16 第十六讲 伯德图分析-稳定性-及幅值和相角裕度

线性控制系统工程第16章伯德图分析，稳定性，及幅值和相角裕度(gc)第16章伯德图分析,稳定性及幅值和相角裕度伯德图中的增益裕度和相角裕度gc(gc)M(pc)pcpcdbgcpccMMGMPMMKKGMlg201lg201801•改变增益的作用是使幅值曲线上下平移，而相角曲线不变。如果那么条件稳定dBKKlg206lg205.0lg205.0lg206lg202lg202lg20dBdBKKKKKK•考虑下面的例子：K=0.1转折频率为1,0.5,0.34•奈奎斯特稳定性判据：当相角为-180o时，如果系统幅值小于或等于1，那么这个系统是稳定的。在伯德图中，单位幅值对应于MdB=0。例子中:相位为-180°时，幅值约为–18dB，因此系统是稳定的。sssKsGH31210.010.11.01040200-20-40dbM-90-180-270图16.1例子系统的伯德图0相位穿越点增益穿越点增加K将使幅值曲线向上平移动，从而使幅值穿越点向右移。但是相角穿越点保持不变。系统最终处在临界不稳定点上。▽计算临界不稳定时系统的幅值。dBdBNKNKNKNKlg20lg20lg20lg2010logdbM－90－180－270K1K2KcK3－1K1K2K3KcReImRe图.16.2具有变化K的系统伯德图、奈奎斯特图和根轨迹ImK3KcK2K1在相位-180°时，KdB幅值约为–18dB，如果系统不稳定：这个结果接近于先前分析的结果K=0.832.误差是由伯德图的相角曲线用直线近似引起的。94.718lg20NNNdBdBN180794.0NKKc伯德图中的增益裕度增益裕度(用分贝表示)为Kc的分贝值与增益K的分贝值之差。伯德图中的增益裕度和相角裕度KKGMcKKGMcdBlg20lg20伯德图中的相位裕度：-相位裕度是使相角曲线向下移动直到增益和相角穿越点发生在同一频率时的纯相角滞后量。-在图16.1中54PM▽在伯德图中获得增益裕度和相位裕度:增益裕度是通过相角穿越频率得出的。它是该频率处的幅值分贝值与0dB线之间的差值(用分贝表示)。相角裕度是通过增益穿越频率得出的，它是此频率处的相角与-180o线之间的差值。10log10logdbM0db0180图.16.3增益裕度和相位裕度GMPM一般开环传递函数当ω趋于0时系统的型和从伯德图得到稳态误差knmbpspspsszszszsKsGH/1/1/1/1/1/12121nbsKsGH0型系统10logdbM1020logPK图.16.40型系统的伯德图0()bnGHsK()pGHjK1型系统幅值增益如果k=1，那么当ω=1时，图形经过Mdb=0dB线。()vKGHj()bbKKGHssj10logdbM1020logvK10180-20db/decade图.16.51型系统的伯德图Kv的值可以通过测量在ω=1处的增益来获得。如果其他环节在频率ω=1之前作用于对数幅频特性，那么应该用低频渐近线的延长线求出。10logdbM-20db/decade1020logvK1图.16.61型系统的另一种伯德图2型系统如果ka=1。对数幅频特性在当ω=1时，其低频段或它的延长线会以–40db/decade的斜率穿过零分贝线。Ka的值可以通过测量ω=1处的增益值来获得。2sKsGHb2jKjGHa110log1020logaKdbM-40db/decade图.16.72型系统的伯德图相角裕度是确定系统稳定性的唯一可靠的参数。无频率穿越点：-考虑下面的例子-相角绝不会穿过-180º线。但是相位裕度可以从增益穿越点PM=45º处获得，系统是稳定的。进一步讨论增益裕度和相位裕度10/112sssKsGH0.010.11.01040200-20-40dbM-90-180-270图16.8无相位穿越点的伯德图0K=1MATLAB仿真10/112ssssGHsys=tf([11],[0.2100]);bode(sys)pause用根轨迹来验证：ReIm-10-1图.16.9系统的根轨迹图▽多个频率穿越点：考虑下面的例子增益穿越频率在ω=1处,相角裕度为-45º,可判断出系统是不稳定的。1000/1100/110/113sssssKsGH•这里有两个相位穿越频率，分别为ω=3和ω=300。在每个频率处增益裕度是正的，表明系统是稳定的系统。但相位裕度判断系统的确是不稳定的。0.010.11.010400-40-80dbM-90-180-270图16.10具有两个相位穿越点的系统0GM1=K(db)K=1GM2=K(db)-20-40-40-60PMMATLAB仿真1000/1100/110/113ssssssGHsys=tf([0.11.11],[0.000010.0111000]);bode(sys)pause用根轨迹来验证：在kk1时，系统是不稳定的；在k1kk2时，系统是稳定的；在kk2时，系统再次不稳定。图.16.11系统的根轨迹图1122dbdbGMKGMK-1-10-100-1000ReImK=K2K=K13polesK=1单一频率穿越点:增加相位考虑下面的例子相位裕度是负的，表明系统是不稳定的。增益裕度是正的，表明系统是稳定的。考虑相位裕度，系统是稳定的。322/1sssGH0.1110100400-40-40dbM-90-180-270图16.12具有单一渐增相位穿越点的系统的伯德图0-40-60PMGM=K1(db)MATLAB仿真322/1sssGHsys=tf([0.2511],[1000]);bode(sys)pause从根轨迹得到证实，系统是条件稳定的。当kk1时，系统是不稳定的；当kk1时，系统是不稳定的。3poles2zeroes-2K=K1K=1ReIm图.16.13系统的根轨迹图通过伯德图判断稳定性的可靠方法是:-如果系统有正的相角裕度，那么系统是稳定的。-相角裕度是由伯德图判定系统稳定性的唯一可靠的方法。改进的奈奎斯特判据：根据沿着频率增加方向的频率特性，观察临界点是在其左边还是右边通过，是由极坐标图判断稳定性的唯一可靠的方法。当kk1时，系统是稳定的-10ReIm图.16.14稳定系统的奈奎斯特图问题:如图所示的系统，画出当K=45时的伯德图，并确定增益裕度和相位裕度。计算使系统稳定的最大K值，并用劳斯阵列验证其结果。例题16.1K31(2)(3)ss-+RC图.SP16.1.1解:开环传递函数：转折频率发生在ω=2和ω=3处，将会在以下的频率范围画出伯德图：223112115.23245sssssGH1001.0dBKdB85.2lg205011PMdBGM0.1110100200-20-40dbM-90-180-270图.SP16.1.20PMGMMATLAB仿真223112115.23245sssssGHsys=tf([45],[182118]);bode(sys)pause获得最大值Kmax=NK用劳斯阵列来验证结果：特征方程为误差与增益裕度的精确性有关101120log3.55453.55160NNK232(2)(3)821180ssKsssK210:8181:(16818)08:180sKsKsK3:s121168180150Kk问题:一个单位反馈控制系统，其开环传递函数为：画出当K=0.8时系统的伯德图，并确定增益裕度和相位裕度。使系统的相位裕度约为60º的K为何值?解:例题16.24152sssssKsG2224/4/115/125.14/4/1145/15sssssKsssssKsGH转折频率:ω=1(两次),ω=5(零),ωn=2(二阶系统的转折频率).将在以下频率范围内画出伯德图：画出每一个环节的增益和相位曲线0.25412n1001.0dB025.1K0.010.11.01040200-20-40dbM-90-180-270图16.2.100.010.11.01040200-20-40dbM-180-360图16.2.20PM=60GM=3db3db二阶环节频率比=ω/ωn频率比=ω/ωn增益裕度为3dB，相位裕度约为35º。为了给系统提供一个60º的相位裕度，幅值曲线需要下平移约3dB56.08.07.07.0lg203lg20KNNNKNKdBdB作业：P33916.1a.P33916.3e.