4.1.2圆的一般方程.ppt

4.1.2圆的一般方程(x-a)2+(y-b)2=r2指出下面圆的圆心和半径：(x-1)2+(y+2)2=2(x+2)2+(y-2)2=5(x+a)2+(y-2)2=a2(a≠0)圆的标准方程:特征：直接看出圆心坐标和半径复习把圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2展开，得-22222202=-++-+rbabyaxyx由于a,b,r均为常数x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0结论：任何一个圆的方程可以写成下面形式动动手FrbaEbDa=-+=-=-222,2,2令1.是不是任何一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程都表示圆呢？思考2.下列方程表示什么图形？（1）x2+y2-2x+4y+1=0；（2）x2+y2-2x-4y+5=0；（3）x2+y2-2x+4y+6=0.(x-1)2+(y+2)2=4（圆）；(x-1)2+(y-2)2=0（点）；(x-1)2+(y+2)2=-1(不成立).3.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？配方可得：把方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(1)当D2+E2-4F0时,表示以（）为圆心，以()为半径的圆.2,2ED--FED42122-+22224()()224DEDEFxy+-+++=(2)当D2+E2-4F=0时,方程只有一组解x=-D/2y=-E/2，表示一个点（）.2,2ED--动动脑(3)当D2+E2-4F＜0时,方程无实数解,所以不表示任何图形.所以形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程（只有当D2+E2-4F0时）才表示圆22224()()224DEDEFxy+-+++=圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0圆的一般方程与标准方程的关系：(D2+E2-4F0)（1）a=-D/2，b=-E/2，r=FED42122-+②没有xy这样的二次项（2）标准方程易于看出圆心与半径一般方程突出形式上的特点：①x2与y2系数相同并且不等于0；1.已知圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2,3),半径为4,则D,E,F分别等于2.方程x2+y2-2ax-y+a=0表示圆的条件是3,6,4)(-A3,6,4)(-B3,6,4)(--C3,6,4)(--D21)(aA21)(aB21)(=aC21)(aDDD练习(1)圆的一般方程与圆的标准方程的联系:一般方程配方展开标准方程[小结一]:应用例4：求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.几何方法方法一：yxM1(1,1)M2(4,2)0圆心：两条弦的中垂线的交点半径：圆心到圆上一点距离因为O(0,0),A(1,1),B(4,2)都在圆上（4-a）2+（2-b）2=r2（a）2+（b）2=r2（1-a）2+（1-b）2=r2解：设所求圆的标准方程为：（x-a）2+（y-b）2=r2待定系数法方法二：所求圆的方程为：（x-4）2+（y+3）2=25a=4b=-3r=5解得应用例4：求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.应用例4：求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.解：设所求圆的一般方程为：因为O(0,0),A(1,1),B(4,2)都在圆上，则222240)0(DEFxyDxEyF++++=+-F=0D+E+F+2=04D+2E+F+20=0所求圆的方程为:x2+y2-8x+6y=0即（x-4）2+（y+3）2=25待定系数法方法三：F=0D=-8E=6解得对比三种方法，那个最简单？小结二(特殊情况时,可借助几何性质求解更简单)注意:求圆的方程时,要学会根据题目条件,恰当选择圆的方程形式:①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程较简单.应用例4.已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.解：设点M的坐标是（x,y）,点A的坐标为（x0,y0）由于B点坐标为（4，3），M为AB的中点，所以23,2400+=+=yyxx整理得.32,4200-=-=yyxx又因为点A在圆上运动，所以A点坐标满足方程，又有（x0+1）2+y02=4所以（2x-4+1）2+(2y-3)2=4整理得1)23()23(22=-+-yx所以，点Ｍ的轨迹是以（）为圆心，１为半径的圆3322，yABMxo相关点法：“求谁设谁”点M的轨迹方程是：点M的坐标（x,y）满足的关系式。1.本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为(用配方法求解)3.给出圆的一般方程,如何求圆心和半径?-+=++++0402222FEDFEyDxyx配方展开2.圆的一般方程与圆的标准方程的联系一般方程标准方程(圆心,半径)小结几何方法求圆心坐标（两条直线的交点）（常用弦的中垂线）求半径（圆心到圆上一点的距离）写出圆的标准方程待定系数法22222()()0)xaybrxyDxEyF-+-=++++=设方程为(或列关于a，b，r（或D，E，F）的方程组解出a，b，r（或D，E，F），写出标准方程（或一般方程）小结求圆的方程