5.3―偏导数与全微分

第一节预备知识第二节极限与连续第三节偏导数与全微分第四节微分运算法则第五节方向导数与梯度第六节多元函数微分学的几何应用第七节多元函数的Taylor公式与极值*第八节n元m维向量值函数的微分法第九节复变函数的导数与解析函数第五章多元函数微分法及其应用).(.)(),(,)(),(lim,)(,),(0,00,000,00000,000yxfxzxyxMyxfzxyxfyxxfDyxMDyxfzxMx或记为的偏导数处对在则称此极限为存在若上有定义在区域设1、概念:)(),(0,00的偏导数为处对在同样地，yyxMyxfzyyxfyyxfyyxfyzyM)(),(0lim)(0,0000,00定义3.13.1偏导数的概念与几何意义.,,,,,),(),,(),,(),(yxyxffyzxzzyxyxfyxfDyxfz或记为简称为偏导数的偏导函数称为的函数它们均为上的每一点都有偏导数在区域若0,)(grad),(00MyzxzMzMyxfz处的梯度点偏导数的概念可以推广到二元以上函数如在处),,(zyxfu),,(zyx,),,(),,(lim),,(0xzyxfzyxxfzyxfxx,),,(),,(lim),,(0yzyxfzyyxfzyxfyy.),,(),,(lim),,(0zzyxfzzyxfzyxfzzxyxzuxyzyeyxxzyzxz)3(;arctan)2(;2)1(:,323求偏导数2222222;)(11)2(yxxyzyxyxyxyxz例1xxeyxyzyexyxxz22326,43)1(:解11;ln;lnln)3(xxxyxxyxyzyzuxyzzyuyyzzxu).0,0(),0,0()2(.)0,0(),()1()0,0(),(0)0,0(),(),(422yxffyxfyxyxyxxyyxf求的连续性在讨论设.)0,0(),(.lim),(lim)1(:422)0,0(),()0,0(),(点不连续在不存在由第二节例知解yxfyxxyyxfyxyx0)0,0(),0(lim)0,0(0)0,0()0,(lim)0,0().2(00yfyffxfxffyyxx例2偏导数xu是一个整体记号，不能拆分;).0,0(),0,0(,),(,yxffxyyxfz求设例如有关偏导数的几点说明：１、２、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；解xxfxx0|0|lim)0,0(00).0,0(yf３、偏导数存在与连续的关系例如,函数0,00,),(222222yxyxyxxyyxf,依定义知在)0,0(处，0)0,0()0,0(yxff.但函数在该点处并不连续.偏导数存在连续.一元函数中在某点可导连续，多元函数中在某点偏导数存在连续，2、偏导数的几何意义,),()),(,,(00000上一点为曲面设yxfzyxfyxM如图偏导数),(00yxfx就是曲面被平面0yy所截得的曲线在点0M处的切线xTM0对x轴的斜率.偏导数),(00yxfy就是曲面被平面0xx所截得的曲线在点0M处的切线yTM0对y轴的斜率.几何意义:),,(22yxfxzxzxxx),(22yxfyzyzyyy),,(2yxfyxzxzyxy),(2yxfxyzyzxyx函数),(yxfz的二阶偏导数为纯偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数..n,......,阶偏导数以及四阶类似地定义三阶3.2高阶偏导数.,,,,),(222222yzxzxyzyxzxyxfzy求设xyzxyxxyxzxxyzxxyzxyyxzyxxzyyyyyy21122222221ln)(ln,ln)1(,:解例301222222222zuyuxuzyxu满足拉普拉斯方程证明25222222252222322222)(2]2)(23[)(1zyxzyxxzyxxzyxxu例4)(2)(21:2322223222zyxxxzyxxu证明25222222222522222222)(2,)(2:zyxxyzzuzyxxzyyu同样可得0222222zuyuxu0)0,0()0,0(lim)0,0(0)0,0()0,0(lim)0,0(:00yfyffxfxffyyxx解(0,0).(0,0),,000),(2222223yxxyffyxyxyxyxyxf求22223522232422)(2),(,)(3),(,0yxyxxyxfyxyxyxyxfyxyx时当例5,5,32222xyyyxyxyyyxy中例而中例?么条件混合偏导数相等需要什00lim)0,0(),0(lim)0,0(00yyfyffyxxyxy)0,0()0,0(1lim)0,0()0,(lim)0,0(00yxxyxyyxyxffxxxfxff.),,(),(,),(),(),,(:1偏导数的次序无关即与求则有连续内的某邻域在点若定理yxfyxfyxyxfyxfxyyxyxxy10),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(:11yyyxyxyyxFyxfyxxfyxyxfyxxfyyxfyyxxfFy则设证明10),()],(),([21211yxyyxxfyyyxfyyxxfyxyy定理3.1),(),(:0,0,,),(),(1,0),(:43424343yxfyxfyxffyyxxfyyxxfyxyyxxfFyxxyyxxyxyyxxy得令连续由于同样可得),(),(yxfyxxfxyxfx),(),(),(yxfyyxfyyxfy),(二元函数对x和对y的偏微分二元函数对x和对y的偏增量由一元函数微分学中增量与微分的关系得1、定义3.3全微分如果函数),(yxfz在点),(yx的某邻域内有定义，并设),(yyxxP为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差),(),(yxfyyxxf为函数在点P对应于自变量增量yx,的全增量，记为z，即z=),(),(yxfyyxxf全增量的概念.全微分二定义3.2.)()(,,,,,)(),(),(),(),(22yxyxyxBAoyBxAyxfyyxxfzyxyxfz有关而与无关与其中的全增量可表示为在点如果yBxAdzdzyxyxfzyBxAyxyxfz,,),(),(,),(),(即记为的全微分在点为处可微在点则称2、可微的条件一元函数在某点的导数存在微分存在．多元函数的各偏导数存在全微分存在．yyzxxzdz),(),(lim))()((),(),(),(),()1()0,0(),(22yxfyyxxfyxoyBxAyxfyyxxfzyxyxfzyx处可微在证明则可微在点若函数必要条件定理,),(),()(2yxyxfz且处存在偏导数在,,),(),()2(yzxzyxyxf;),(),()1(处连续在yxyxf处连续在),(),(yxyxf定理3.2)((0lim),(),(0limAxxoAxxyxfyxxfxxz于是处可微在),(),(),(),(),(),(),(),()2(yoyByxfyyxfxoxAyxfyxxfyxyxfzByyoByyyxfyyxfyyz)((0lim),(),(0lim.)0,0(),(),0,0(),0,0(000),(222222处的可微性在并讨论求设yxfffyxyxyxxyyxfyx0000lim)0,0(),0(0lim)0,0(0000lim)0,0()0,(0lim)0,0(:yyyfyfyfxxxfxfxfyx解例622)()(yxyx)0,0()0,0(fyxfz而22)()(])0,0()0,0([yxyfxfzyx2322])()[(yxyx,][,..,,62:的条件高阶无穷小是比加上必须再但它并不一定是全微分表达式当偏导数存在时可得到而非充分条件要条件偏导数存在是可微的必知及例由定理注yyzxxzzdzyyzxxz才能保证全微分存在，且dydxgradzyyzxxzdz,.)0,0(),(.),00(),(.1,1,,,处不可微在故上式的极限不存在因此当极限分别为趋于零时分别沿上式当yxfyxxyxyyx定理3.3（充分条件）.,,,,在该点可微则函数处连续在点的偏导数若fyxMyzxzyxfz0,,1010,,,,,,,,:212121iyxyxyyxfxyxfyyyxfxyyxxfyxfyyxfyyxfyyxxfyxfyyxxfz证明yxyyxfxyxfyx21,,;0;2,10lim;2102122222121oyxiyxyyxxyxi又而由定义知，f在M点可微。例7计算函数xyez在点)1,2(处的全微分.解,xyyexz,xyxeyz,2)1,2(exz,22)1,2(eyz.222dyedxedz所求全微分例8求函数)2cos(yxyz，当4x，y，4dx，dy时的全微分.解),2sin(yxyxz),2sin(2)2cos(yxyyxyzdyyzdxxzdz),4(),4(),4().74(82例9计算函数yzeyxu2sin的全微分.解,1xu,2cos21yzzeyyu,yzyezu所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz例10试证函数)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin),(22yxyxyxxyyxf在点)0,0(连续且偏导数存在，但偏导数在点)0,0(不连续，而f在点)0,0(可微.思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分)0,0(),(yx，)0,0(),(yx讨论.证令,cosx,siny则22)0,0(),(1sinlimyxxyyx1sincossinlim200),0,0(f故函数在点)0,0(连续,)0,0(xfxfxfx)0,0()0,