1.7.1定积分在几何中的应用

数学选修2-2第一章导数及其应用1．7定积分的简单应用1.7.1定积分在几何中的应用1．理解定积分的几何意义．2．会通过定积分求由两条或多条曲线围成的平面图形的面积．学习目标数学选修2-2第一章导数及其应用问题1.不用计算，根据图形，你能比较下列定积分的大小吗？引入新课数学选修2-2第一章导数及其应用(1)01xdx________01x2dx(如图(1))；(2)01xdx________12xdx(如图(2))；(3)024－x2dx________022dx(如图(3))．数学选修2-2第一章导数及其应用问题2.你能求出函数f(x)＝x＋2，－2≤x0，2cosx，0≤x≤π2的图象与x轴所围成的封闭图形的面积吗．S＝－20(x＋2)dx＋2cosxdx＝12x2＋2x|0－2＋2sinx|＝0－12×－22＋2×－2＋2sinπ2－2sin0＝2＋2＝4.数学选修2-2第一章导数及其应用用定积分求平面图形的面积一般地，设由曲线y＝f(x)，y＝g(x)以及直线x＝a，x＝b所围成的平面图形(如图所示)的面积为S，则S＝______________.ab[f(x)－g(x)]dx数学选修2-2第一章导数及其应用数学选修2-2第一章导数及其应用2．几种典型图形的面积的计算由一条曲线y＝f(x)和直线x＝a，x＝b，y＝0(ba)所围图形的面积①如图(1)所示，f(x)0，abf(x)dx0，所以所求面积S＝abf(x)dx.②如图(2)所示，f(x)0，abf(x)dx0，所以所求面积S＝－abf(x)dx.③如图(3)所示，当a≤x≤c时，f(x)≥0，acf(x)dx≥0；当c≤x≤b时，f(x)≤0，cbf(x)dx≤0，所以所求面积S＝acf(x)dx＋cbfxdx＝acf(x)dx－cbf(x)dx.数学选修2-2第一章导数及其应用①如图(1)，f(x)g(x)0，所以所求面积S＝ab[f(x)－g(x)]dx.②如图(2)所示，f(x)0，g(x)0，所以所求面积S＝abf(x)dx＋abgxdx＝ab[f(x)－g(x)]dx.1．利用定积分求解平面图形的面积的技巧由两曲线y＝f(x)，y＝g(x)和直线x＝a，x＝b(ba)所围图形面积：数学选修2-2第一章导数及其应用1．画草图，求出曲线的__________．2．将曲边形面积转化为____________面积．3．根据图形特点选择适当的__________．4．确定__________和__________．5．计算定积分，求出面积．解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤：交点坐标曲边梯形的积分变量被积函数积分区间数学选修2-2第一章导数及其应用不分割图形面积的求解求正弦曲线y＝sinx，x∈0，3π2和直线x＝3π2及x轴所围成的平面图形的面积．[思路点拨]作图―→积分表达式――→定积分的性质分解―→求值312)cos23(cos)0cos(cos23|cos0|cossinsin230xxxdxxdxS数学选修2-2第一章导数及其应用1.用定积分求“曲边图形”面积的步骤：(1)先画出草图，确定所求面积是哪部分；(2)解方程组得交点坐标，确定被积函数及积分上、下限(3)把所求的面积用定积分表示；(4)根据微积分基本定理求出面积．2．注意事项：(1)准确地画图，并合理分割图形；(2)被积函数与积分上、下限要对应；(3)当面积在x轴的下方时，面积是定积分的相反数．数学选修2-2第一章导数及其应用1．画草图，求出曲线的__________．2．将曲边形面积转化为____________面积．3．根据图形特点选择适当的__________．4．确定__________和__________．5．计算定积分，求出面积．解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤：交点坐标曲边梯形的积分变量被积函数积分区间数学选修2-2第一章导数及其应用1.计算由曲线y2＝x，y＝x3围成的封闭图形面积．解方程组y2＝x，y＝x3，得交点横坐标为x＝0或x＝1.因此，所求图形的面积S＝01xdx－01x3dx＝23x32|10－14x4|10＝23－14＝512.数学选修2-2第一章导数及其应用分割图形面积的求解求抛物线y2＝2x与直线y＝4－x围成的平面图形的面积．由方程组y2＝2xy＝4－x解出抛物线和直线的交点为(2,2)及(8，－4)．方法一：选x作为积分变量，由图可看出S＝S1＋S2，由于抛物线在x轴上方的方程为y＝2x，在x轴下方的方程为y＝－2x，所以S1＝02[2x－(－2x)]dx＝2202x12dx＝22×23x32|20＝163，数学选修2-2第一章导数及其应用S2＝28[4－x－(－2x)]dx＝4x－12x2＋223x32|82＝383，于是S＝163＋383＝18.方法二：选y作为积分变量，将曲线方程写为x＝y22及x＝4－y.则S＝－424－y－y22dy＝4y－y22－y36|2－4＝18.数学选修2-2第一章导数及其应用由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区段内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化分段，然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和，在每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取x运算较为复杂，可以选y为积分变量，同时更改积分的上下限．数学选修2-2第一章导数及其应用2．计算由曲线y＝x2＋2与直线y＝3x，x＝0，x＝2所围图形的面积．解析：如图，由y＝x2＋2，y＝3x，可得x＝1，y＝3或x＝2，y＝6.所以曲线y＝x2＋2与直线y＝3x的交点坐标为(1,3)，(2,6)．所以S＝01(x2＋2－3x)dx＋12(3x－x2－2)dx＝13x3＋2x－32x2|10＋32x2－13x3－2x|21＝56＋16＝1.数学选修2-2第一章导数及其应用定积分的综合应用例3.在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为112，试求：切点A的坐标以及在切点A的切线方程．[思路点拨]设切点坐标→切线方程→利用定积分求面积→求切点→得切线方程解析：由题意可设切点A的坐标为(x0，x20)，则切线方程为y＝2x0x－x20，可得切线与x轴的交点坐标为x02，0.画出草图，可得曲线y＝x2，直线y＝2x0x－x20与x轴所围图形如图所示．数学选修2-2第一章导数及其应用数学选修2-2第一章导数及其应用3．如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．解析：抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0，x2＝1，所以，抛物线与x轴所围图形的面积S＝01(x－x2)dx＝x22－13x3|10＝16.又y＝x－x2，y＝kx，数学选修2-2第一章导数及其应用由此可得，抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标为x3＝0，x4＝1－k，所以，S2＝01－k(x－x2－kx)dx＝1－k2x2－13x3|1－k0＝16(1－k)3.又知S＝16，所以(1－k)3＝12，于是k＝1－312＝1－342.数学选修2-2第一章导数及其应用1．由曲线y＝x2－1，直线x＝0，x＝2和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是()A．02(x2－1)dxB．|02(x2－1)dx|C．02|x2－1|dxD．01(x2－1)dx＋21(x2－1)dx数学选修2-2第一章导数及其应用解析：分为两块，(0,1)为一块此时积分值为负，(1,2)对应另一块，积分值为正，∴有－01(x2－1)dx＋12(x2－1)dx＝02|x2－1|dx.答案：C数学选修2-2第一章导数及其应用2．由直线x＝12，x＝2，曲线y＝1x及x轴所围图形的面积为()A．154B．174C．12ln2D．2ln2数学选修2-2第一章导数及其应用解析：如图，由图可知＝ln2－ln12＝ln2－(－ln2)＝2ln2.答案：D数学选修2-2第一章导数及其应用3．由直线x＝－π3，x＝π3，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为________．解析：所求图形的面积是答案：3数学选修2-2第一章导数及其应用4．计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围成图形的面积．解析：由y＝x＋3，y＝x2－2x＋3，解得x＝0或x＝3.如图．从而所求图形的面积S＝03(x＋3)dx－03(x2－2x＋3)dx＝03[(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx＝03(－x2＋3x)dx＝－13x3＋32x2|30＝92.