1.4.4-单位圆的对称性与诱导公式

4.4单位圆的对称性与诱导公式在上几节课中，我们已经学习了任意角的正弦函数的定义，以及终边相同的角的正弦函数值相等，即sin(2kπ+α)＝sinα(k∈Z)，通过这个公式能把任意角的正弦函数值转化为求0°～360°的角的正弦函数值吗？如果能的话，那么任意角的三角函数求值，都可以转化为锐角三角函数求值，并通过查表方法而得到最终解决，本课就来讨论这一问题．1.理解正弦函数、余弦函数的诱导公式的推导过程.（重点）2.能了解诱导公式之间的关系，能相互推导.（重点）3.能利用诱导公式解决化简、求值等问题.（难点）探究点1角α与角-α的正弦函数、余弦函数关系思考1：对于任意给定的一个角α，－α的终边与α的终边有什么关系？yα的终边xO-α的终边关键看两角的对称关系思考2：设角α的终边与单位圆交于点P（x，y），则-α的终边与单位圆的交点坐标如何？yα的终边xO-α的终边P(x,y)P(x,-y)提示：如图，-α的终边与单位圆的交点坐标为P（x，-y）.公式：sin()sincos()cos思考3：根据三角函数定义，－α的正弦函数、余弦函数与α的正弦函数、余弦函数有什么关系？yα的终边xO-α的终边P(x,y)P(x,-y)结论：正弦函数y=sinx是奇函数余弦函数y=cosx是偶函数α的终边xyOα±π的终边探究点2角α与角α±π的正弦函数、余弦函数关系思考1：对于任意给定的一个角α，角α±π的终边与角α的终边有什么关系？提示：如图角α±π的终边与角α的终边关于原点对称思考2：设角α的终边与单位圆交于点P（x，y），则角α±π的终边与单位圆的交点坐标如何？α的终边xyOα±π的终边P(x，y)Q(-x，-y)提示：坐标互为相反数思考3：根据三角函数定义，sin（α±π），cos（α±π）的值分别是什么？α的终边xyOα±π的终边P(x，y)Q(-x，-y)sin(α±π)=-ycos(α±π)=-xsin()sincos()cossin()sincos()cossin()-sin()=-(-sin)=sincos()cos()=cos思考1：利用π-α=π+（-α），结合上述公式，你能得到什么结论？探究点3角α与π-α的正弦函数、余弦函数关系这两个公式也可以由前两组公式推出：sin()=sincos()=cos提示：-α，α±π，π－α的三角函数值，等于α的同名函数值，再放上原函数的象限符号.简化成“函数名不变，符号看象限”的口诀．思考2：以上公式都叫作诱导公式，它们分别反映了－α，α±π，π－α的三角函数与α的三角函数之间的关系，你能概括一下这四组公式的共同特点和规律吗？诱导公式作用：转化为0°～90°的角例1求下列各角的三角函数值：7(1)sin().42(2)cos.331(3)cos().67(1)sin()47sin4sin(2)4(sin)42sin.422(2)cos3cos()31cos.32解：3131(3)cos()coscos(4)6663cos()cos.662一般步骤：变号转化求值探究点4角α与的正弦函数、余弦函数关系如图，利用单位圆作出任意锐角α与单位圆相交于点角的终边与单位圆交于点P′，由平面几何知识可知,22RtOPMRtPOM,Pb,a.≌不难证明坐标为△△sin()cos2cos()sin2(),Pab，思考：如何得到下列两个等式sin()2cos()2sin()2cos()2sincoscos()sin()sin()cos2cos()sin2以上两组诱导公式口诀:“函数名改变,符号看象限.”提示:对于任意角α，下列关系式成立：sin(2)sin,cos(2)cossin()sin,cos()cossin(2)sin,cos(2)cossin()sin,cos()cossin()sin,cos()cossin()cos,cos()sin22sin()cos,cos()s22kkin（1.8）（1.9）（1.10）（1.11）（1.12）（1.13）（1.14）公式1.8～1.14叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式.任意负角的正弦函数、余弦函数任意正角的正弦函数、余弦函数0～2角的正弦函数、余弦函数锐角的正弦函数、余弦函数用公式1.8或1.9用公式1.8用公式1.10～1.14例2求下列函数值：5(1)sin().2455(2)sin().65115(3)sincos()sincos.6464.55π55π7π(2)sin(-)=-sin=-sin(8π+)6667πππ1=-sin=-sin(π+)=sin=6662.5πππππ2(1)sin(+)=sin(+)=cos=242442解：.5ππ11π5π(3)sincos(-)+sincos6464ππππ=sin(π-)cos+sin(2π-)cos(π+)6464ππππ=sincos+(-sin)(-cos)646412122=+22222例3化简解：原式3sin(2)cos(3)cos()2sin()sin(3)cos()π(-sinα)cos(π+α)cos(π++α)2=[-sin(π-α)]sin(π-α)cos[-(α+π)]π(-sinα)(-cosα)[-cos(+α)]sinα2===1.(-sinα)sinα(-cosα)sinα11π(1)cos=3πcos(4π-)3π=cos3.1=210π(2)sin(-)=310π-sin3π=-sin(3π+)3π=-(-sin)3.3=21.求下列三角函数值：2.求sin(-60°)+cos120°+sin390°+cos210°.解：sin(-60°)+cos120°+sin390°+cos210°=-sin60°+cos(180°-60°)+sin(360°+30°)+cos(180°+30°)=-sin60°-cos60°+sin30°-cos30°=31133.22223.已知cos(+)=,且是第二象限角,求sin(-)的值.132解：因为，π1cos(+α)=-sinα=-23.所以1sinα=3因为是第二象限角，1sin()-sin.3所以1.理解正弦函数、余弦函数的诱导公式的推导过程.2.能了解诱导公式之间的关系，能相互推导.3.能利用诱导公式解决化简、求值等问题.回顾本节课的收获把希望建筑在意欲和心愿上面的人们，二十次中有十九次都会失望.——大仲马