第五部分概率统计方法

第五部分概率统计模型定义1在统计学中，常把研究对象的全体称为总体，也称母体，而把组成总体的每个元素称为个体。定义2从总体X中，随机地抽取n个个体，这n个个体的指标分别为,通常记为，称为总体X的一个样本,或称子样，n称为样本的容量。nXXX,,,21),,,(21nXXX),,,(21nXXX定义3若总体X的一个样本满足代表性和独立性，则称为总体X的一个简单随机样本，或称为来自总体X的简单随机样本。),,,(21nXXX),,,(21nXXX),,,(21nXXX若总体X的分布函数是,由代表性知的分布函数为,再由独立性，显然可得样本的联合分布函数为)(xF),,1(niXi)(ixF),,,(21nXXX),,(),,(111nnnxXxXPxxF)()(11nnxXPxXP)()(1nxFxF若总体X为连续型随机变量，且其密度函数为，则的联合密度函数为)(xp),,,(21nXXX)()(),,(11nnxpxpxxp定义4设是来自某总体X的一个容量为n的样本，若样本函数中不含任何未知参数，则称T为统计量。),,,(21nXXX),,(1nXXTT例1设总体X服从正态分布N()，其中已知参数，为未知参数，是来自总体X的样本,则，，均是统计量，而，都不是统计量。2，2),,,(21nXXXniiXn11niiXn12)(1},,{max11nniXXniiX1221niiX122)(1（1）、样本均值),,,(21nXXXniiXnX11定义5设样本来自总体X，则称统计量为样本均值。性质1设总体X的数学期望EX＝及方差DX＝存在，样本来自总体X，则。2),,(1nXXnXDXE2，（2）、样本方差),,,(21nXXX212)(1XXnSniin2nnSS212)(11XXnSnii2SS定义6设样本来自总体X，则称统计量为样本方差，称为样本标准差。称统计量为修正样本方差，称为修正样本标准差。2),,,(21nXXX22221ESnnESn，性质2设总体X的数学期望EX＝及方差DX＝存在，样本来自总体X，则。（3）、样本的相关系数niYXii,,1),,(),(YXniniiiniiiYYXXYYXXr11221)()())((定义7设是来自二维总体的一个样本，则称统计量为样本的相关系数。),...,,(21nXXXXnikikXn11nikikXXnm1)(1定义8设样本来自总体，统计量称为样本阶矩或样本阶原点矩，其中k是正整数。而统计量称为样本阶中心矩，其中k是正整数。（4）、样本矩定义9我们称统计量的分布为抽样分布。)(~1212niiniiaaNU，),,(1nXX2，niiiXaU1定理1设是来自正态总体N()的一个样本，统计量U是样本的任一确定的线性函数，即则U也是正态随机变量，即niinNXnX12),(~1),,(1nXX2，X推论1设是来自正态总体N（）的一个样本，则样本均值也是正态随机变量，即)1,0(~NnX),,(1nXX2，推论2设是来自正态总体N（）的一个样本，则)(~22nnXX,,1niiX122＝2定义10设是相互独立且服从于N（0,1）的随机变量，则称随机变量服从自由度为n的－分布，记作2（2）、－分布)(~),(~222121nXnX1X2X1X)(~2122nnX2性质3设,且和相互独立，则＋。即－分布具有可加性。),,(1nXX2，niiXnX11niinXXnS122)(1)1(~)1(22222nSnnSnnX2nS定理2设是来自正态总体N()的一个样本，且则（1）；（2）与相互独立。)(~ntT)1,0(~NX)(~2nYnYXT定义11设，且X与Y相互独立，则称随机变量服从自由度为n的t-分布，记作（3）、t-分布2221);(limxnenxt性质4t-分布的极限分布为标准正态分布N(0，1)，即nXX,,12,N1nSXn1nt定理3设是来自正态总体的一个样本，则统计量～。nmFF,~（4）、F－分布nYmX22~,~nYmXFnm,F定义12设，且X与Y独立，则称随机变量服从自由度为的分布，其中m称为第一自由度，n称为第二自由度，记作。mXX,,1211,nYY,,1222,mXX,,1nYY,,1)1,1(~)1()1(21222221nmFmnnSmSFnm21mS22nS定理5设()是来自正态总体N()时一个样本，()是来自正态总体N()的一个样本，且()与()独立，则其中，的定义同定理4。一、点估计一般地，设nXXX,,,21是来自总体X的样本，点估计问题就是要求构造统计量niXXXT,,,21作为参数kii,2,,1的估计，称这一统计量为i的一个估计量，若nxxx,,,21是nXXX,,,21的一组观察值，代入iT得到具体的数值nixxxT,,,21，称它为i的估计值。1．矩估计法用样本矩作为总体矩的估计，即令nimimkmkmXn121)(,,2,1,1,,,，解这一含k个未知参数k,,,21的方程组，记其解为kiXXXnii,,2,1,,,,ˆˆ21，称它们为k,,,21的矩估计。例1设总体2,~NX，2,为未知参数，nXXX,,,21为来自X的简单随机样本，求2,的矩估计。2．最大似然估计法最大似然估计的直观想法是：既然在一次试验中得到了观察值nxxx,,,21，那么我们认为样本落入该观察值nxxx,,,21的邻域内这一事件应具有最大的可能性，所以应选取使这一概率达到最大的参数值作为参数真值的估计。记kiniknxpxLxxxL,,,;;ˆ,,,;,,,2112121,称它为似然函数。对于固定的nxxx,,,21，记),...,,(21n，选取kˆ,,ˆ,ˆˆ21，使得;maxˆ;xLxL，则称ˆ为的一个最大似然估计值。例4设总体2,~NX，2,未知，nXXX,,,21为来自X的样本，求和2的最大似然估计。二、估计的优良性准则11．．一一致致性性定定义义11设设nXXX,,,ˆ21是是总总体体X分分布布的的未未知知参参数数的的估估计计量量，，若若ˆ依依概概率率收收敛敛于于，，即即对对任任意意的的0，，,1ˆlimPn则称ˆ是的一致估计。例8若总体X服从正态分布2,N，nXXX,,,21是来自总体X的容量为n的样本，iEX，2iDX，ni,,2,1，则由大数定律知，X依概率收敛于，即,1limXPn也即未知参数的最大似然估计或矩估计Xˆ是的一致估计。2．无偏性定义2如果nXXX,,,ˆ21的均值等于未知参数，即,,,,ˆ21nXXXE对一切可能的成立则称nXXX,,,ˆ21为的无偏估计。例11设),,,(21nXXX是抽自均值为的总体的样本，考虑的如下估计量：2ˆ,ˆ21211XXX),4(4ˆ1213nXXXXnn假设因为iEX，容易验证3,2,1,ˆiEi，所以321ˆ,ˆ,ˆ都是的的无偏估计，但是3ˆ,2ˆ21514XXX都不是的的无偏估计。3．有效性定义3设nXXX,,,ˆ211和nXXX,,,ˆ212均为参数的无偏估计，如果21ˆˆDD，则称1ˆ较2ˆ有效。当nXXX,,,ˆ21是所有无偏估计中方差最小时，称nXXX,,,ˆ21为最小方差无偏估计。例13设),,,(21nXXX是来自总体X的容量为n的样本，证明总体均值（即EX）的估计量X1ˆ比niiiXa12ˆ有效，其中,,,2,1,0niai且11niia。三、参数的区间估计定义4：设nXXX,,,21是来自总体X的样本，为总体分布中的未知参数，nXXX,,,ˆ211和nXXX,,,ˆ212为两个统计量，对给定的)10(，若1ˆˆ21P（4）则称21ˆ,ˆ为的置信度为1的置信区间，1ˆ称为置信下限，2ˆ称为置信上限。一般取较小的值，如0.05，0.01等，称为显著性水平。1．单个正态总体参数的区间估计（1）．2已知时，求的置信区间对于给定的显著性水平，我们要找1ˆ和2ˆ，使1)ˆˆ(21P。对上式作等价变换得1)ˆ()()ˆ(01002XnXnXnP，即1)ˆ()ˆ(0102XnUXnP。有2102ˆuXn，2101ˆuXn，即nuX0211ˆ，nuX0212ˆ，这样，我们就得到了的置信度为1的置信区间为)ˆ,ˆ(21nuXnuX021021,。（2）．2未知时，求的置信区间由于2未知，我们用2的一致最小方差无偏估计2S来代替，其中212)(11XXnSnii，考虑随机变量SXn)1(~)(1ntSXnSXnTn于是，对于给定的显著性水平，有)1(21nt，满足1)1(21ntTP，即1)1(21ntSXnP从而的置信度为1的置信区间为nSntXnSntX)1(,)1(2121（3）．求2的置信区间考虑随机变量222nnS，由抽样分布定理，)1(~2222nnSn，因此，对于给定的显著性水平，存在21,CC，使12221CnSCPn。从而2的置信度为1的置信区间为)1(,)1(22212nCnSnCnSnn。例8-16从某超市的货架上随机地抽得9包5.0千克装的食糖，实测其重量分别为（单位：千克）：0.5120.515,0.510,0.510,0.488,0.524,0.518,0.506,,497.0，从长期的实践中知道，该品牌的食糖重量服从正态分布),(2N，（1）已知2201.0，求的%95的置信区间；（2）2未知，求的%95的置信区间；（3）求2的%95的置信区间。2．两个正态总体参数的区间估计设总体),(~211NX，),(~222NY，mXXX,,,21和nYYY,,,21为分别抽自X和Y的相互独立的样本（1）．当21和22已知时，求21的置信区间mNX211,~，nNY222,~nmNYX222121,~标准化后得到)1,0(~222121NnmYXU，由121uUP，可得到21的置信度为1的置信区间为nmuYXnmuYX222121222121,。（2）．当22221，但2未知时，求21的置信区间由抽样分布定理知道，)2(~)2(222121nmtnmnmmn