机械优化设计

1机械优化设计总复习2010年12月16日2题型•一、选择题(每小题2分，共30分)•二、填空题(每空2分,共20分)•三、简答题(每小题5分,共10分)•四、计算(共四题，每题10分)3一设计变量在优化设计过程中，要优化选择的设计参数。•设计变量必须是独立变量，即：在一个优化设计问题中，任意两个设计变量之间没有函数关系。按照产品设计变量的取值特点，设计变量可分为连续变量（例如轴径、轮廓尺寸等）和离散变量（例如各种标准规格等）。•小型设计问题：一般含有2—10个设计变量；•中型设计问题：10—50个设计变量；•大型设计问题：50个以上的设计变量。1212[,,,]Tnnxxxxxxx第一章优化设计的基本概念和理论4二设计空间在一个优化设计问题中，所有可能的设计方案构成了一个向量集合。可以证明，这个向量集合是一个向量空间，并且是一个欧氏空间。一个优化设计问题中，设计变量的个数，就是它的设计空间的维数。三目标函数优化设计中要优化的某个或某几个设计指标，这些指标是设计变量的函数，称为目标函数。在构造目标函数时，应注意目标函数必须包含全部设计变量，所有的设计变量必须包含在约束函数中。5四设计约束优化设计中设计变量必须满足的条件，这些条件是设计变量的函数。约束条件的分类（1）根据约束的性质分边界约束直接限定设计变量的取值范围的约束条件，即性能约束由方案的某种性能或设计要求，推导出来的约束条件。iiibxai＝1,2,···，n6u=1,2,···，m0Xgu0Xhvv=1，2，···，pn（2）根据约束条件的形式分不等式约束一个n维的优化设计问题中，等式约束的个数必须少于n。显式约束隐式约束等式约束7*五可行域可行域:在设计空间中，满足所有约束条件的所构成的空间。满足两项约束条件g1（X）=x12＋x22—16≤0g2（X）＝2—x2≤0的二维设计问题的可行域D8min..0,1,2,,0,1,2,,nuvfXXRstgXumhXvpn六优化设计的数学模型9七最优化设计的迭代解法及其收敛条件1.最优化方法的迭代格式k=0,1,2,···kkkkSXX1迭代法要解决的问题：（1）选择搜索方向（2）确定步长因子（3）给定收敛准则102.迭代终止准则11kkxx（1）点距准则12kkiixx或ffkfk+1f*xkoxk+1x*x(a)1113()()kkFFxx（2）函数值下降量准则14()()()kkkFFFxxx或xoffkfk+1f*xkxk+1x*(b)12（3）目标函数梯度准则5()kFx2510~10(1,,5)ii上述准则都在一定程度上反映了逼近最优点的程度，但都有一定的局限性。在实际应用中，可取其中一种或多种同时满足来进行判定。采用哪种收敛准则，可视具体问题而定。可以取：13八优化分类及机械优化设计的特点n线性问题无约束问题一维问题非线性问题维问题静态问题最优化问题线性规划约束问题非线性规划无约束动态问题约束机械优化设计基本上是非线性的、有约束的最优化问题。14求解优化问题的基本解法有：九、基本解法解析法数值解法解析法：即利用数学分析(微分、变分等）的方法，根据函数（泛函）极值的必要条件和充分条件求出其最优解析解的求解方法。在目标函数比较简单时，求解还可以。数值解法：这是一种数值近似计算方法，又称为数值迭代方法。它是根据目标函数的变化规律，以适当的步长沿着能使目标函数值下降的方向，逐步向目标函数值的最优点进行探索，逐步逼近到目标函数的最优点或直至达到最优点。数值解法（迭代法）是优化设计问题的基本解法。15*一、目标函数的基本性质1函数的等值面（线）函数的等值面（线）是用来描述、研究函数的整体性质的。2函数的最速下降方向梯度X1点的最速下降方向为局部性质TnnxXfxXfxXfxfxfxfXf21211fX第二章优化设计的数学基础16用Matlab可画出该函数的等直线。梯度的模：2212FFFxx170()Fx梯度模：012201()()niiFFxxx函数的梯度方向与函数等值面相垂直，也就是和等值面上过x0的一切曲线相垂直。由于梯度的模因点而异，即函数在不同点处的最大变化率是不同的。因此，梯度是函数的一种局部性质。18*二函数的近似表达式f(X)的近似表达式为kkTkkTkkXXXHXXXXXfXfXf21H(X(k))为Hessian矩阵22221222222122122122122nknknknkkknkkkkkxXfxxXfxxXfxxXfxXfxxXfxxXfxxXfxXfXfXH19四函数的凸性1.凸集2.凸函数如果HESSEN矩阵正定，为凸函数；二次函数12TTfXXQXbXc3.凸规划凸规划问题中的任何局部最优解都是全局最优解；20几个常用的梯度公式：1.002..3.2.4.2TTTfXCfXCfXbXfXbfXXXfXXQfXXQXfXQX常数则，即，则，则，对称矩阵。则，21*五、优化问题的极值条件1、无约束优化问题的极值条件12()[]0TnFFFFxxxxx1）F(x)在处取得极值，其必要条件是:*x即在极值点处函数的梯度为n维零向量。222）处取得极值充分条件2222112122222*2122222212*()nnnnnFFFxxxxxFFFxxxxxFFFFxxxxx正定或负定xx海色（Hessian）矩阵正定，即各阶主子式均大于零，则X*为极小点。()Hx*x海色（Hessian）矩阵负定，即各阶主子式负、正相间，则X*为极大点。()Hx231）约束优化设计的最优点在可行域D中最优点是一个内点，其最优解条件与无约束优化设计的最优解条件相同；2、约束优化问题的极值条件242）约束优化设计的最优点在可行域D的边界上设X(k)点有适时约束10(1,2,,)()0()0()ljkjkjJkiiijjghFinxxxgjJjJx库恩—塔克条件（K-T条件）：25库恩—塔克条件表明：如点是函数的极值点，要么（此时）*()0Fx0jx()Fx要么目标函数的负梯度等于起作用约束梯度的非负线性组合（此时）。0j库恩—塔克条件的几何意义是:在约束极小值点处函数的负梯度一定能表示成所有起使用约束在该点梯度（法向量）的非负线性组合。x()Fx26K-T条件是多元函数取得约束极值的必要条件,以用来作为约束极值的判断条件，又可以来直接求解较简单的约束优化问题。对于目标函数和约束函数都是凸函数的情况，符合K-T条件的点一定是全局最优点。这种情况K-T条件即为多元函数取得约束极值的充分必要条件。27一维搜索也称直线搜索。这种方法不仅对于解决一维最优化本身具有实际意义，而且也是解多维最优化问题的重要支柱。（搜索步长求解）一维搜索方法数值解法分类试探法插值法第三章一维搜索的最优化方法281、单谷(峰）区间在给定区间内仅有一个谷值的函数称为单谷数，其区间称为单谷区间。确定搜索区间的外推法函数值：“大－小－大”图形：“高—低—高”29二、确定初始单谷区间的外推法基本思想：对f(x)任选一个初始点a1及初始步长h，通过比较这两点函数值的大小，确定第三点位置，比较这三点的函数值大小，确定是否为“高—低—高”形态。步骤：（1）选定初始点a1,初始步长h＝h00，计算y1＝f(a1)，y2＝f(a1＋h)。（2）比较y1和y2。（a）如y1y2,向右前进；加大步长h＝2h，转（3）向前；（b）如y1y2,向左后退；h＝－h0，将a1与a2，y1与y2的值互换。转（3）向后探测；（c）如y1＝y2，极小点在a1和a1＋h之间。30(3）产生新的探测点a3，y3＝f(a3);(4)比较函数值y2与y3：（b）如y2y3,加大步长h＝2h(也可不变)，a1=a2,a2=a3,转（3）继续探测。（a）如y2y3,则初始区间得到：a=min[a1,a3]，b=max[a3,a1]，函数最小值所在的区间为[a，b]。31•搜索区间确定之后，采用区间消去法逐步缩短搜索区间，从而找到极小点的数值近似解。•假定在搜索区间内[a,b]任取两点a1,b1;f1＝f（a1），f2＝f（b1）一维搜索的区间消去方法f(a1)f(b1)f(a1)f(b1)f(a1)f(b1)a1a1a1b1baababb1b132*一、黄金分割法1、在寻找一个区间[Xa,Xb]，使函数f(X)在该区间的极小点X*∈[Xa,Xb]。2、用黄金分割法在区间[Xa,Xb]中寻找X*。[Xa，X1，X2，Xb]如何消去子区间？•f(X1)f(X2)，消去[X2，Xb]，保留[Xa，X2]•f(X1)≥f(X2)，消去[Xa，X1]，保留[X1，Xb]120.618bbaabaXXXXXXXX33第三章一维搜索的最优化方法二、一维搜索的插值类方法1、牛顿法2、抛物线法（二次插值法）牛顿迭代公式：1'()()kkkkfxxxfx34目前已研究出很多种无约束优化方法，它们的主要不同点在于构造搜索方向上的差别。min()nfRxx（1）间接法——要使用导数，如梯度法、（阻尼）牛顿法、变尺度法、共轭梯度法等。（2）直接法——不使用导数信息，如坐标轮换法、鲍威尔法单纯形法等。无约束优化问题是：12[]Tnxxxx求n维设计变量()minfx使目标函数第四章无约束最优化方法搜索方向的构成问题乃是无约束优化方法的关键。35*一、梯度法负梯度方向是函数最速下降方向。梯度法就是以负梯度方向作为一维搜索的方向，即k=1,2,···,nkXfkkdfX第四章无约束最优化方法基本思想：函数的负梯度方向是函数值在该点下降最快的方向。将n维问题转化为一系列沿负梯度方向用一维搜索方法寻优的问题，利用负梯度作为搜索方向，故称最速下降法或梯度法。36在最速下降法中，相邻两个迭代点上的函数梯度相互垂直。而搜索方向就是负梯度方向，因此相邻两个搜索方向互相垂直。图4-2最速下降法的搜索路径1[()]()0kTkffxx*会证明：37方法特点（1）初始点可任选，每次迭代计算量小，存储量少，程序简短。即使从一个不好的初始点出发，开始的几步迭代，目标函数值下降很快，然后慢慢逼近局部极小点。（2）任意相邻两点的搜索方向是正交的，它的迭代路径为绕道逼近极小点。当迭代点接近极小点时，步长变得很小，越走越慢。38二、牛顿法及其改进基本思想：在xk邻域内用一个二次函数来近似代替原目标函数，并将的极小点作为对目标函数求优的下一个迭代点。经多次迭代，使之逼近目标函数的极小点。牛顿法是求函数极值的最古老算法之一。()x()x()fx1kx()fx39牛顿法的迭代公式阻尼牛顿法的迭代公式牛顿方向110,1,kkkkkXXHXfXk,1,011kXfXHXXkkkk1kkkdHXfX