电路分析基础张永瑞第2章

第二章电路的基本分析方法2.1支路电流法在一个支路中的各元件上流经的只能是同一个电流，支路两端电压等于该支路上相串联各元件上电压的代数和，由元件约束关系(VAR)不难得到每个支路上的电流与支路两端电压的关系，即支路的VAR。如图2.1-1所示，它的VAR为suRiu图2.1-1电路中一条支路第二章电路的基本分析方法2.1.1支路电流法支路电流法是以完备的支路电流变量为未知量，根据元件的VAR及KCL、KVL约束，建立数目足够且相互独立的方程组，解出各支路电流，进而再根据电路有关的基本概念求得人们期望得到的电路中任何处的电压、功率等。如图2.1-2电路，它有3条支路，设各支路电流分别为i1,i2,i3,其参考方向标示在图上。就本例而言，问题是如何找到包含未知量i1,i2,i3的3个相互独立的方程组。第二章电路的基本分析方法图2.1-2支路电流法分析用图第二章电路的基本分析方法根据KCL，对节点a和b分别建立电流方程。设流出节点的电流取正号，则有00321321iiiiii节点a节点b根据KVL，按图中所标巡行方向(或称绕行方向)对回路Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别列写KVL方程(注意：在列写方程中，若遇到电阻，两端电压就应用欧姆定律表示为电阻与电流乘积)，得13311suiRiR23322suiRiR212211ssuuiRiR回路Ⅰ回路Ⅱ回路Ⅲ(2.1-2)第二章电路的基本分析方法当未知变量数目与独立方程数目相等时，未知变量才可能有唯一解。我们从上述5个方程中选取出3个相互独立的方程如下：2332213311321000ssuiRiRuiRiRiii(2.1-7)(2.1-7)式即是图2.1-2所示电路以支路电流为未知量的足够的相互独立的方程组之一，它完整地描述了该电路中各支路电流和支路电压之间的相互约束关系。应用克莱姆法则求解(2.1-7)式。系数行列式Δ和各未知量所对应的行列式Δj(j=1,2,3)分别为第二章电路的基本分析方法313221323100111RRRRRRRRRR2313123223211110sssssuRuRuRRRuRRu第二章电路的基本分析方法122132113231321323112000110101sssssssssuRuRuRuRuRuRuRRuRuR第二章电路的基本分析方法所以求得支路电流3132211221333132212313212231322123131211RRRRRRuRuRiRRRRRRuRuRuRiRRRRRRuRuRuRissssssss第二章电路的基本分析方法解出支路电流之后，再要求解电路中任何两点之间的电压或任何元件上消耗功率那就是很容易的事了。例如，若再要求解图2.1-2电路中的c点与d点之间电压ucd及电压源us1所产生的功率Ps1，可由解出的电流i1、i2、i3方便地求得为1112211iupiRiRusscd第二章电路的基本分析方法2.1.2独立方程的列写一个有n个节点、b条支路的电路，若以支路电流作未知变量，可按如下方法列写出所需独立方程。(1)从n个节点中任意择其n-1个节点，依KCL列节点电流方程，则n-1个方程将是相互独立的。这一点是不难理解的，因为任一条支路一定与电路中两个节点相连，它上面的电流总是从一个节点流出，流向另一个节点。如果对所有n个节点列KCL方程时，规定流出节点的电流取正号，流入节点的电流取负号，每一个支路电流在n个方程中一定出现两次，一次为正号(+ij),一次为负号(-ij),若把这n个方程相加，它一定是等于零的恒等式，即第二章电路的基本分析方法0)]()[()(11jnkbjjkiii式中：n表示节点数；(∑i)k表示第k个节点电流代数和；表示对n个节点电流和再求和；表示b条支路一次取正号，一次取负号的电流和。nkki1)(bjjjii1)]()[((2.1-8)式说明依KCL列出的n个KCL方程不是相互独立的。但从这n个方程中任意去掉一个节点电流方程，那么与该节点相连的各支路电流在余下的n-1个节点电流方程中只出现一次。如果将剩下的n-1个节点电流方程相加，其结果不可能恒为零，所以这n-1个节点电流方程是相互独立的。习惯上把电路中所列方程相互独立的节点称为独立节点。第二章电路的基本分析方法(2)n个节点b条支路的电路，用支路电流法分析时需b个相互独立的方程，由KCL已经列出了n-1个相互独立的KCL方程，那么剩下的b-(n-1)个独立方程当然应该由KVL列出。可以证明，由KVL能列写且仅能列写的独立方程数为b-(n-1)个。习惯上把能列写独立方程的回路称为独立回路。独立回路可以这样选取：使所选各回路都包含一条其他回路所没有的新支路。对平面电路，如果它有n个节点、b条支路，也可以证明它的网孔数恰为b-(n-1)个，按网孔由KVL列出的电压方程相互独立。第二章电路的基本分析方法归纳、明确支路电流法分析电路的步骤。第一步：设出各支路电流，标明参考方向。任取n-1个节点，依KCL列独立节点电流方程(n为电路节点数)。第二步：选取独立回路(平面电路一般选网孔)，并选定巡行方向，依KVL列写出所选独立回路电压方程。第三步：如若电路中含有受控源，还应将控制量用未知电流表示，多加一个辅助方程。第四步：求解一、二、三步列写的联立方程组，就得到各支路电流。第五步：如果需要，再根据元件约束关系等计算电路中任何处的电压、功率。第二章电路的基本分析方法例2.1-1图示2.1-3电路中，已知R1=15Ω，R2=1.5Ω，R3=1Ω,us1=15V，us2=4.5V,us3=9V。求电压uab及各电源产生的功率。图2.1-3例2.1-1用图第二章电路的基本分析方法解设支路电流i1,i2,i3参考方向如图中所标。依KCL列写节点a的电流方程为0321iii选网孔作为独立回路，并设绕行方向于图上，由KVL列写网孔Ⅰ、Ⅱ的电压方程分别为网孔Ⅰ5.45.1060153231iiii网孔Ⅱ(2.1-9)(2.1-10)(2.1-11)第二章电路的基本分析方法用克莱姆法则求解(2.1-9)、(2.1-10)、(2.1-11)三元一次方程组。Δ与Δj分别为3915.1010151115.1915.15.41061101第二章电路的基本分析方法7815.40161510125.585.45.1000150113第二章电路的基本分析方法所以电流i1,i2,i3分别为AiAiAi5.1395.58239785.0395.19332211电压Vuiusab5.7915.1133第二章电路的基本分析方法设电源us1,us2,us3产生的功率分别为ps1,ps2,ps3,由求得的支路电流，可算得WiupWiupWiupssssss5.135.19925.45.75.015333221111第二章电路的基本分析方法例2.1-2图2.1-4所示电路为电桥电路，AB支路为电源支路，CD支路为桥路，试用支路电流法求电流ig,并讨论电桥平衡条件。图2.1-4例2.1-2用图第二章电路的基本分析方法解设各支路电流参考方向和回路的巡行方向如图中所标。该电路有6条支路、4个节点，以支路电流为未知量，应建立3个独立节点的KCL方程，3个独立回路的KVL方程。根据元件VAR和KCL、KVL列出以下方程组：对于节点Ai1+i2-i=0对于节点C-i1+ig+i3=0对于节点D-i2-ig+i4=0对于回路Ⅰ-R1i1+R2i2-Rgig=0对于回路Ⅱ-R3i3+R4i4+Rgig=0对于回路ⅢR1i1+R3i3+Ri=us第二章电路的基本分析方法解上述方程组，得2413322443241312413RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRuRRRRigggsg当ig=0,即桥路上电流为零(或桥路两端电压：uCD=0)时称该电桥达到平衡。由ig的表示式可知分母是有限值，因而仅当2413RRRR即4132RRRR或4321RRRR时ig=0,这就是电桥平衡的条件。第二章电路的基本分析方法例2.1-3图2.1-5所示电路中包含有电压控制的电压源，试以支路电流作为求解变量，列写出求解本电路所必需的独立方程组。(注意对受控源的处理，对所列方程不必求解。)图2.1-5例2.1-3用图第二章电路的基本分析方法解设各支路电流、各网孔绕向如图所示。应用KCL、KVL及元件VAR列写方程为对节点a-i1+i2+i3=0对网孔ⅠR1i1+R2i2+0=us对网孔Ⅱ0-R2i2+(R3+R4)i3=μu1上述3个方程有i1,i2,i3及u14个未知量，无法求解，还必须寻求另一个独立方程。将控制量u1用支路电流表示，即u1=R1i1第二章电路的基本分析方法如果电路中的受控源的控制量就是某一支路电流，那么方程组中方程个数可以不增加，由列写出的前3个基本方程稍加整理即可求解。如果受控源的控制量是另外的变量，那么需对含受控源电路先按前面讲述的步骤一、二去列写基本方程(列写的过程中把受控源先作为独立源一样看待)，然后再加一个控制量用未知电流表示的辅助方程，这一点应特别注意。第二章电路的基本分析方法2.2网孔分析法2.2.1网孔电流欲使方程数目减少，必使求解的未知量数目减少。在一个平面电路里，因为网孔是由若干条支路构成的闭合回路，所以它的网孔个数必定少于支路个数。如果我们设想在电路的每个网孔里有一假想的电流沿着构成该网孔的各支路循环流动，如图2.2-1中实线箭头所示，把这一假想的电流称作网孔电流。第二章电路的基本分析方法图2.2-1网孔法分析用图网孔电流是完备的变量。第二章电路的基本分析方法例如图2.2-1电路中，i1=iA,i2=iB,i3=iC。如果某支路属于两个网孔所共有，则该支路上的电流就等于流经该支路二网孔电流的代数和。例如图2.2-1电路中支路电流i4,它等于流经该支路的A、C网孔电流的代数和。与支路电流方向一致的网孔电流取正号，反之取负号，即有CAiii4网孔电流是相互独立的变量。如图2.2-1电路中的3个网孔电流iA,iB,iC,知其中任意两个求不出第三个。这是因为每个网孔电流在它流进某一节点的同时又流出该节点，它自身满足了KCL，所以不能通过节点KCL方程建立各网孔电流之间的关系，也就说明了网孔电流是相互独立的变量。第二章电路的基本分析方法2.2.2对平面电路，以假想的网孔电流作未知量，依KVL列出网孔电压方程式(网孔内电阻上电压通过欧姆定律换算为电阻乘电流表示)，求解出网孔电流，进而求得各支路电流、电压、功率等，这种求解电路的方法称网孔电流法(简称网孔法)。应用网孔法分析电路的关键是如何简便、正确地列写出网孔电压方程(在2.1中已经明确过网孔电压方程是相互独立的)。第二章电路的基本分析方法设图2.2-1电路中网孔电流iA,iB,iC,其参考方向即作为列写方程的巡行方向。按网孔列写KVL方程如下：网孔AR1iA+R5iA+R5iB+R4iA-R4iC+us4-us1=0网孔BR2iB+R5iA+R5iB+R6iB+R6iC-us2=0网孔CR3iC-R4iA+R4iC+R6iC+R6iB-us4-us3=0按未知量顺序排列并加以整理，同时将已知激励源也移至等式右端。这样整理改写上述3式得4145541)(ssCBAuuiRiRiRRR266525)(sCBAuiRiRRRiR4364364)(ssCBAuuiRRRiRiR(2.2-1)(2.2-2)(2.2-3)第二章电路的基本分析方法观察(2.2-1)式，可以看出：i