高考数学文化题目：阿波罗尼斯圆问题

1高考数学文化内容预测三：阿波罗尼斯圆问题一、高考考试大纲数学大纲分析及意义：普通高考考试大纲数学修订,加强了对数学文化的考查。针对这一修订提出以下建议：建议教师对数学文化这一概念认真学习，结合教材内容学习，特别是教材中渗透数学文化的内容要充分重视，重点研究；结合近年新课标试题中出现的与数学文化有关的试题进行学习，重点关注题源、考法命题形式。其主要意义为：（1）增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用.（2）能力要求：经命题专家精细加工，再渗透现代数学思想和方法；在内涵方面，增加了基础性、综合性、应用性、创新性的要求.二、往年新课标高考实例解析及2017年高考数学文化试题预测：往年新课标高考实例分析：分析一：古代数学书籍《九章算术》、《数书九章》等为背景近年来在全国高考数学试题中，从《九章算术》中选取与当今高中数学教学相映的题材背景．（1）2015年高考全国卷Ⅰ，此题源于《九章算术》卷第五《商功》之[二五]，将古代文化“依垣”和现代教育元素“圆锥”结合．（2）2015年高考全国卷Ⅱ，此题源于《九章算术》卷第一《方田》之[六]：“又有九十一分之四十九．问约之得几何？”“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之”，后人称之为“更相减损术”．（3）2015年高考湖北卷，此题背景源于《九章算术》卷第五《商功》之[一五]．今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺．问积几何；之[一六]今有鳖臑，下广五尺，无袤；上袤四尺，无广，高七尺．问积几何．考题将“阳马”，“鳖臑”相结合，以《选修2－1》P109例4为源进行有机整合．巧妙嫁接，精典设问，和谐优美的考题呼之即出.分析二：课后阅读或课后习题如阿波罗尼圆为背景从2005-2013年多次涉及考题，全国卷2011年16题以此为命题背景的其他省市：江苏：2008年13题、2013年17题.2009-2013年湖北高考连续出现等等.数学文化题型背景预测：预测1：古代数学书籍《九章算术》、《数书九章》等数为背景的数学文化类题目.预测2：高等数学衔接知识类题目.如微积分、初等数学和高等数学的桥梁，由高中向大学的知识过渡衔接.预测3：课本阅读和课后习题的数学文化类题目.如必修3中，辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、二进制、割圆术等。预测4：中外一些经典的数学问题类题目.如：回文数、匹克定理、角谷猜想、哥尼斯堡七桥问题、四色猜想等经典数学小问题值得注意。2APB三、直击高考经典公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius）在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．如图，点BA,为两定点，动点P满足PBPA，则1时，动点P的轨迹为直线；当1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆．证：设PBPAmmAB,02）（．以AB中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则），，（0mA），（0mB．又设），（yxC，则由PBPA得2222)()(ymxymx，两边平方并化简整理得）（）（）（）（222222211121myxmx，当1时，0x，轨迹为线段AB的垂直平分线；当1时，22222222)1(4)11(mymx，轨迹为以点)0,11(22m为圆心，122m长为半径的圆．上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理．高考经典试题分析：【2013江苏，17】如图，在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为，圆心在上．（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．解：（1）联立：，得圆心为：C(3，2)．设切线为：，d＝，得：．xOy)3,0(A42:xylC1lC1xyACCMMOMA2Ca421xyxy3kxy11|233|2rkk430kork3故所求切线为：．（2）设点M(x，y)，由，知：，化简得：，即：点M的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D．又因为点在圆上，故圆C圆D的关系为相交或相切．故：1≤|CD|≤3，其中．解之得：0≤a≤125．四、数学文化领悟高考数学试卷中,我们可以见到阿波罗圆的一般形式,阿波罗圆是一个重要的题根,在历次高考中累累出现.我们说“评10年高考,看一个题根”,其实这个圆哪里只考了10年.今年湖北卷中出现的,只不过是其更新颖的形式罢了。注：1.波罗尼斯（Apolloning,约公元前260~170），古希腊数学家，与欧几里得，阿基米德等齐名。著有《圆锥曲线论》和《平面轨迹》等书。五、高考试题预测高考预测1：与圆有关的面积问题例1满足条件BCACAB2,2的三角形ABC的面积的最大值是．解：以AB中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则），，（01A），（01B，设），（yxC，由BCAC2得2222121yxyx）（）（，平方化简整理得88316222）（xxxy，∴22y，则22221ySABC，∴ABCS的最大值是22．高考预测2：与圆有关的范围问题例2在平面直角坐标系xOy中，设点(1,0),(3,0),(0,),(0,2)ABCaDa，若存在点P，使得2,PAPBPCPD，则实数a的取值范围是．解：设(,)Pxy，则2222(1)2(3)xyxy，整理得22(5)8xy，即动点P在以(5,0)为圆心，22为半径的圆上运动．3430xyoryMOMA222222)3(yxyx4)1(22yxMC22)32(aaCD4另一方面，由PCPD知动点P在线段CD的垂直平分线1ya上运动，因而问题就转化为直线1ya与圆22(5)8xy有交点，所以122a，故实数a的取值范围是[221,221]．例3在平面直角坐标系xOy中，点03A,，直线24lyx：.设圆的半径为1，圆心在l上.若圆C上存在点M，使2MAMO，求圆心C的横坐标a的取值范围.解：设,24Caa，则圆方程为22241xaya又设00(,)Mxy，2MAMO22220000344xyxy，即220014xy这说明M既在圆22241xaya上，又在圆2214xy上，因而这两个圆必有交点，即两圆相交或相切，2221024(1)21aa，解得1205a，即a的取值范围是12[0,]5．高考预测3：与阿圆有关的探索性问题问题例4已知⊙22:1Oxy和点(4,2)M.（1）过点M向⊙O引切线l，求直线l的方程；（2）求以点M为圆心，且被直线21yx截得的弦长为4的⊙M的方程；（3）设P为（2）中⊙M上任一点，过点P向⊙O引切线，切点为Q.试探究：平面内是否存在一定点R，使得PQPR为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.解：（1）设切线l方程为)4(2xky，易得11|24|2kk，解得81915k，∴切线l方程为8192(4)15yx．（2）圆心到直线12xy的距离为5，设圆的半径为r，则9)5(2222r∴⊙M的方程为9)2()4(22yx5（3）假设存在这样的点),(baR，点P的坐标为),(yx，相应的定值为，根据题意可得122yxPQ，∴2222)()(1byaxyx，即)22(12222222babyaxyxyx（*），又点P在圆上∴9)2()4(22yx，即114822yxyx，代入（*）式得：)11()24()28(1248222baybxayx若系数对应相等，则等式恒成立，∴12)11(4)24(8)28(22222baba，解得310,51,522,1,2baba或，∴可以找到这样的定点R，使得PRPQ为定值.如点R的坐标为)1,2(时，比值为2；点R的坐标为)51,52(时，比值为310．