电路分析基础_2 第8章 电路的暂态分析

第8章电路的暂态分析8.2一阶电路的暂态分析8.1换路定律8.4二阶电路的零输入响应8.3一阶电路的阶跃响应本章教学目的及要求了解“暂态”与“稳态”之间的区别与联系；熟悉“换路”这一名词的含义；牢固掌握换路定律；理解暂态分析中的“零输入响应”、“零状态响应”“全响应”及“阶跃响应”等概念；充分理解一阶电路中暂态过程的规律；熟练掌握一阶电路暂态分析的三要素法；了解二阶电路自由振荡的过程。8.1换路定律学习目标：了解暂态分析中的一些基本概念；理解“换路”的含义；熟悉换路定律的内容及理解其内涵，初步掌握其应用。8.1.1基本概念1.状态变量：代表物体所处状态的可变化量称为状态变量。如电感元件的iL及电容元件的uC。2.换路：引起电路工作状态变化的各种因素。如：电路接通、断开或结构和参数发生变化等。3.暂态：动态元件L的磁场能量WL=1/2LI2和C的电场能量WC=1/2CUC2，在电路发生换路时必定产生变化，由于这种变化持续的时间非常短暂，通常称为“暂态”。4.零输入响应：电路发生换路前，动态元件中已储有原始能量。换路时，外部输入激励为零，仅在动态元件原始能量作用下引起的电路响应。5.零状态响应：动态元件的原始储能为零，仅在外部输入激励的作用下引起的电路响应。6.全响应：电路中既有外部激励，动态元件的原始储能也不为零，这种情况下换路引起的电路响应。8.1.2换路定律由于能量不能发生跃变，与能量有关的iL和uC，在电路发生换路后的一瞬间，其数值必定等于换路前一瞬间的原有值不变。换路定律用公式可表示为：)0()0()0()0(CCLLuuii换路发生在t=0时刻，(0-)为换路前一瞬间，该时刻电路还未换路；(0+)为换路后一瞬间，此时刻电路已经换路。暂态过程产生的原因电阻元件是耗能元件，其电压、电流在任一瞬间均遵循欧姆定律的即时对应关系。因此，电阻元件上不存在暂态过程。(t=0)US_＋SRIIt0电阻电路电感元件是储能元件，其电压、电流在任一瞬间均遵循微分(或积分)的动态关系。它储存的磁能(t=0)US_＋SLiLiLt0RUSR2L0L21LidtuiWt因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电感的电路存在过渡过程。R-L电路电容元件也是储能元件，其电压、电流在任一瞬间也遵循微分(或积分)的动态关系。它储存的电能2C0C21CudtuiWt因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电容的电路也存在过渡过程。(t=0)US_＋SCiCuCt0RuC_＋USR-C电路1.2.根据换路后的等效电路，应用电路基本定律确定其它电量的初始值。初始值（起始值）：电路中u、i在t=0+时的大小。电路初始值的确定根据换路前一瞬间的电路，应用电路基本定律确定iL(0+）和uC(0+）。已知iL(0)=0，uC(0)=0，试求S闭合瞬间，电路中所标示的各电压、电流的初始值。(t=0)_＋S0.1Hu2u120Ω10Ω1μF20ViC_＋_＋iiLuL_＋uC_＋根据换路定律可得：可得t=0+时等效电路如下iL(0+)=iL(0–)=0，相当于开路uC(0+)=uC(0–)=0，相当于短路_＋S0.1Hu2u120Ω10Ω1μF20ViC_＋_＋iuL_＋其他各量的初始值为：V20)0()0(1Luu0)0(2uA21020)0()0(Cii根据换路前电路求uC(0+）换路前电路已达稳态，t=0时S打开，求iC(0+)。R1＋40k10kSiCuC－i＋－10VR2V840104010)0()0()0(R2CCuuu画出t=0+等效电路图如下R140k10kSic(0+）＋－10VR2＋－8V根据t=0+等效电路可求得iC(0+）为mA2.010810)0()0(1CSCRuUi根据换路前电路求iL(0+）换路前电路已达稳态，t=0时S闭合，求uL(0+)。A24110)0()0(21SLLRRUii画出t=0+等效电路图如下根据t=0+等效电路可求得uL(0+）为V842)0()0(2LLRiuR1＋1ΩSiLuL－＋－10VR24ΩR1＋1ΩSuL－＋－10VR24ΩiL(0+）uL(0+)为负值，说明它的真实方向与图上标示的参考方向相反，即与iL(0+)非关联，实际向外供出能量。1.由换路前电路（稳定状态）求uC(0-)和iL(0-)；求初始值的一般步骤2.由换路定律得uC(0+)和iL(0+)；3.画出t=0+的等效电路图：uC(0+)=0时相当短路；uC(0+)≠0时相当电压源；iL(0+)=0时相当开路；iL(0+)≠0时相当电流源；电压源或电流源的方向与原电路假定的电容电压、电感电流的参考方向应保持相同。4.由t=0+的等效电路图进而求出其它响应的0+值。8.2一阶电路的暂态分析学习目标：理解一阶电路暂态分析中响应的规律；深刻理解时间常数τ的概念及物理意义；牢固掌握一阶电路的三要素法。8.2.1一阶电路的零输入响应1.RC电路的零输入响应只含有一个因变量的一阶微分方程描述的电路，称为一阶电路。R＋1SiC(0+)uC(0+）－t=0＋－USC2左图所示电路在换路前已达稳态。t=0时开关由位置1迅速投向位置2，之后由uC(0+)经R引起的电路响应称为RC电路的零输入响应。R＋1SiC(0+)uC(0+）－t=0＋－USC2根据RC零输入响应电路可列写出电路方程为：0CCudtduRC这是一个一阶的常系数齐次微分方程，对其求解可得：RCtteUeutuSCC)0()(式中的τ=RC称为一阶电路的时间常数。如果让电路中的US不变而取几组不同数值的R和C，观察电路响应的变化可发现：RC值越小，放电过程进行得越快；RC值越大，放电过程进行得越慢，这说明RC放电的快慢程度取决于时间常数τ—R和C的乘积。式中R用Ω，C用F时，时间常数τ的单位是秒[s]。如果我们让上式中的时间t分别取1τ、2τ直至5τ，可得到如下表所示的电容电压在各个时刻的数值：RCtteUeutuSCC)0()(1τ2τ3τ4τ5τe-10.368USe-20.135USe-30.050USe-40.018USe-50.007US由表可知，经历一个τ的时间，电容电压衰减到初始值的36.8%；经因两个τ的时间，电容电压衰减到初始值的13.5%；经历3~5τ时间后，电容电压的数值已经微不足道，虽然理论上暂态过程时间为无穷，但在工程上一般认为3~5τ暂态过程基本结束。RC过渡过程中响应的规律可以用曲线来描述：tiCuCiCuCUSiC(0+)0τ0.368USRC过渡过程响应的波形图告诉我们：它们都是按指数规律变化，其中电压在横轴上方，电流在横轴下方，说明二者方向上非关联，电容放电电流为：RCtRCteRudteUCdtduCi)0(CSCC1.RL电路的零输入响应左图所示电路在换路前已达稳态。t=0时开关闭合，之后电流源不起作用，暂态过程在R和L构成的回路中进行，仅由iL(0+)=I0在电路中引起的响应称为RL电路的零输入响应。R＋SISuL－t=0＋－uRLI0根据RL零输入响应电路可列写出电路方程为：0dtdiLRi若以iL为待求响应，可得上式的解为：tLRteieIti)0()(L0L式中tLRteieIti)0()(L0L称为RL一阶电路的时间常数，其大小RL同样反映了RL一阶电路暂态过程进行的快慢程度。tLReRIdtdiLtu0LL)(电感元件两端的电压：电路中响应的波形图如左下图所示：tiLuLuLiLI0RiL(0+)0τ0.368I00.632I0R显然RL一阶电路的零输入响应规律也是指数规律。1.一阶电路的零输入响应都是随时间按指数规律衰减到零的，这实际上反映了在没有电源作用下，储能元件的原始能量逐渐被电阻消耗掉的物理过程；一阶电路的零输入响应分析归纳2.零输入响应取决于电路的原始能量和电路的特性，对于一阶电路来说，电路的特性是通过时间常数τ来体现的；3.原始能量增大A倍，则零输入响应将相应增大A倍，这种原始能量与零输入响应的线性关系称为零输入线性。8.2.2一阶电路的零状态响应1.RC电路的零状态响应RC电路的零状态响应和零输入响应一样，都是按指数规律变化，显然这个暂态过程是电容元件的充电过程：充电电流iC按指数规律衰减；电容电压uC按指数规律增加，用曲线可描述为：图示电路在换路前电容元件的原始能量为零，t=0时开关S闭合之后电容上电压、电流的变化称为RC电路的零状态响应。R＋SiCuC－t=0＋－USCtiCuCiCuCUSiC(0+)00.632USτ显然在RC充电电路中，电容元件上的电压与电流方向关联，元件向电路吸取电能建立电场。RC零状态响应电路中的计算公式R＋SiCuC－t≥0＋－USC由RC零状态响应电路图可得过渡过程结束时电容的极间电压(即换路后的新稳态值)SC)(Uu则电容电压的零状态响应为：)1()1)(()(SCCRCtteUeutu电容支路电流的零状态响应：dteudCdtduCtiRCt)]1)(([)(CCC2.RL电路的零状态响应图示电路在换路前电感元件上的原始能量为零，t=0时开关S闭合。之后电感上电压、电流的变化称为RL电路的零状态响应。R＋SiLuL－t=0＋－USL＋uR－RL电路的零状态响应也是按指数规律变化。其中元件两端的电压uL按指数规律衰减(即只存在过渡过程中)；电感电流iL按指数规律上升；电阻电压UR=iR按指数规律增长，用曲线可描述为：显然，在RL零状态响应电路中，电感元件是建立磁场的过程，因此其电压、电流方向关联。tiCuCiLuLUSUS/R00.368USτuR0.632US/RRL零状态响应电路中的计算公式RL零状态响应电路换路结束时电感电流的新稳态值：RUiSL)(因此电感电流的零状态响应为：)1()1)(()(SLLtLRteRUeiti电感元件自感电压的零状态响应：dteidLdtdiLtuLRt)]1)(([)(LLLSt≥0R＋iLuL－＋－USL＋uR－1.一阶电路的零状态响应也是随时间按指数规律变化的。其中电容电流和电感电压均随时间按指数规律衰减，因为它们只存在于过渡过程中；而电容电压和电感电流则按指数规律增长，这实质上反映了动态元件建立磁场或电场时吸收电能的物理过程；一阶电路的零状态响应分析归纳2.零状态响应取决于电路的独立源和电路本身特性，也是通过时间常数τ来体现其特性的。RL一阶电路的时间常数τ=L/R；3.在零状态响应公式中的(∞)符号，代表换路后的新稳态值，根据电路的不同情况一般稳态值也各不相同。8.2.3一阶电路的全响应电路中既有外输入激励(即有独立源的作用)，动态元件上又存在原始能量(换路前uC和iL不为零)，当电路发生换路时，在外激励和原始能量的共同作用下所引起的电路响应称为全响应。上述两电路为RC和RL典型的一阶全响应电路。R1＋SiCuC－（t=0）＋－USCR2R2＋SiLuL－(t=0)＋－USLR1RC和RL全响应电路的解可表示为：全响应=零输入响应＋零状态响应图示电路在换路前已达稳态，且UC(0-)=12V，试求t≥0时的uC(t）和iC(t)。＋SiCuC－（t=0）＋－2KΩ1mF1KΩ9V根据换路定律可得V12)0()0(CCuu电路的时间常数τs32101032)//(3-321CRR零输入响应uC(t)'：V12)0()'(5.1CCtteeutu以电容电压为例，让其零输入响应用uC(t)'表示；uC(t)表示零状态响应，则有：')'()'()(CCCtututuV66')'()'()(5.1CCCtetututu全响应uC(t)：mA9)66(101)()(515.13Ct.-tCedteddttduCti电容电流的全响应iC(t)：电