条件极值(精)

返回后页前页§4条件极值条件极值问题的特点是:极值点的搜索范围要受到各自不同条件的限制.解决这类极值问题的方法叫做拉格朗日乘数法.三、应用举例返回一、问题引入二、拉格朗日乘数法条件极值问题的实际应用非常广泛,而且还能用来证明或建立不等式.返回后页前页一、问题引入很多极值问题,目标函数的自变量不能在其定义域上自由变化,而是要受到某些条件的约束.例1要设计一个容积为V的长方形无盖水箱,试问长、宽、高各等于多少时,可使得表面积达到最小?若设长、宽、高各等于x,y,z,则2();Szxyxy目标函数:.xyzV约束条件:返回后页前页例2设曲线求此曲线上22,1.zxyxyz1212(,,,),(,,,)R;nnnyfxxxxxxD的点到原点距离之最大、最小值.对此问题有222;uxyz目标函数:22,1.zxyxyz约束条件:还可举出很多这种带有约束条件的极值问题.定义设目标函数为约束条件为如下一组方程:返回后页前页12(,,,)0,1,2,,().:knxxxkmmn为简便起见,记并设12(,,,),nPxxx{|,()0,1,2,,}.kPPDPkm00()(),(;)(),fPfPPUPP或0,0,P使得若存在0()fP()fP则称是在约束条件之下的极小值0P(或最小值),称是相应的极小值点(或最小值点).类似地又可定义条件极大(或最大)值.返回后页前页二、拉格朗日乘数法(A)拉格朗日乘数法探源先从n=2,m=1的最简情形说起,即设目标函数与约束条件分别为(,)(,)0.(1)zfxyxy与dd0,ddxxyxyyzyffffxx(,)0xy(),yyx若由确定了隐函数则使得目(,()).zfxyx标函数成为一元函数再由00000(,)(,()),Pxyxyx求出稳定点在此点处满足返回后页前页0()0.xyyxPff0(,)fxyz00000((),())((),())(0,0).xyxyfPfPPPf这表示的等值线18－12).由此推知:0,存在比例常数满足这又表示:对于函数0P0(,)fxyz(,)0xy(,)fxyc图18－12(,)0xy与曲线在0P有公共切线(见图点返回后页前页(,,)(,)(,),Lxyfxyxy在点处恰好满足:000(,,)xy(,)(,)0,(,)(,)0,(2)(,)0.xxxyyyLfxyxyLfxyxyLxy也就是说,(2)式是函数在其极值点处所(,,)Lxy满足的必要条件.由此产生了一个重要思想:通过引入辅助函数把条件极值问题(1)(,,),Lxy转化成为关于这个辅助函数的普通极值问题.返回后页前页(B)拉格朗日乘数法对于前面定义中所设的一般目标函数和约束条件组,应引入辅助函数12121(,,,)(,,,).(3)mnkknkfxxxxxx称此函数为拉格朗日函数,其中称12,,,m为拉格朗日乘数.kf与定理18.6设上述条件极值问题中的函数在区域D上有连续一阶偏导数.若(1,2,,)km1212(,,,,,,,)nmLxxx返回后页前页01111rank,nmmPnxxmxx(0)(0)(0)012(,,,)nPxxxD的内点是该条件极值问题的极值点,且(0)(0)(0)12(,,,,nxxx(0)(0)(0)12,,,)m(0)(0)(0)12,,,,m则存在m个常数使得返回后页前页个方程的解:1120,1,2,,;(,,,)0,1,2,,.mkkkiiinkkLfinxxxLxxxkm说明对于n=2,m=1的情形,已在前面作了说明;对一般情形的证明,将放到二十三章的定理23.19中去进行.为拉格朗日函数(3)的稳定点,即它是如下nm返回后页前页三、应用举例定理18.6指出的方法称为拉格朗日乘数法.下面用这种方法先来求解本节开头给出的两个例题.例1解此例以往的解法是从条件式解出显函数,例如代入目标函数后,转而求解,Vzxy2()VSxyxyxy的普通极值问题.可是这样做并不总是方便的,而且往往无法将条件式作显化处理,更不用说多个条返回后页前页件式的情形了.现在的新办法是设辅助函数2()(),LxzyzxyxyzV20,20,2()0,0.xyzLzyyzLzxxzLxyxyLxyzV并求解以下方程组:为消去,将前三式分别乘以x,y,z,则得返回后页前页2,2,2().xzxyxyzyzxyxyzzxyxyz33322,.22VxVxVyz两两相减后立即得出再代入第四式,2,xyz便求得注由以上结果还可以得到一个不等式(这是获得不等式的一种好方法).那就是具体算出目标函数返回后页前页(表面积)的最小值:3322333min22(22)(2)34,2VSVVVV去V后便得不等式322()34(),0,0,0.zxyxyxyzxyz例2解这里有两个条件式,需要引入两个拉格朗日常数;而且为了方便计算,把目标函数改取距离于是有其中消322()34,zxyxyV.Vxyz返回后页前页的平方(这是等价的),即设22222()(1).Lxyzxyzxyz22220,220,2()20,2()2.0,10.xyzLxxLyyxxLzyyzLxyzLxyz求解以下方程组:由此又得再代入条件(1)()0.xyxy返回后页前页式,继而求得:(这里否则将无解)1,2222210,12zxxxzx13,21(13)23.xyz最后得到222222(13)(23)4xyz返回后页前页1(1233)4433953,21(1233)4433953.2故原点至已知曲线上点的最小距离与最大距离分别为minmax953,953.dd例3已知圆柱面22210,(4)xyzxyyzzx返回后页前页它与平面相交得一椭圆,试求此椭0xyz圆的面积.分析(i)如果能求得该椭圆的长、短半轴a与b,则椭圆面积为;ab(ii)由方程(4)看到,此圆柱面关于坐标原点是对称的,故此圆柱面的中心轴是通过坐标原点的某一直线;(iii)因为所给平面也是通过坐标原点的,所以此平面上的椭圆截线必以坐标原点为其中心点.返回后页前页解由以上分析,自原点至椭圆上任意点(x,y,z)的距离之最大、小值，就是该222dxyz椭圆的长、短半轴.(说明:本例的题型与例2相类似,但在具体计算策略上将有较大差异.)设拉格朗日函数为222(1),xyzxyyzzx并令222()Lxyzxyz返回后页前页2222(2)0,(5)2(2)0,(6)2(2)0,(7)0,(8)(1)0.(9)xyzLxxyzLyyzxLzzxyLxyzLxyzxyyzzx对(5),(6),(7)三式分别乘以x,y,z后相加,得到2222()0,xyzxyyzzx2222()()xyzxyz返回后页前页借助(8),(9)两式进行化简,又得2222.dxyz这说明的极值就是这里的(即的极值就是2dd.),问题便转而去计算为此先从(5)－(8)式,消去得到一个线性方程组:(2)2(2)0,2(2)(2)0,0.xyzxyzxyz它有非零解(x,y,z)的充要条件是返回后页前页2222222320120,111由前面讨论知道,方程(10)的两个根就是12,122.Sab2212;4,ab与而2d的最大、小值,即于是说明(i)一旦由方程(5)－(9)能直接求得椭圆的长、短半轴,那就不必再去计算椭圆的顶点坐标22040.(10)3即返回后页前页(x,y,z)了,这使解题过程简单了许多.(ii)若用解析几何方法来处理本例的问题,则需要出纬圆半径和纬圆面积还有平面23r2;3A的法线与l夹角的余弦0xyz(1,1,1)(1,1,1)1cos.333然后根据面积投影关系最后求得椭圆cos,AS先求出圆柱面的中心轴所在直线l:再求,xyz返回后页前页面积为212.33cosAS:(,)0.Fxy例4设光滑封闭曲线证明:上任意两个相距最远点处的切线互相平行,且垂直于这两点间的连线(见图18－13).证由于是光滑封闭曲线,所以满足:(i)F在一个包含的开域内有连续的一阶偏导数,0P0Q图18－13返回后页前页220;xyFF且22(,,,)()()fxyuvxuyv(,)0,(,)0FxyFuv(ii)在上必有相距最远的点.000000(,),(,)PxyQuv设为上相距最远的两点,00000(,,,)Mxyuv则点为目标函数在约束条件之下的极大值点.于是由拉格朗日乘数法,存在000,,M使点成为拉格朗日函数返回后页前页22()()(,)(,)LxuyvFxyFuv000000000000000000002()(,)0,2()(,)0,2()(,)0,2()(,)0.xyuvxuFxyyvFxyxuFuvyvFuv0000000000(,)(,),(,)(,).xyPuvQxuyvFFxuyvFF∥∥的稳定点.从而满足由前两式与后两式分别得到返回后页前页前者表示后者表000PQP与在的切线垂直,000PQQ与在的切线垂直.0,P示所以在0Q00.PQ两点处的切线互相平行,且垂直于*例5试求函数111(,,)(0,0,0)fxyzxyzxyz3(0)xyzaa在条件下的最小值,并由此导出相应的不等式.解设返回后页前页3111(),Lxyzaxyz222310,10,10,0.xyzLxyzLyxzLzxyLxyza并使由此方程组易得,(,,)3.xyzafaaaa并有下面给出3a是条件最小值的理由.返回后页前页3:.(,,),0,SxyzaxyzSxy记当且或(02),(,,),0,0axyzSxy当且,0,z时使得(,,)3.fxyza0,0,z时或(,,).fxyz都使得故存在1(,,)(,,),,,.SxyzxyzSxyz又设1Sff由于为一有界闭集,为连续函数,因此在返回后页前页1S1\SS1S上存在最大值和最小值.而在及上,1(,,)(,,)min(,,)min(,,)3.xyzSxyzSfxyzfxyza3,a1Sf的值已大于故f在S上的最小值必在1S(,,),aaa的内部取得.又因内部只有惟一可疑点所以必定有1113,(,,)xyzSxyza最后,在不等式中,用代入,就得到一个新的不等式:3axyz返回后页前页31113,0,0,0.xyzxyzxyz经整理后,就是“调和平均不大于几何平均”这个著名的不等式:131113,0,0,0.xyzxyzxyz