任意角的正弦函数、余弦函数的定义及单位圆与周期性(北师大版)

1.了解单位圆的概念.2.借助单位圆理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义.(难点)3.理解周期函数、周期、最小正周期的定义.（重点）1、在初中我们是如何定义锐角三角函数的？sincostancacbba复习回顾AabCBc在直角三角形ABC中，∠C=90°，sinα，cosα，tanα分别叫作角α的正弦、余弦和正切，它们的值分别等于什么？当角α不是锐角时，我们必须对sinα，cosα，tanα的值进行推广，以适应任意角的需要.如何定义任意角的三角函数呢?OabMPyx2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？新课导入22:vurOPvMPuOM其中yx2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？ruOPOMcosrvOPMPsinuvOMMPtan新课导入﹒vuP,﹒Mo如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？﹒PMOPMPsinOPOMcosOMMPtanOMP∽PMOPOPMPOOMMOPM诱思探究MOyxP(a,b)OPMPsinOPOMcosOMMPtan，则若1rOPvuuv3.锐角三角函数（在单位圆中）以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆.yoP),(vux1M由三角形相似知识可知,比值与点P(u,v)在终边上的位置无关,只与角有关.,vurr4.任意角的三角函数定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点),(yxP那么:（1）叫做的正弦，记作，即；ysinysin（2）叫做的余弦，记作，即；cosxxcos（3）叫做的正切，记作，即。xytanxytan所以，正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将他们称为三角函数.0,1AOyxyxP,﹒)0(x使比值有意义的角的集合即为三角函数的定义域.注：三角函数sinα=y，cosα=x都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标(比值)为函数值的函数。通常，我们用x表示自变量，即表示角的大小(弧度制），用y表示函数值，这样就定义了任意角的三角函数y=sinx，y=cosx，y=tanx。)0,1(AxyoP),(yx的终边说明（1）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点横坐标的比值.的横坐标，正切就是交点的纵坐标与.（2）正弦、余弦总有意义.当的终边在y横坐标等于0，xytan无意义，此时)(2zkk轴上时，点P的（3）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是自变量为实数的函数.任意角的三角函数的定义过程：直角三角形中定义锐角三角函数abrarbtan,cos,sin直角坐标系中定义锐角三角函数abrarbtan,cos,sin单位圆中定义锐角三角函数uvuvtan,cos,sin单位圆中定义任意角的三角函数,sinyxcosxytan,例1求的正弦、余弦和正切值.3535AOB解：在直角坐标系中，作AOB，易知的终边与单位圆的交点坐标为)23,21(所以2335sin2135cos335tan思考：若把角改为呢?3567,2167sin，，,2367cos3367tan实例剖析xyo﹒﹒AB35思考：由三角函数的定义，如何求任意角α的正弦、余弦值？提示：求任意角α的正弦、余弦值分两步，第一步求出角α的终边与单位圆的交点P，第二步写出点P的坐标，其中纵坐标为正弦值，横坐标为余弦值.例2已知角的终边经过点，求角的正弦、余弦和正切值.)4,3(0P5)4()3(220OP解:由已知可得设角的终边与单位圆交于，),(yxP分别过点、作轴的垂线、0PMPP00PMx＼400PM于是，;54||1sin000OPPMOPMPyyyMP30OMxOMOMP∽00POM;531cos00OPOMOPOMxx34cossintanxy4,30P0MOyxMyxP,设角是一个任意角，是终边上的任意一点，点与原点的距离),(yxP022yxrP那么①叫做的正弦，即ryrysin②叫做的余弦，即rxrxcos③叫做的正弦，即xy0tanxxy任意角的三角函数值仅与有关，而与点在角的终边上的位置无关.P定义推广：135122222yxr1312cosrx125tanxy135sinry于是，巩固提高练习1、已知角的终边过点，求的三个三角函数值.5,12P解：由已知可得：120223213212012-32--132-12-013222120-132-12-32-1203212-1在直角坐标系的单位圆中，求各个角终边与单位圆的交点坐标，并将各特殊角的正弦函数值、余弦函数值填入下表观察此表格中的数据,你能发现函数y=sinx和y=cosx的变化有什么特点吗？1.根据三角函数的定义，确定它们的定义域（弧度制）探究三角函数定义域sincostanR)(2Zkk2.确定三角函数值在各象限的符号yxosinyxocosyxotan+（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）R+--+--++-+-例3确定下列各三角函数值的符号：⑴cos250°;⑵sin(-π/4)。回顾归纳：准确确定三角函数值中角所在象限是基础，准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问题的关键。可以利用口诀“一全正、二正弦、四余弦”来记忆．解：（1）易知250°为第三象限角，所以cos250°的符号为负；（2）易知-π/4为第四象限角，所以sin(-π/4)的符号为负；典例剖析如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(kkk其中zk利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求角的三角函数值.360020到或到？上述两个等式说明：对于任意一个角x，每增加的整数倍，其正弦函数值、余弦函数值均不变.所以，正弦函数值、余弦函数值均是随角的变化呈周期性变化的.我们把这种随自变量的变化呈周期性变化的函数叫作周期函数.例如，等都是它们的周期.其中是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期.24,2,2,42一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(x+T)=f(x),我们就把f(x)称为周期函数，T称为这个函数的周期.说明：若不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周期.对于一个周期函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期.特别提醒：1.T是非零常数.2.任意x∈D都有x+T∈D,T≠0，可见函数的定义域无界是成为周期函数的必要条件.3.任取x∈D，就是取遍D中的每一个x，可见周期性是函数在定义域上的整体性质.理解定义时，要抓住每一个x都满足f(x+T)=f(x)成立才行.4.周期也可推进，若T是f(x)的周期，那么nT也是y=f(x)的周期.1.函数f(x)=c(c为常数),x∈R，问函数f(x)是不是周期函数，若是，有无最小正周期.答:是，无最小正周期.2.等式sin(30°+120°)=sin30°是否成立？如果成立，能否说明120°是正弦函数y=sinx,x∈R的一个周期？为什么？答:成立，不能说明，因为不符合定义中的每一个x.思考例5求下列三角函数值：（1）（2）49cos)611tan(解：（1）224cos)24cos(49cos练习求下列三角函数值319tan)431tan(31336tan6tan)26tan()611tan(（2）117119cossintan363练习：求值117119cossintan363解：cos4sin12tan6363cossintan36311313221.内容总结：①三角函数的概念.②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号.③诱导公式一.④周期函数、最小正周期的概念。正弦函数和余弦函数都是周期函数。运用了定义法、公式法、数形结合法解题.归纳总结2.方法总结：