《狭义相对论》精典习题

1狭义相对论21.理解同时性的相对性2.理解时间膨胀、长度收缩的概念会判断原时、静长3.掌握洛伦兹变换公式3第1题.已知：S系同一点x发生两个事件，间隔为t=4s，在S系此两个事件间隔为t=5s。求：（1）S系对S系的速度u（2）S系中两个事件的空间间隔l’【解】（1）t=4s，t=5s。221cutt2222)54()(1ttcu解得cu534（2）-ux-uSxSxx1t1x1Sxx1-ux-uSxx2t2求在S系中这两个事件的空间间隔l’cu53)(utlm109)(353s58sccx点的速度为方法一.有时不写，c仅代表数值5由洛仑兹变换求22121cutuxxxlm109)53(1s408253c方法二.S系S’系事件1（x,t1）（x1’,t1’）事件2（x,t2）（x2’,t2’）设：洛仑兹变换是解决相对论时空问题的主要依据。用它解决问题时经常把以知条件化为“事件”（即明确时间和空间的坐标）。在S系中这两个事件的空间间隔l’：按题意：540ttxΔ,Δ,Δ（结果相同）6第2题.列车静长为l0,以速度沿车身方向相对地面运动。若在车尾B处发一闪光，此闪光经车头A处的反射镜反射后回到车尾B。uuABSS1tΔ2tΔ1tΔ2tΔ在地面参考系测量：闪光从B到车头A的时间为，从A返回车尾B所需的时间为。关于、，有下述两种解法，请判断正误。7ucltuclt0201Δ,Δ【答】光向A运动，与车的相对速度为(c-u)，返回B的过程，与车的相对运动为(c+u)，因为,他没有考虑运动车厢的长度缩短。uABSS甲的解法：在地面参考系测量，光速是c,车速是u,所以对不对？错。8在地面测量，车长为运动长，应缩短；而光速不变，故有2202111cucltt,ΔΔ因为他没有考虑光和车在同一地面参考系中的相对运动。uABSS乙的解法：对不对？【答】错。9clucucuclcuuclt0022011)()(Δ同理，车尾与返程光闪光相向而行，故有clucucuclt002)(202tultcΔΔ在时间内，闪光的行程1tΔ1tcΔ011ltutcΔΔ【解】正确做法：方法一.长度缩短+相对运动都考虑到车长为。/0l车头（与闪光同向而行）行程，1tuΔ10方法二.直接由洛仑兹变换在车参考系：光往;Δ,Δcltlx0101光返;Δ,Δcltlx0202（用逆变换）：)Δ(ΔΔ2111cxuttclucuccuclucccucl002220)1()1(（结果相同）在地面参考系)(200culclclucuccuclt0021)(Δ同理，11第3题.飞船以0.6c沿地面接收站与飞船连线方向向外飞行，飞船上的光源以T0=4s的周期向地球发光脉冲。求：地面接收站接收到的脉冲周期。讨论：甲说：飞船上的发生器先后两次发出脉冲是在同一地点，应是原时，所以，地面测量周期为41.25=5s.对不对？接收站u25.16.01111222cccu12他们两人都不对。因为飞船上的发生器先后两次发出脉冲的事件与地面上的接收站相继两次接收脉冲的事件不是简单的原时与两地时的关系。乙说：地面上的接收站相继两次接收脉冲是在同一地点，这才是原时，他们两人谁对？正确做法如下：所以。接收周期应为4/1.25=3.2s.【答】13【解】地面参考系：飞船相继两次发出脉冲（两事件）的时间差02Txcutt)Δ(ΔΔ0T0飞船相继两次发出脉冲的空间距离tuxΔΔ接收站11,tx22,txutu接收站接收到的脉冲周期应是相继两次脉冲到达接收站的时间差直接由洛仑兹变换14接收站11,tx22,txutu相继两次脉冲先后到达接收站的时间差（即地面接收站所测量的周期）)(ΔΔΔcutcxtT1sccTccccTucuc844.06.16.06.000cuT10讨论：当星星远离我们而去时，我们接收到的光的周期也会变大，频率变小，即波长会变长，这称为红移现象。（宇宙大爆炸论的重要依据）15接收站11,tx22,txutu地面参考系：02Txcutt)Δ(ΔΔ相继两次发出脉冲仍有)(ΔΔΔcutcxtT1相继两次脉冲先后到达接收站的时间差sTucuc20如果飞船接近接收站结果又怎样？波源远离我们而去时，周期变大，频率变小；波源向我们接近时，周期变小，频率变大。这对机械波也是这样，称为“多普勒效应”。16第4题.如图所示，S系中的观察者有一根米尺固定在x轴上，两端各有一手枪。S’系中的x’轴上固定有另一根长尺，当它从米尺旁边经过时，S系中的观察者同时扳动两枪，使子弹在S’系中的尺上打出两个记号。问：在S’系中记号间距x2-x1与1m比，长还是短？【解】u1m的尺运动长尺SSux1x2x1x2t1t2=t1xx有人说，S’系中的长尺，从米尺旁边经过，所以，它是动长，记号间距x2-x1应比1m短。对不对？17定性分析：t2=t1t2t1（后）（先）m112）（xx按同时性的相对性的重要规律，得方法一.方法二。由洛仑兹变换定量计算：长尺Sx1m-u1m-ux2t2’x2t2t1x1Sx2xt2x1t118x2-x1是固定长尺上两弹痕间的距离。22222222112222121m1/1/1/1/1cucuxcutuxcuutxcuutxxx在S’系中看1m是动长。u1m的尺运动长尺SSux1x2x1x2t1t2=t1xxt’1t’21922122211222212/1/1/1cuxxcuutxcuutxxx我们知道，在S系中测运动棒的长度，必须同时测它两端的坐标，有012tt我们也知道，若在S’系中的x’1处和x’2处，于某时刻同时发生了两个事件，有012tt22122211222212/1/1/1cuxxcutuxcutuxxx两式关系正好相反，有时特易混淆。共同规律：若两个事件在某一参考系中是同时发生的，则在这个参考系中这两个事件之间的距离比在其他参考系中的距离短。20第5题.宇宙飞船静长为L’，以速度相对地面作匀速直线运动。有一小球从飞船尾部运动到飞船头部，宇宙飞船中的宇航员测得小球的速度为v’。u求：（1）宇航员测得的小球飞行时间（2）地面观察者测得的小球飞行时间tΔtΔuu21【解】（1）在飞船系中小球飞行时间飞船长为L’，小球飞行的速度为v’当然有vLvxtΔΔ（2）在地面系中小球飞行时间方法一.直接用洛仑兹时间变换22222211cuLcuvLcuxcuttΔΔΔ22211cucuvL22uSS’xx’x1x2vtxS’u方法二.分别用洛仑兹坐标变换和速度变换vcuuvcutuxvx22211ΔΔΔt23uvvcucuvLuL2221122211cucuvL（结果相同）vcuuvcutuxvxt22211ΔΔΔΔuvvcucuvuvL2221124方法三.在地面系中，飞船长度为221cuLL/小球从船尾到船头运动的时间t内,飞船运动的距离为ut,用运动长度缩短+速度变换uSS’xx’x1x2vtLxS’u所以，小球在S系中运动的距离为tvLtuΔΔuvLtΔ25vcuuuvvcucuLuvcuuvcuLt222222211111//Δ（结果相同）tvLtuΔΔuvLtΔ2222222211111cucuvLcuvvcuc/uL26第6题.一艘飞船和一颗彗星相对地面分别以0.6c、0.8c的速度相对而行。在地面上观察，再有5秒两者就要相撞。问：（1）飞船上看，彗星的速度多大？（2）飞船上看，再经过多少时间相撞？0.6c0.8c飞船慧星27【解】设地面为S系，飞船为S’系vu、分别为飞船、彗星相对地面的速度根据洛仑兹变换,在飞船系中，彗星的速度xxvcuuvv21cccccc946.08.06.016.08.02（沿-x’方向）飞船彗星00’SS’uxx’v小于光速c.（1）飞船上看，彗星的速度多大？28方法一.(2)飞船上看，再经过多少时间相撞？事件1：飞船被地面上的人看到事件2：飞船与彗星相撞在飞船上看是t’这两事件，在地面上看是ts48.05)/6.0(15/1222cccutt29方法二.利用洛仑兹变换s46.0156.06.05/1ΔΔΔ22222ccccccuxcutt设：事件1（飞船被地上人看到）（x1t1）（）x’1t’1事件2（飞船与彗星相撞）（x2t2）（）x’2t’2飞船彗星00’SS’uxx1x2x’vt1t2tuxΔΔ30方法三.事件1：飞船经过地面上x1,t1事件2：彗星经过地面上x2,t2(=t1)t=t2-t1=0----地面上是同时看到这两事件的。在地面上看到飞船、彗星相对移近的速度为v*=0.6c+0.8c=1.4c由于地面上看，经过5秒将相撞，所以它们的距离为x=x2-x1=v*5=1.4c5=7c(c仅代表数值)看成三个事件（较繁）事件3：飞船和彗星在地面系相撞x3，t3飞船彗星00’SS’uxx1x2x’vt1t2x3t331这段距离在飞船上看多大？用洛仑兹变换cccccxx7588076017122../.ΔΔ2121tuxxxxΔΔΔx=7c小，S系中事件1、2是同时发生的。x=8.75c大，S’系中事件1、2是必不是同时发生的。飞船彗星00’SS’uxx1x2x’vt1t232x’比x长还可以这样来理解：在S’系中的观察者来看，S系测得x1,x2(相应于它的x1’,x2’，)，并不是同时测的，而是先测了x2’,再测的x1’,而这时S’系已向右运动了一段距离，当然测得的结果长了。飞船彗星00’SS’uxx1x2x’vt1t233现在再来看事件3：设事件3：飞船和彗星在地面系x3，t3相撞有人说，飞船上看，再经过t’相撞：s25.9946.075.8ΔΔccvxt对不对？因为事件1、2在地面上看是同时，在飞船上看并不是同时，有时间差：212221221212101xxcuxxcutttts25.5/6.0176.022ccccc【答】错。34即t’2t’1,飞船上的人认为，地面上的人是先看到彗星，后看到飞船的。它们相差5.25s,而在这5.25s时间内，彗星已经向飞船接近了距离12ttv(在飞船系中，彗星的速度为v’)所以，飞船上的人应以彗星的这个位置来计算还有多少时间相撞s25.512tt1212ttvxvttvxtΔΔΔs425.525.925.5946.075.8cc（结果相同）结束