈排列：可翻转的环）（有编号排列数的证明：无编号的排列数）（、无编号：有确定。男士，则女士的位置也证明：有编号的：先排、有编号：为妇相对而坐，其排列数对夫妇围圆桌，每队夫（二）（直线排列数）即环状排列数数的环状排列数为直线排列列视为相同的一种环状排位置相同形，则各元素之间相对种排列首尾接成一个环将以上种环状排列：但每个直排列可变成一个元素做直排列有种，个不同元素取出证明：从个元素的环状排列数：个不同元素取出）无编号的排列数：（直排列的排列数）有编号的排列数（：个不同元素的环状排列（一）环状排列：？，上楼的方法有多少种级，每步走一级或二级例、设楼梯共走楼梯法6!1221!122!224)22(2!211,1,,,,,,,,,,,,,,,2!11011132113211321mnnnnnnnnnmmmaaaaaaaaaaaaaaamnmnnnnnnnmmmmmm直线排列数的一半个不同元素的排列数为也相同人数相同，另两边人数长方形桌，两长边所坐长方形桌排列（直线排列数）个人的排列数为：相同人数，则正多边形桌子，每边坐）只研究无编号的排列数号的可视为直线排列正多边形桌排列（有编nknkn!1Y7.【不相邻模型(1)】1.（安徽12）12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是(C)A．2686CAB．2283CAC．2286CAD．2285CA【特定的元素在特定的位置】2．(陕西16)某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有96种．（用数字作答）6【相邻模型】3．（浙江17）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是（用数字作答)。40【环状排列数】4.（全国一12）如图，一环形花坛分成ABCD，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（B）A．96B．84C．60D．48【特定元素在特定位置】5.（海南卷9）甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有（A）A.20种B.30种C.40种D.60种Y8，重要的上位：分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法组合Y1例子：从某班34个同学中选出10名同学组成数学兴趣小组定义：一般地，从n个不同的元素中取出m(nm)个元素合成一组Y2.结构：【定义】【元素】取出的元素序排列【位置】按照一定的顺本质：【集合】有限集合Knaaa......,21kmjiimkmHAjixxKxxxxH,,|......,21【K集合中元素a角度】：组合中元素与a地位平等，与元素a顺序无关【K集合中元素a,b】:a,b两个元素都取a,b两个都不取a,b两个元素只取一个【K集合中的四个元素】从a,b,c,d四个元素中取出三个元素的组合共有mnC个，其中abc与bca相同KAAk|2【幂集合】：【两者之间】：mnCmnnC10nnnCCDBCA7nCCnnn11【三者之间】：11mnmnmnCCCY3.分类：【m】1nnmnCnmCnm时，时，【元素本身角度】：1.任何两个组合之间元素部分相同或完全不同（2nm时）2两个相同的组合元素全部相同【顺序】1.有序分组2.无宇分组Y4.条件【定义】一般地，从n个不同的元素中取出m(nm)个元素合成一组Y5.性质：【个数】KAAk|2【组合的个数】从n个不同的元素中取出m(nm)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用mnC表示【两个组合之间】：元素个数角度：都含有m个元素【幂集角度】：两个组合都是K的幂集中元素，且具有互异性【单个组合】1、【元素】：每个组合都有m个元素构成2、【集合】：m个元素构成的集合KKAAKAKA,,3、【元素个数角度】：Nnnm,0【集合】相似联系：组合中的元素满足集合中元素的确定性、互异性、无序性,,mnnmnCC【两者之间】：11mnmnmnCCC【三者之间】：【运算过程角度】：mnCmmmnmnnnmmmnAAAAA【分子】是m个连续自然数的连乘积，最大是n，最小是n－m＋1【分母】是!m【子集】：mnCZ【n者之间】：1、nnnnnnCCCC22108证明：背景集合K的子集可含有0、1、2、……n个元素，含0个元素的集合有一个集空集，含一个元素的集合有nCn1个，含两个元素的集合有2nC个，……含n元素的集合有1nnC个，所以这样的集合共有nnnnnnCCCC2210个，构造二项式定理，令1ba，得nnnnnnCCCCba2)(210n，所以等式成立。2、)(022110mnCCCCCCCCCmnmnmmmnmmnmmnm证明：可以构造两个集合A、B，A中有m个不同元素，B中有n个不同元素，从中取出m个元素可以分为m+1类，A中取0、1、2、……m个，则B中分别取n个，个个，个，011n，根据分步计数原理，共有选法为022110nmmmnmmnmmnmCCCCCCCC种，又由组合数定义知取法数为mnmC，所以等式成立。3、1122232221)()(3)(2)(nnnnnnnnCCnCCC证明：构造模型：可设一个班有n个男生与n个女生，在这2n个学生中选n个同学（至少有一名男生）组成一个代表团，并指定其中一名男生为团长，按选出的男生人数)3,2,1(nII分类，这一类有2)(inInninCICiC种选法，总的选法有21)(inniCi种，原式右边组合数意义是：直接在n个男生中选一个团长有n种选法，再从剩下的12n人中选出1n人为团员，共有2)(inCI种选法，所以左边等于右边。4、nnnnnnnnnnnnnnCCCCCCCCC2022110证明：可以构造两个集合A、B，A中有n个不同元素，B中有n个不同（且异于A中元素）