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机械优化设计主编孙靖民第三章第一节概述第二节搜索区间的确定与区间消去法原理第三节一维搜索的试探方法第四节一维搜索的插值方法第一节概述解析解法的缺点是需要进行求导计算。对于函数关系复杂、求导困难或无法求导的情况，使用解析法将是非常不便的。所以在优化设计中，求解最佳步长因子α*主要采用数值解法，即利用计算机通过反复迭代计算求得最佳步长因子的近似值。数值解法的基本思路是：先确定α*所在的搜索区间，然后根据区间消去法原理不断缩小此区间，从而获得α*的数值近似解。第二节搜索区间的确定与区间消去法原理一、确定搜索区间的外推法二、区间消去法原理三、一维搜索方法的分类一、确定搜索区间的外推法图3-1具有单谷性的函数一、确定搜索区间的外推法图3-2正向搜索的外推法一、确定搜索区间的外推法图3-3反向搜索的外推法图3-4外推法的程序框图一、确定搜索区间的外推法二、区间消去法原理从上述的分析中可知，为了每次缩短区间，只需要在区间内再插入一点并计算其函数值。然而，对于插入点的位置，是可以用不同的方法来确定的。这样就形成了不同的一维搜索方法。概括起来，可将一维搜索方法分成两大类。一类称作试探法。这类方法是按某种给定的规律来确定区间内插入点的位置。此点位置的确定仅仅按照区间缩短如何加快，而不顾及函数值的分布关系。属于试探法一维搜索的有黄金分割法，裴波纳契(Fibonacci)法等。另一类一维搜索方法称作插值法或函数逼近法。这类方法是根据某些点处的某些信息，如函数值、一阶导数、二阶导数等，构造一个插值函数来逼近原来函数，用插值函数的极小点作为区间的插入点。属于插值法一维搜索的有二次插值法、三次插值法等。以下我们分别讨论这两类一维搜索方法。三、一维搜索方法的分类第三节一维搜索的试探方法1)给出初始搜索区间〔a,b〕及收敛精度ε，将λ赋以0.618。2)按坐标点计算公式计算α1和α2，并计算其对应的函数值f(α1)，f(α2)。3)根据区间消去法原理缩短搜索区间。4)检查区间是否缩短到足够小和函数值收敛到足够近，如果条件不满足则返回到步骤2。5)如果条件满足，则取最后两试验点的平均值作为极小点的数值近似解。在实际计算中，最常用的一维搜索试探方法是黄金分割法，又称作0.618法。这里，我们通过介绍黄金分割法来反映一维搜索试探方法的基本思想。第三节一维搜索的试探方法图3-6黄金分割法第三节一维搜索的试探方法图3-7黄金分割法的程序框图第三节一维搜索的试探方法表3-1黄金分割法的搜索过程图3-8f(α)=+2α的函数图像第四节一维搜索的插值方法一、牛顿法(切线法)二、二次插值法(抛物线法)一、牛顿法(切线法)一、牛顿法(切线法)一、牛顿法(切线法)图3-9一维搜索的切线法一、牛顿法(切线法)图3-9一维搜索的切线法一、牛顿法(切线法)二、二次插值法(抛物线法)二、二次插值法(抛物线法)二、二次插值法(抛物线法)