多目标函数的优化设计方法

1第9章多目标函数的优化设计方法Chapter9Multi-objectOptimalDesign在实际的机械设计中，往往期望在某些限制条件下，多项设计指标同时达到最优，这类问题称为多目标优化设计问题。与前面单目标优化设计不同的是，多目标优化设计有着多种提法和模式，即数学模型。因此，解决起来要比单目标问题复杂的多。9.1多目标最优化模型9.1.1问题举例例9-1生产计划问题某工厂生产n（2n）种产品：1号品、2号品、...、n号品。已知：该厂生产)...,,2,1(nii号品的生产能力是ia吨/小时；生产一吨)...,,2,1(nii号品可获利润i元；根据市场预测，下月i号品的最大销售量为)...,,2(nibi吨；工厂下月的开工能力为T小时；下月市场需要尽可能多的1号品。问题：应如何安排下月的生产计划，在避免开工不足的条件下，使工人加班时间尽可能的地少；工厂获得最大利润；满足市场对1号品尽可能多地要求。为制定下月的生产计划，设该厂下月生产i号品的时间为)...,,1(nixi小时。9.1.2基本概念如图9.1所示，两个目标函数f1,f2中的若干个设计中，3，4称为非劣解，若)(min{)(*xfxfjjj=1,2,....,qS.t．0)(xguu=1,2,………….m成立，则称*x为非劣解。若不存在一个方向，同时满足：0)(*sxf(目标函数值下降)0)(*sxg(不破坏约束)图9.1则称*x为约束多目标优化设计问题的K-T非劣解。这样，多目标优化设计问题的求解过程为：先求出满足K-T条件的非劣解，再从众多的非劣解确定一个选好解。多目标优化的数学模型：TrxfxfxfXFV)](),........(),([)(min2112341f2f2S.t．0)(xguu=1,2,………….m0)(xhvv=1,2,……….p式中：)(XF是向量目标函数。由于各目标函数往往是相互抵触的，且重要性也不同，因此，应慎重对待。9.2多目标优化问题的求解方法一类是转化为一系列单目标求解；一类是构造一个新的目标函数求解。9.2.1约束法)(.....minxfk0)(.........xgtsuu=1,2,………….m0)(xhvv=1,2,……….p0)(jjfxfj=1,2,….,rkr式中：)(xfk----重要的目标函数0jf------第j个目标函数的期望值。9.2.2分层序列法将r目标函数按重要程度排队)(),........(),(21xfxfxfr，然后采用宽容分层序列法。1）..............)(min*11Dxfxf2）1*11*22)(|.....................)(minfxfxDxfxfr1,......2,1.......................)(|.....................).........(min*rjfxfxDxxfjjjrj---宽容量，是为了防止在计算第k个目标函数值后，若取唯一解，将会导致以后计算中断。两目标优化问题用宽容分层序列法求最优解的情况如图9.2所示。不作宽容时，x~为最优解，它就是第一个目标函数)(1xf的严格最优解。若给定宽容值1，则宽容的最优解为)1(x，它一进考虑了第二个目标函数)(2xf，但是对第一个目标函数来说，其最优值就有一3个误差。例：用宽容分层序列法求)(maxxfVDx式中TxfxfxF)](),([)(21；)(1xf=xxcos)6(5.0；22)9.2(1)(xxf；}5.25.1|{xxD按重要程度将目标函数排队为：)(1xf，)(2xf。首先求解xxxfVDxcos)6(5.0)(1max得最优点2)1(x对应得最优值为)(1xf=2cos)26(5.0=2设给定的宽裕量1=0.052,则可得}5.25.1,..052.0)()(|{)1(111xxfxfxD然后求解)(2max1xfDx可得22)9.2(1)(maxxxf}5.25.1,..948.1)(|{11xxfxD从而得最优点为9.1)2(x这就是该两目标函数的最优点*x,其对应得最优值为2)(948.1)()2(2)2(1xfxf最优解的情况如图9.3所示。xf(x)xf1xf21*1f*1fx~1xf(x)2229.01xxf0122134x2xxxxfcos6211o图9.2图9.39.2.3线性加权法4)()(...............min1xfwXFriii加权因子iw的选择应十分注意，为消除量级上的差别，应将其值在0~1之间规格化。9.2.4理想点法与平方和加权法理想点法的评价函数rijjjffxfXU12**])([)(平方和加权法的评价函数rijjjfxfXU12*])([)(9.2.5功效系数法设有r个目标函数)(),........(),(21xfxfxfr,用jd表示第j个目标函数的好坏程度，其中10jd，0为最差，1为最好。总的功效系数为rrdddd21只要有一个为零，则总方案不可取。在0到1之间确定功效系数，可用线性函数，指数函数等拟合。1）若目标函数追求的是极小，则为图9.4a；2）若目标函数追求的是极大，则为图9.4b；3）若目标函数追求的是某一区间，则为图9.4c。ddd1minfmaxfminfmaxffff1f2fabc图9.49.2.6极小极大法基本思想为：先求出各分目标函数)(xfj),........,2,1(rj的最优解*jx和)(*xfj),........,2,1(rj，选取可行域中的一点X，各分目标函数的增量系数定义为:)()()()(**xfxfxfXZjjjj5},.....2,1),(max{)(rjXZxj于是原多目标优化问题可转化为下列单目标求解：},.....2,1),(max{)(.......minrjXZxj0)(.........xgtsuu=1,2,………….m0)(xhvv=1,2,……….p可以证明，如果协调曲线通过可行域，用极小极大法求得的最优点必定在协调曲线上。在可行域内的协调曲线上，若某点满足..........)()(21xZxZ，则该点就一定是最优点，否则，最优点是协调曲线与某约束边界的交点，且该点处的各增量系数之差最小。三维以上的问题无法做出协调曲线。因此该法有较大的优越性与通用性。