2013年浙江高考理科数学试题及解析

2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）选择题部分（共50分）一、选择题：每小题5分，共50分．1．已知i是虚数单位，则(−1+i)(2−i)=A．−3+iB．−1+3iC．−3+3iD．−1+i【命题意图】本题考查复数的四则运算，属于容易题【答案解析】B2．设集合S={x|x−2}，T={x|x2+3x−4≤0}，则(RS)∪T=A．(−2，1]B．(−∞，−4]C．(−∞，1]D．[1，+∞)【命题意图】本题考查集合的运算，属于容易题【答案解析】C因为(RS)={x|x≤−2}，T={x|−4≤x≤1}，所以(RS)∪T=(−∞，1].3．已知x，y为正实数，则A．2lgx+lgy=2lgx+2lgyB．2lg(x+y)=2lgx∙2lgyC．2lgx∙lgy=2lgx+2lgyD．2lg(xy)=2lgx∙2lgy【命题意图】本题考查指数和对数的运算性质，属于容易题【答案解析】D由指数和对数的运算法则，易知选项D正确4．已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A0，ω0，φR)，则“f(x)是奇函数”是“φ=π2”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查简易逻辑以及函数的奇偶性，属于中档题【答案解析】B由f(x)是奇函数可知f(0)=0，即cosφ=0，解出φ=π2+kπ，kZ，所以选项B正确5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则A．a=4B．a=5C．a=6D．a=7【命题意图】本题考查算法程序框图，属于容易题【答案解析】A6．已知αR，sinα+2cosα=102，则tan2α=A．43B．34C．−34D．−43开始S=1，k=1ka?S=S+1k(k+1)k=k+1输出S结束是否（第5题图）【命题意图】本题考查三角公式的应用，解法多样，属于中档题【答案解析】C由(sinα+2cosα)2=1022可得sin2α+4cos2α+4sinαcosαsin2α+cos2α=104，进一步整理可得3tan2α−8tanα−3=0，解得tanα=3或tanα=−13，于是tan2α=2tanα1−tan2α=−34.7．设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B=14AB，且对于AB上任一点P，恒有→PB∙→PC≥→P0B∙→P0C，则A．ABC=90B．BAC=90C．AB=ACD．AC=BC【命题意图】本题考查向量数量积的几何意义，不等式恒成立的有关知识，属于中档题【答案解析】D由题意，设|→AB|=4，则|→P0B|=1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0=a，则由数量积的几何意义可得，→PB∙→PC=|→PH||→PB|=(|→PB|−(a+1))|→PB|，→P0B∙→P0C=−|→P0H||→P0B|=−a，于是→PB∙→PC≥→P0B∙→P0C恒成立，相当于(|→PB|−(a+1))|→PB|≥−a恒成立，整理得|→PB|2−(a+1)|→PB|+a≥0恒成立，只需∆=(a+1)2−4a=(a−1)2≤0即可，于是a=1，因此我们得到HB=2，即H是AB的中点，故△ABC是等腰三角形，所以AC=BC8．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)=(ex−1)(x−1)k(k=1，2)，则A．当k=1时，f(x)在x=1处取到极小值B．当k=1时，f(x)在x=1处取到极大值C．当k=2时，f(x)在x=1处取到极小值D．当k=2时，f(x)在x=1处取到极大值【命题意图】本题考查极值的概念，属于中档题【答案解析】C当k=1时，方程f(x)=0有两个解，x1=0，x2=1，由标根法可得f(x)的大致图象，于是选项A，B错误；当k=2时，方程f(x)=0有三个解，x1=0，x2=x3=1，其中1是二重根，由标根法可得f(x)的大致图象，易知选项C正确。9．如图，F1，F2是椭圆C1：x24+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率为A．2B．3C．32D．62【命题意图】本题考查椭圆和双曲线的定义和几何性质，属于中档题【答案解析】D由题意，c=3，|AF2|+|AF1|=4……①，|AF2|−|AF1|=2a……②，①+②得|AF2|=2+a，CABHP0P0101k=1k=2OxyABF1F2（第9题图）①−②得|AF1|=2−a，又|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2，所以a=2，于是e=ca=62.10．在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B=fπ(A)．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1=fβ[fα(P)]，Q2=fα[fβ(P)]，恒有PQ1=PQ2，则A．平面α与平面β垂直B．平面α与平面β所成的（锐）二面角为45C．平面α与平面β平行D．平面α与平面β所成的（锐）二面角为60【命题意图】本题考查新定义问题的解决，重在知识的迁移，属于较难题【答案解析】A用特殊法立即可知选项A正确非选择题部分（共100分）二、填空题：每小题4分，共28分．11．设二项式x−13x5的展开式中常数项为A，则A=．【命题意图】考查二项式定理，属于容易题【答案解析】−1012．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积等于cm3．【命题意图】本题考查三视图和体积计算，属于容易题【答案解析】24由题意，该几何体为一个直三棱柱截去一个三棱锥所得13．设z=kx+y，其中实数x，y满足x+y−2≥0，x−2y+4≥0，2x−y−4≤0．若z的最大值为12，则实数k=．【命题意图】本题考查线性规划，属于容易题【答案解析】2作出平面区域即可14．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法有种（用数字作答）．【命题意图】本题考查排列组合，属于中档题【答案解析】480第一类，字母C排在左边第一个位置，有A55种；第二类，字母C排在左边第二个位置，有A24A33种；第三类，字母C排在左边第三个位置，有A22A33+A23A33种，由对称性可知共有2(A55+A24A33+A22A33+A23A33)=480种。15．设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点F(−1，0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点．若|FQ|=2，则直线l的斜率等于．【命题意图】本题考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题【答案解析】±1设直线l的方程为y=k(x+1)，联立y=k(x+1)，y2=4x．消去y得k2x2+(2k2−4)x+k2=0，由韦达定理，xA+xB=−2k2−4k2，于是xQ=xA+xB2=2k2−1，把xQ带入y=k(x+1)，得到yQ=2k，根据|FQ|=2k2−22+2k2=2，解出k=±1．43233正视图侧视图俯视图（第12题图）16．在△ABC，C=90，M是BC的中点．若sinBAM=13，则sinBAC=．【命题意图】本题考查解三角形，属于中档题【答案解析】63设BC=2a，AC=b，则AM=a2+b2，AB=4a2+b2，sinABM=sinABC=ACAB=b4a2+b2，在△ABM中，由正弦定理BMsinBAM=AMsinABM，即a13=a2+b2b4a2+b2，解得2a2=b2，于是sinBAC=BCAB=2a4a2+b2=63．17．设e1，e2为单位向量，非零向量b=xe1+ye2，x，yR．若e1，e2的夹角为π6，则|x||b|的最大值等于．【命题意图】本题以向量为依托考查最值问题，属于较难题【答案解析】2|x||b|=|x|(xe1+ye2)2=|x|x2+y2+3xy=1x2+y2+3xyx2=1yx2+3yx+1=1yx−322+14，所以|x||b|的最大值为2三、解答题：本大题共5小题，共72分．18．（本小题满分14分）在公差为d的等差数列{an}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列（Ⅰ）求d，an；（Ⅱ）若d0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|．【命题意图】本题考查等差数列、等比数列的概念，等差数列通项公式、求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力。【答案解析】（Ⅰ）由题意5a3a1=(2a2+2)2，即d2−3d−4=0．故d=−1或d=4．所以an=−n+11，nN*或an=4n+6，nN*（Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn．因为d0，由（Ⅰ）得d=−1，an=−n+11．则当n11时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=−12n2+212n当n12时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=−Sn+2S11=12n2−212n+110综上所述，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=−12n2+212n，n11，12n2−212n+110，n12．19．（本题满分14分）设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．（Ⅰ）当a=3，b=2，c=1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；（Ⅱ）从该袋子中任取（每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη=53，Dη=59，求a∶b∶c．【命题意图】本题考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、数学方差等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。【答案解析】（Ⅰ）由题意得ξ=2，3，4，5，6故P(ξ=2)=3366=14，P(ξ=3)=23266=13，P(ξ=4)=231+2266=518，P(ξ=5)=22166=19，P(ξ=6)=1166=136，所以ξ的分布列为ξ23456P141351819136（Ⅱ）由题意知η的分布列为η123Paa+b+cba+b+cca+b+c所以Eη=aa+b+c+2ba+b+c+3ca+b+c=53Dη=1−532aa+b+c+2−532ba+b+c+3−532ca+b+c=59化简得2a−b−4c=0，a+4b−11c=0解得a=3c，b=2c，故a∶b∶c=3∶2∶120．（本题满分15分）如图，在四面体A−BCD中，AD平面BCD，BCCD，AD=2，BD=22．M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC．（Ⅰ）证明：PQ∥平面BCD；（Ⅱ）若二面角C−BM−D的大小为60，求BDC的大小．【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。【答案解析】（Ⅰ）取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF=3FC，连接OP，OF，FQ．因为AQ=3QC，所以QF∥AD，且QF=14AD因为O，P分别为BD，BM的中点，所以OP是△BDM的中位线，所以OP∥DM，且OP=12DM又点M是AD的中点，所以OP∥AD，且OP=14AD从而OP∥FQ，且OP=FQ所以四边形OPQF是平行四边形，故PQ∥OF又PQ平面BCD，OF平面BCD，所以PQ∥平面BCD．（Ⅱ）作CGBD于点G，作GHBM于点HG，连接CH，则CHBM，所以CHG为二面角的平面角。设BDC=θ．在Rt△BCD中，CD=BDcosθ=22cosθ，CG=CDsinθ=22cosθsinθ，BG=BCsinθ=22sin2θ在Rt△BDM中，ABCDPQM（第20题图）HG=BGDMBM=22sin2θ3在Rt△CHG中，tanCHG=CGHG=3cosθsinθ=3所以tan=3从而=60即BDC=60．21．（本题满分15分）如图，点P(0，−1)是椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a