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二次函数与几何图形综合题08二次函数与几何图形综合题1.[2018·贺州]如图ZT8-1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A,B两点(A在B的左侧),且OA=3,OB=1,与y轴交于点C(0,3),抛物线的顶点坐标为D(-1,4).(1)求A,B两点的坐标.(2)求抛物线的表达式.(3)过点D作直线DE∥y轴,交x轴于点E,点P是抛物线上B,D两点间的一个动点(点P不与B,D两点重合),PA,PB与直线DE分别交于点F,G,当点P运动时,EF+EG是否为定值?若是,试求出该定值;若不是,请说明理由.图ZT8-12.[2018·连云港]如图ZT8-2①,图形ABCD是由两个二次函数y1=kx2+m(k0)与y2=ax2+b(a0)的部分图象围成的封闭图形,已知A(1,0),B(0,1),D(0,-3).(1)直接写出这两个二次函数的表达式;(2)判断图形ABCD是否存在内接正方形(正方形的四个顶点在图形ABCD上),并说明理由;(3)如图②,连接BC,CD,AD,在坐标平面内,求使得△BDC与△ADE相似(其中点C与点E是对应顶点)的点E的坐标.图ZT8-23.[2018·益阳]如图ZT8-3,已知抛物线y=12x2-32x-n(n0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.(1)如图①,若△ABC为直角三角形,求n的值;(2)如图①,在(1)的条件下,点P在抛物线上,点Q在抛物线的对称轴上,若以BC为边,以点B,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的坐标;(3)如图②,过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D,交y轴于点E,若AE∶ED=1∶4,求n的值.图ZT8-34.[2018·齐齐哈尔]综合与探究:如图ZT8-4①所示,直线y=x+c与x轴交于点A(-4,0),与y轴交于点C,抛物线y=-x2+bx+c经过点A,C.(1)求抛物线的表达式;(2)点E在抛物线的对称轴上,求CE+OE的最小值;(3)如图②所示,M是线段OA上的一个动点,过点M且垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P,N.①若以C,P,N为顶点的三角形与△APM相似,则△CPN的面积为;②若点P恰好是线段MN的中点,点F是直线AC上一个动点,在坐标平面内是否存在点D,使以点D,F,P,M为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点D的坐标;若不存在,请说明理由.图ZT8-45.[2018·潍坊]如图ZT8-5①,抛物线y1=ax2-12x+c与x轴交于点A和点B(1,0),与y轴交于点C0,34,抛物线y1的顶点为G,GM⊥x轴于点M.将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2.(1)求抛物线y2的解析式.(2)如图②,在直线l上是否存在点T,使△TAC是等腰三角形?若存在,请求出所有点T的坐标;若不存在,请说明理由.(3)点P为抛物线y1上一动点,过点P作y轴的平行线,交抛物线y2于点Q,点Q关于直线l的对称点为R.若以P,Q,R为顶点的三角形与△AMG全等,求直线PR的解析式.图ZT8-56.[2018·乐山]如图ZT8-6,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C0,-43,OA=1,OB=4,直线l过点A,交y轴于点D,交抛物线于点E,且满足tan∠OAD=34.(1)求抛物线的解析式.(2)动点P从点B出发,沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度向点A运动,动点Q从点A出发,沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动,当点P运动到点A时,点Q也停止运动,设运动时间为t秒.①在P,Q的运动过程中,是否存在某一时刻t,使得△ADC与△PQA相似?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.②在P,Q的运动过程中,是否存在某一时刻t,使得△APQ与△CAQ的面积之和最大?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.图ZT8-6参考答案1.解:(1)由抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A,B两点(A在B的左侧),且OA=3,OB=1,得点A的坐标为(-3,0),点B的坐标为(1,0).(2)设抛物线的表达式为y=a(x+3)(x-1).把点C的坐标代入函数表达式,得a(0+3)(0-1)=3.解得a=-1.故抛物线的表达式为y=-(x+3)(x-1)=-x2-2x+3.(3)EF+EG=8(或EF+EG是定值).理由如下:过点P作PQ∥y轴,交x轴于Q,如图.设P(t,-t2-2t+3),则PQ=-t2-2t+3,AQ=3+t,QB=1-t.∵PQ∥EF,∴△AEF∽△AQP.∴𝐸𝐸𝐸𝐸=𝐸𝐸𝐸𝐸,∴EF=𝐸𝐸·𝐸𝐸𝐸𝐸=(-𝐸2-2𝐸+3)×23+𝐸=23+𝐸×(-t2-2t+3)=2(1-t).∵PQ∥EG,∴△BEG∽△BQP.∴𝐸𝐸𝐸𝐸=𝐸𝐸𝐸𝐸.∴EG=𝐸𝐸·𝐸𝐸𝐸𝐸=(-𝐸2-2𝐸+3)×21-𝐸=2(t+3).∴EF+EG=2(1-t)+2(t+3)=8.2.解:(1)∵二次函数y1=kx2+m的图象经过点A,B,∴{𝐸+𝐸=0,𝐸=1.解得{𝐸=-1,𝐸=1.∴二次函数y1=kx2+m的解析式为:y1=-x2+1.∵二次函数y2=ax2+b的图象经过点A,D,∴{𝐸+𝐸=0,𝐸=-3.解得{𝐸=3,𝐸=-3.∴二次函数y2=ax2+b的解析式为y2=3x2-3.(2)设M(x,-x2+1)为第一象限内的图形ABCD上一点,M'(x,3x2-3)为第四象限内的图形ABCD上一点,∴MM'=(1-x2)-(3x2-3)=4-4x2.由抛物线的对称性知,若有内接正方形,则2x=4-4x2,即2x2+x-2=0.解得x=-1+√174或x=-1-√174(舍),∵0-1+√1741,∴存在内接正方形,此时其边长为-1+√172.(3)在Rt△AOD中,OA=1,OD=3,∴AD=√𝐸𝐸2+𝐸𝐸2=√10,同理CD=√10.在Rt△BOC中,OB=OC=1,∴BC=√𝐸𝐸2+𝐸𝐸2=√2.①如图①,当△DBC∽△DAE时,∵∠CDB=∠ADO,∴在y轴上存在一点E满足条件.由𝐸𝐸𝐸𝐸=𝐸𝐸𝐸𝐸,得4√10=√10𝐸𝐸.∴DE=52.∵D(0,-3),∴E0,-12.由对称性知,在直线DA右侧还存在一点E'使得△DBC∽△DAE',连接EE',交DA于点F,作E'M⊥OD,垂足为M,连接E'D.①∵E,E'关于DA对称,∴DF垂直平分EE'.∴△DEF∽△DAO.∴𝐸𝐸𝐸𝐸=𝐸𝐸𝐸𝐸=𝐸𝐸𝐸𝐸,即2.5√10=𝐸𝐸3=𝐸𝐸1.∴DF=3√104,EF=√104.∵S△DEE'=12DE·E'M=EF·DF=158,∴E'M=32.又DE'=DE=52,在Rt△DE'M中,DM=√𝐸𝐸'2-𝐸'𝐸2=2,∴OM=1,得E'32,-1.所以,使得△DBC∽△DAE的点E的坐标为0,-12或32,-1.②如图②,当△DBC∽△ADE时,有∠BDC=∠DAE,𝐸𝐸𝐸𝐸=𝐸𝐸𝐸𝐸,即4√10=√10𝐸𝐸,得AE=52.当E在直线DA左侧时,设AE交y轴于点P,作EQ⊥AC,垂足为Q.②∵∠BDC=∠DAE=∠ODA,∴PD=PA.设PD=x,则PO=3-x,PA=x.在Rt△AOP中,由PA2=OA2+OP2,得x2=(3-x)2+1.解得x=53.∴PA=53,PO=43.∵AE=52,∴PE=56.∵OP∥EQ,∴𝐸𝐸𝐸𝐸=𝐸𝐸𝐸𝐸.∴OQ=12.又𝐸𝐸𝐸𝐸=𝐸𝐸𝐸𝐸=23,∴QE=2.∴E-12,-2.当E'在直线DA右侧时,∵∠DAE'=∠BDC,又∠BDC=∠BDA,∴∠BDA=∠DAE'.∴AE'∥OD.∴E'1,-52.∴使得△DBC∽△ADE的点E的坐标为-12,-2或1,-52.综上,使得△BDC与△ADE相似(其中点C与点E是对应顶点)的点E有4个,其坐标为0,-12或32,-1或-12,-2或1,-52.3.解:(1)若△ABC为直角三角形,则△AOC∽△COB.∴𝐸𝐸𝐸𝐸=𝐸𝐸𝐸𝐸,即OC2=OA·OB.由抛物线y=12x2-32x-n(n0),可得OC=n,OA·OB=2n.∴n2=2n.解得n1=2,n2=0(舍去).∴n=2.(2)由(1)可知,抛物线的对称轴为直线x=32,抛物线的解析式为y=12x2-32x-2.令y=0,得12x2-32x-2=0,解得x1=-1,x2=4,∴A(-1,0),B(4,0).设点Pm,12m2-32m-2.当直线PQ∥BC,点P在点Q的左侧时(如图①所示),当△BOC平移到△QNP的位置时,四边形PQBC为平行四边形,此时NQ=OB,即32-m=4,m=-52,12m2-32m-2=398,此时点P的坐标为-52,398;当点P在点Q的右侧时(如图①所示),同理可得m-32=4,m=112,12m2-32m-2=398,此时点P的坐标为112,398.综上所述,满足条件的点P的坐标为-52,398,112,398.(3)如图②,过点D作DF⊥x轴,垂足为F,则AO∶OF=AE∶ED=1∶4.设A(a,0),B(b,0),则AO=-a,OF=-4a.∵AD∥BC,∴∠OBC=∠DAO.∵∠BOC=∠AFD=90°,∴△BOC∽△AFD.∴𝐸𝐸𝐸𝐸=𝐸𝐸𝐸𝐸,即𝐸𝐸𝐸=𝐸-4𝐸-𝐸.∴𝐸𝐸𝐸=𝐸-5𝐸.由题意,得ab=-2n.∴𝐸𝐸=-𝐸2.∴DF=-5a·𝐸𝐸=-5a·-𝐸2=52a2.∵点A,D在抛物线上,∴{12𝐸2-32𝐸-𝐸=0,12×16𝐸2-32×(-4𝐸)-𝐸=52𝐸2.解得{𝐸=-32,𝐸=278.∴n的值为278.4.解:(1)将A(-4,0)代入y=x+c,得c=4.∴点C的坐标为(0,4).将(-4,0)和(0,4)代入y=-x2+bx+c,得b=-3.∴抛物线的解析式为y=-x2-3x+4.(2)如图所示,作点C关于抛物线的对称轴直线l的对称点C',连接OC'交直线l于点E,连接CE,此时CE+OE的值最小,且CE+OE=OC'.抛物线的对称轴为直线x=--32×(-1)=-32,则C'C=3,在Rt△C'CO中,由勾股定理,得OC'=√𝐸𝐸'2+𝐸𝐸2=5.∴CE+OE的最小值为5.(3)①由题意易知△APM为等腰直角三角形.设M(a,0),则N(a,-a2-3a+4),P(a,a+4).当△AMP∽△CNP时,𝐸𝐸𝐸𝐸=𝐸𝐸𝐸𝐸,得4+𝐸-𝐸=𝐸+4-𝐸2-3𝐸+4-(𝐸+4),解得a=-4(舍去)或a=-3或a=0(舍去).∴CN=3,PN=3.∴△CPN的面积为12·CN·PN=92.当△AMP∽△NCP时,𝐸𝐸𝐸𝐸=𝐸𝐸𝐸𝐸,得𝐸+4√(-𝐸2-3𝐸+4-4)2+(-𝐸)2=√2(4+𝐸)-𝐸2-3𝐸+4-(𝐸+4),解得a=0(舍去)或a=-2或a=-4(舍去).∴CN=CP=2√2.∴△CPN的面积为12·CN·PC=4.故答案为92或4.②存在.D1-2+3√22,3√22,D2-2-3√22,-3√22,D3(-4,3),D412,32.理由如下:当点P是线段MN的中点时,-a2-3a+4=2(a+4),解得a=-4(舍去)或a=-1.∴M(-1,0),P(-1,3),N(-1,6).设F(f,f+4),过点M作AC的平行线,易知此直线的解析式为y=x+1.易知PM=3,当PM为菱形的边时,作PF=PM,过F作FD∥PM,交直线y=x+1于点D,∴D(f,f+1).∴32=2(f+1)2,解得f=-2±3√22.则D1-2+3√22,3√22,D2-2-3√22,-3√22.∵PM=AM=3,∴当点F与点A重合时,过点F作DF∥PM(D在x轴上方),且DF=PM