线性代数考研习题归类汇总-矩阵-100

考研数学基础知识复习——线性代数第二章矩阵一、矩阵的基本内容——1、矩阵的概念（1）定义：由nm个数排成m行n列的数表：mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211nmija)(，称为nm矩阵.nm时，称为n阶方阵，||A为A的行列式.根据元素的取值分实矩阵和复矩阵.（2）几类特殊的矩阵：①单位矩阵；②对角矩阵；③上（下）三角矩阵；④转置矩阵TA；⑤对称矩阵，n阶方阵AAT（jiijaa）；反对称矩阵，n阶方阵AAT（jiijaa）；一、矩阵的基本内容——1、矩阵的概念一、矩阵的基本内容——1、矩阵的概念⑥正交矩阵，n阶阵EAAAATT；若A为正交矩阵，则：1||A或1||A；⑦可换矩阵，n阶阵BA,，若BAAB，则称BA,可换.一、矩阵的基本内容——2、矩阵的运算（1）矩阵的相等：BA即：ijijba；（2）矩阵的和、差：BA,同型时，)(ijijbaBA；（3）数与矩阵的乘积：)(ijaAA；矩阵加法和乘数运算的规律（略）；一、矩阵的基本内容——2、矩阵的运算（4）矩阵乘法：smijaA)(，nsijbB)(，则nmijcCAB)(,sjisjijiijbababac2211；矩阵乘法的运算规律（略）.（5）方阵的幂：对于方阵A，正整数)1(kk，kkAAA1，1AA；一、矩阵的基本内容——2、矩阵的运算（6）;),()(jiijijTijabbAaA定义转置：有：AATT)(;TTTABAB)(；TTTTABCABC)(；一、矩阵的基本内容——2、矩阵的运算（7）对n阶方阵BA,，有：||||||||BABAAB；（8）nmnnmnmmAEAAE；（9）方阵A的伴随矩阵*A，定义：nnijbA)(*，ijb为)(ijaA中，jia的代数余子式jiA；有：EAAAAA||**；一、矩阵的基本内容——3、逆矩阵（1）定义：对于n阶方阵A，如果存在n阶方阵B，使得：EBAAB，可逆矩阵也称为非奇异矩阵；也称为满秩矩阵.则称A为可逆矩阵，1AB；一、矩阵的基本内容——3、逆矩阵（2）逆矩阵的性质：①A可逆，则1A唯一；②若A可逆，则：TA，1A均可逆，且：TTAA)()(11，AA11)(；③若BA,为同阶可逆阵，则AB可逆，且：111)(ABAB；④若A可逆，且0k，则111)(AkkA；一、矩阵的基本内容——3、逆矩阵⑤A可逆0||A.且*||11AAA.（1）三种初等（行、列）变换:①交换两行(列)；②某行(列)乘以非零常数k（0k）；③某行(列)的k倍加到另一行(列)；(2)初等矩阵:对单位矩阵施行一次第j类初等变换后所得到的矩阵,称为是第j类初等矩阵(3,2,1j)；一、矩阵的基本内容——4、矩阵的初等变换一、矩阵的基本内容——4、矩阵的初等变换记为:),(jiE(jirr),或jicc);))((kiE（kri，或kci）；))(,(kjiE（krrji，或jickc）;三种初等变换是可逆的，其逆变换是同类初等变换，三类初等矩阵是可逆的，且其逆矩阵是同类初等矩阵，(3)对矩阵A左(右)乘一个第j类初等矩阵,就相当于对A进行一次同类的初等行（列）变换;一、矩阵的基本内容——4、矩阵的初等变换有：),(),(1jiEjiE；))1(())((1kiEkiE；))(,())(,(1kjiEkjiE；(4)等价矩阵:若矩阵A经过有限次初等变换可化为B，则称A与B等价，记为:BA~;(5)用初等变换求逆矩阵：)(~)(1AEEA（行变换）；一、矩阵的基本内容——4、矩阵的初等变换1~AEEA（列变换）；任一矩阵A总可经过有限次初等变换化为形式：OOOEIr，称为A的标准形，r为A的秩；BA~存在可逆矩阵QP,使BPAQ一、矩阵的基本内容——4、矩阵的初等变换A与B同型,且有相同的秩；一、矩阵的基本内容——5、分块矩阵及其求逆进行分块矩阵的加、减、乘法与转置运算时，可将子矩阵当做通常矩阵的元素看待；进行分块矩阵的乘法运算时，注意：左分块矩阵的列的分法必须和右分块矩阵的行的分法一致.一、矩阵的基本内容——5、分块矩阵及其求逆对于分块对角阵：sAOOOOAOOOAA21，其中iA为in阶方阵，有：||||||||21sAAAA.一、矩阵的基本内容——5、分块矩阵及其求逆分块对角阵sAOOOOAOOOAA21可逆的充要条件是：sAAA,,,21都可逆，且:112111sAOOOOAOOOAA；一、矩阵的基本内容——5、分块矩阵及其求逆特别：若A、B为可逆矩阵，则：111BOOABOOA;11111BOCBAABOCA；OABOOBAO111;一、矩阵的基本内容——5、分块矩阵及其求逆11111BCABOABCOA；矩阵A的最高阶非零子式的阶数称为矩阵的秩，记为)(Ar或)(AR或)(Arank；一、矩阵的基本内容——6、矩阵的秩及其求法若存在可逆矩阵mP，nQ使：OOOEPAQr，则rAr)(；若nmA的标准形为：OOOEr，则：rAr)(；若nmA经过初等行变换化成的行阶梯形矩阵有r个非零行，则rAr)(.一、矩阵的基本内容——6、矩阵的秩及其求法有关矩阵A的秩之性质：（1）)()()(AArArArTT；（2）若OA，则1)(Ar；（3）)()()(BrArBAr；（5）)}(),(min{)(BrArABr；（4）)()(),()}(),(max{BrArBArBrAr；一、矩阵的基本内容——6、矩阵的秩及其求法（6）若A，C可逆，则：)()()(BCrBrABr；（7）对于矩阵nmA，snB，若OAB，则：nBrAr)()(.二、典型题型分析及举例题型I：求逆矩阵及解矩阵方程说明：（1）求逆矩阵：利用伴随矩阵、初等变换、分块法、可逆的定义等.（2）解矩阵方程：将给出的关系式化简，再从化简的方程中求未知矩阵.——题型I：求逆矩阵及解矩阵方程（1）设300041003A，则1)2(EA；（2）已知三阶矩阵A的逆矩阵为3111211111A，则A的伴随矩阵*A的逆矩阵为：.例2.1二、典型题型分析及举例——题型I：求逆矩阵及解矩阵方程例2.2已知：0...00...000...............0...000...00121nnaaaaA，0ia，ni,,2,1，求1A.二、典型题型分析及举例——题型I：求逆矩阵及解矩阵方程例2.3已知矩阵A满足关系式：0322EAA，（1）求1A，1)2(EA；（2）问EA4是否可逆？nEA（n为整数）是否可逆？二、典型题型分析及举例——题型I：求逆矩阵及解矩阵方程例2.4设1100210000120025A，求1A.二、典型题型分析及举例——题型I：求逆矩阵及解矩阵方程例2.5设CBOAP，其中方阵CA,为可逆，求：1P.二、典型题型分析及举例——题型I：求逆矩阵及解矩阵方程例2.6设矩阵A的伴随矩阵8030010100100001*A，且：EBAABA311，其中E为四阶单位阵，求矩阵B.二、典型题型分析及举例——题型I：求逆矩阵及解矩阵方程例2.7设矩阵101020101A，矩阵X满足：XAEAX2，求矩阵X.二、典型题型分析及举例题型II：求矩阵的高次幂mA、求矩阵的秩及与初等矩阵相关的命题二、典型题型分析及举例——题型II：求方阵的高次幂、矩阵的秩等例2.8已知矩阵PQA，其中121P，2,1,2Q，求矩阵1002,,AAA.二、典型题型分析及举例——题型II：求方阵的高次幂、矩阵的秩等例2.9已知PBAP，其中：100000001B，112012001P，求A及5A.二、典型题型分析及举例——题型II：求方阵的高次幂、矩阵的秩等例2.10设100010101A，求nA.——题型II：求方阵的高次幂、矩阵的秩等例2.11（1）已知001010100P，333231232221131211aaaaaaaaaA，且：AAPPnm，则正整数nm,为（）.A，4,5nm；B，5,5nm；C，5,4nm；D，4,4nm.——题型II：求方阵的高次幂、矩阵的秩等例2.12（2）设44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaA可逆,41424344313233342122232411121314aaaaaaaaaaaaaaaaB00010100001010001P，10000010010000012P，则1B等于（）.A，211PPA；B，211PAP；C，121APP；D，112PAP；二、典型题型分析及举例——题型II：求方阵的高次幂、矩阵的秩等例2.13设nnnnnnbababababababababaA212221212111，其中0ia，0ib，（ni,,2,1），则矩阵A的秩)(Ar.二、典型题型分析及举例题型III：有关矩阵的证明题——题型III：有关矩阵的证明题例2.14设A为n阶非奇异矩阵，为n维（列）向量，b为常数，记分块矩阵||*AAOEPT，bAQT，其中*A为A的伴随矩阵，E为n阶单位阵.（1）计算并化简PQ；（2）求证：矩阵Q可逆的充分必要条件是bAT1.二、典型题型分析及举例——题型III：有关矩阵的证明题例2.15设n阶矩阵BABA,,均可逆，证明：（1）11BA可逆，且：ABABBBAABA11111)()()(；（2）1111111)()(ABAAABA.二、典型题型分析及举例——题型III：有关矩阵的证明题例2.16设A是n阶方阵，1)(Ar，求证：nnbbbaaaA,,,2121，且kAA2.——题型III：有关矩阵的证明题例2.17对于n阶方阵nnijcC)(，其主对角线上的元素之和niiic1称为方阵C的迹，记为：)(Ctr.试证：（1）)()(BAtrABtr，A，B均为n阶方阵；（2）对于任何n阶方阵A，B，不可能成立EBAAB.二、典型题型分析及举例——题型III：有关矩阵的证明题例2.18设A是n阶方阵，（2n），求证：,0,1,*)(nAr.1)(,1)(,)(nArnArnAr二、典型题型分析及举例——题型III：有关矩阵的证明题例2.19设A、B均为n阶方阵，证明：nBrArABr)()()(.二、典型题型分析及举例——题型III：有关矩阵的证明题例2.20设A、B均为n阶方阵，若OAB