1.9―斐波那契数列与黄金分割

斐波那契数列与黄金分割不是缺少美，而是缺少发现美!古今中外许多著名的数学家都曾以其亲身感受对这个问题有过深刻的论述，认为数学不仅与美学密切相关，而且数学中充满着美的因素，到处闪现着美的光辉。英国著名数理逻辑学家罗素指出：“数学，如果正常地看它，不但拥有真理，而且也具有至高的美，正如雕塑的美,是一种冷而严肃的美。”我国著名数学家徐利治教授指出：“数学园地处处开放着美丽花朵，它是一片灿烂夺目的花果园，这片花果园正是按照美的追求开拓出来的。”十秒钟加数•请用十秒，计算出左边一列数的和。1235813213455+89??时间到！答案是231。十秒钟加数•再来一次！3455891442333776109871597+2584????时间到！答案是6710。一、斐波那契数列1、斐波那契的生平斐波那契（Fibonacci1170~1250）13世纪意大利最杰出的数学家。斐波那契的父亲为比萨的商人，他认为数学是有用的，因此送斐波那契向阿拉伯教师们学习数学，并掌握了印度数码之一新的记数体系，后来游历埃及、叙利亚、希腊、西西里、法国等地，掌握了不同国家和地区商业的算术体系。1200年左右回到出生地——比萨，潜心研究数学，于1202年写成名著《算盘全集》。该书广为流传，为印度——阿拉伯数码在欧洲流传起了重要的作用。除了扮演传播印度数学——阿拉伯数字的角色，斐波那契在数学中的贡献也是非常大的。除了《算盘全集》外，另有《几何实用》（1220），《平方数书》（1225），是专门讨论二次丢番图方程式的。书中最有创造性的工作应是同余数，该书使斐波那契成为在数论史中，贡献介于丢番图和费尔马之间。然而，现代数学家之所以会知道他的名字，并非因为他在数学上的成就，而是得知于斐波那契数列。这是在1228年修订《算盘全集》时增加的脍炙人口的“兔子问题”（简称为斐氏数列）。斐波那契(意，约1170-1250)兔子问题如果每对兔子（一雄一雌）每月能生殖一对小兔子（也是一雄一雌，下同），每对兔子第一个月没有生育能力，但从第二个月以后便能每月生一对小兔子。假定这些兔子都不发生死亡现象，那么从一对刚出生的兔子开始，一年之后会有多少对兔子呢？2、兔子数列解答1月1对解答1月1对2月1对解答1月1对2月1对3月2对解答1月1对2月1对3月2对4月3对解答1月1对2月1对3月2对4月3对5月5对解答1月1对2月1对3月2对4月3对5月5对6月8对解答1月1对2月1对3月2对4月3对5月5对6月8对7月13对解答•可以将结果以列表形式给出：1月2月3月5月4月6月7月8月9月11月10月12月1123581321345589144因此，斐波那契问题的答案是144对。1,1,2,3,5,8,13,…..4,...,3,2,,11121naaaaannn斐波那契数列用数学归纳法，可推得斐波那契数列的通项公式：,25125151nnun斐波纳契数列的性质8213511321345589144・・・各項分别为前项的多少倍？前一项后一项的观察123581321345589144112358132134558911.51.61.61531.61761.617921.6661.6251.61901.61811.6180・・・1+52=1.6180・・・黄金比，黄金数1limnnnxxnnnxxu11111111nnnnnnnuxxxxxu,2,1nnunu2abbabaaa11215a.618.02151lim1axxnnn下面，我们考虑Fibonacci数列中相邻两项比的极限.设，则，.可用数学归纳法证明数列的子列.由于，均不等于0，故可将上面第一式同乘以减去第二式同乘以，得到.因此，由可解得，，从而斐波那契数列的美妙性质☆随着项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887……☆从第二项起，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。☆前n个斐氏数加起来再加1，就等于第n+2个斐氏数。☆相邻两个数的平方和也是一个斐波那契数，且脚标恰为前两者脚标之和。1123581321345589144…“十秒钟加数”的秘密•数学家发现：连续10个斐波那契数之和，必定等于第7个数的11倍！1235813213455+89??所以右式的答案是：2111=231“十秒钟加数”的秘密•又例如：右式的答案是：3455891442333776109871597+2584????61011=6710斐波那契协会和《斐波那契季刊》斐波那契1202年在《算盘书》中从兔子问题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，…之后，并没有进一步探讨此序列，并且在19世纪初以前，也没有人认真研究过它。没想到过了几百年之后，十九世纪末和二十世纪，这一问题派生出广泛的应用，从而突然活跃起来，成为热门的研究课题。有人比喻说，“有关斐波那契数列的论文，甚至比斐波那契的兔子增长得还快”，以致1963年成立了斐波那契协会，还出版了《斐波那契季刊》。数学的各个领域常常奇妙而出乎意料地联系在一起．斐波那契数列是从兔子问题中抽象出来的，如果它在其它方面没有应用，它就不会有强大的生命．发人深省的是，斐波那契数列确实在许多问题中出现．3、斐波那契数列趣话A、自然界中花朵的花瓣中存在斐氏数列特征生物学家们发现，花瓣数是极有特征的。多数情况下，花瓣的数目都是3，5，8，13，21，34，55，89，144……例如：百合花有3瓣花瓣，至良属的植物有5瓣花瓣，许多翠雀属植物有8瓣花瓣，万寿菊的花瓣有13瓣，紫莺属的植物有21瓣花瓣……向日葵花盘内葵花子排列的螺线数．向日葵花盘内，种子是按对数螺线排列的，有顺时针转和逆时针转的两组对数螺线。两组螺线的条数往往成相继的两个斐波那契数，一般是34和55，大向日葵是89和144，还曾发现过一个更大的向日葵有144和233条螺线，它们都是相继的两个斐波那契数．有一位学者细心地数过一朵花的花瓣，发现这朵花的花瓣刚好是157瓣。且他又发现其中有13瓣与其他144瓣有显著的不同，是特别长并卷曲向内，这表明这朵花的花瓣数目是由F7=13和F12=144合成的。这一模式几个世纪以来一直被广泛研究，但真正意义上的解释直到1993年才给出。目前科学家们对这一模式还在研究之中。B、斐氏数列与游戏一位魔术师拿着一块边长为8英尺的正方形地毯，对他的地毯匠朋友说：“请您把这块地毯分成四小块，再把它们缝成一块长13英尺、宽5英尺的长方形地毯。”这位匠师对魔术师算术之差深感惊异，因为8英尺的正方形地毯面积是64平方英尺，如何能够拼出65平方英尺的地毯？两者之间面积相差达一平方英尺呢！可是魔术师做到了。他让匠师用下图的办法达到了他的目的！真是不可思议！那神奇的1平方英尺究竟从哪里跑出来的呢？这就是费氏数列的奥妙所在。C、雄蜂家系与斐氏数列众所周知，一般动物都有父亲和母亲，但雄蜂是例外，它只有母亲没有父亲，养过蜜蜂的人都知道，蜂后产的卵，若能受精则孵化成雌蜂；如果不受精，则孵化成雄蜂，也即雄蜂是有母无父。雌蜂是有父有母的。因此，我们若追溯一只雄蜂的祖先，则可以发现其第n代的祖先数目刚好就是斐氏数列的第n项Fn.D、斐氏数列应用于生活（上台阶）有N级台阶，每次可能上一级或二级。共有多少种上法？依此类推，有数列：1，2，3，5，8，13，21，34，……用1元，2元钞若干张能支付1，2，3，4，……元的支付方式，刚好成斐氏数列。只有一个台阶时，只有一种走法，F1=1；两个台阶，走法有2种，一阶一阶或者一步上两个台阶，所以F2=2；三个台阶时，走法有一步一阶，2阶再一阶，1阶再2阶，因此F3=3；四个台阶时，走法有（1，1，1，1），（1，1，2），（1，2，1），（2，1，1），（2，2），共5种走法。故F4=5；著名天文学家开普勒说：几何学里有两个宝库，一个是毕达哥拉斯定理，一个是黄金分割。前者可以比作金矿，后者可以比作珍贵的钻石矿。二、黄金分割德国天文学家开普勒曾说：“几何学有两大宝藏，其一为毕氏定理，其二为将一线段分成外内比。前者如黄金，后者如珍珠。”Astraightlineissaidtohavebeencutinextremeandmeanradiowhen,asthewholelineistothegreatersegment,soisthegreatertotheless.分一线段为二线段，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比。数学之美两千年前，希腊数学家考虑如下问题：设线段AB，在AB上找一点C，使得令,CBACACABx于是有,111xACCBACCBACx可化为一元二次方程.012xx该方程的根为,2511x.2512xABC大自然中数学美---黄金分割黄金比ＡＰＢＡＢ：ＡＰ＝ＡＰ：ＰＢ如果满足这个条件・把点Ｐ叫做线段ＡＢ的黄金分割点ＡＢＡＰ・＝ＡＰＰＢ＝黄金比黄金比的値ＡＰＢＡＢ：ＡＰ＝ＡＰ：ＰＢ如果设定ＡＰ＝１，ＡＢ＝φ１φφー１φ：１＝１：(φ－１)由此得φ２－φ－１＝０φ＝1+52=1.6180・・・φ２＝φ＋１＝φ－１φ１黄金矩形a:b=1:1.618…ba于是,618.12511xACAB其倒数.618.0215512ABAC即C点约在AB长度的0.618的位置上．希腊数学家把这个几何问题里的点C叫作黄金分割点，这个比值称为黄金分割数．618.0215ABACABC黄金矩形a:b=1:1.618…ba2、黄金三角形底与腰（或腰与底）之比为0.618的三角形，称为黄金三角形．ABC黄金梯形：在等腰梯形中,当上底边长与下底边长之比为黄金比且上底边长正好与两条腰长相等（此时下底边长正好与两条对角线长相等）时，这个梯形就称为黄金梯形。其上底角等于108度，下底角等于72度黄金分割是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯所发现，后来古希腊美学家柏拉图将此称为黄金分割．0.618，以严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．黄金分割之所以称为“黄金”分割，是比喻这一“分割”如黄金一样珍贵。黄金比，是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的因素之一。认为它表现了恰到好处的“和谐”．神奇的“黄金分割比”自古至今也出现在许多伟大画家的著名作品中，如米开朗基罗的《圣家庭》（HolyFamily）就是典型的例子，它的人物构图布置中包含着一个“黄金五角星”。拉斐尔的《刑罚》(Crucifixion)人物布局以“黄金三角形”和“黄金五角星”展开。618.0382.0健美的人体（如古希腊雕塑《米罗的维纳斯》看上去健美漂亮就是典型的例子，19世纪以来，世界各国的选美标准大部分都依据《米罗的维纳斯》身材各部分的尺寸。她的体形符合希腊人关于美的理想与规范，身长比例接近所追求的人体美标准，即身与头之比为8∶1。由于8为3加5之和，这就可以分割成1∶3∶5，这就是“黄金分割律”，这个比例成为后代艺术家创造人体美的准则。）亦有多组比例符合黄金分割比。如人的脐部到头顶的距离与脐部高度之比、头顶到举手指端的距离与脐部到头顶距离之比、膝盖到肚脐同膝盖到脚底之比，都符合黄金分割。0.3820.618叶子中的黄金分割图中主叶脉与叶柄和主叶脉的长度之和比约为0.618．在动物界，形体优美的动物形体，如马，骡、狮、虎、豹、犬等，凡看上去健美的，其身体部分长与宽的比例也大体上接近与黄金分割如：蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比也接近0.618。0.618随处可见!螺线中的秘密.618.0BCABCDBCDECD只要留心，到处都可发现黄金数这位美的“使者”的足迹．黄金分割规律还为直接最优化方法的建立提供了依据。优选法是一种求最优化问题的方法，即怎样才能使产量最高、质量最好、消耗最少．人们通过大量试验来寻找最优解．如何安排试验，较快较省地求得最优解，这就