整式乘除培优

1整式乘除培优考点一.同底数幂的乘法1.同底数幂的乘法法则:nmnmaaa(m,n都是正数)2.在应用法则运算时,要注意以下几点:①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式；②指数是1时，不要误以为没有指数；③当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为pnmpnmaaaa（其中m、n、p均为正数）；④公式还可以逆用：nmnmaaa（m、n均为正整数）考点二．幂的乘方与积的乘方1.幂的乘方法则：mnnmaa(m,n都是正数)。2.积的乘方法则：nnnbaab（n为正整数）。3．幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。考点三.同底数幂的除法1.同底数幂的除法法则:nmnmaaa(a≠0,m、n都是正数,且mn).2.在应用时需要注意以下几点:①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a≠0.②任何不等于0的数的0次幂等于1,即010aa,如1100,(-2.50=1),则00无意义.③任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数),等于这个数的p的次幂的倒数,即ppaa1(a≠0,p是正整数),而0-1,0-3都是无意义的。考点四.整式的乘法1.单项式与单项式相乘法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。2．单项式与多项式相乘法则：单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。3．多项式与多项式相乘法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。考点五．平方差公式1．平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，即22bababa。2.结构特征：①公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数；2②公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。例1.下列式中能用平方差公式计算的有()①(x-12y)(x+12y),②(3a-bc)(-bc-3a),③(3-x+y)(3+x+y),④(100+1)-(100-1)A.1个B.2个C.3个D.4个例2.利用平方差公式计算：（1）(x+6)(6-x)（2）11()()22xx（3）(a+b+c)(a-b-c)（4）18201999考点六．完全平方公式1．完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，即2222bababa；2．结构特征：①公式左边是二项式的完全平方；②公式右边共有三项，是二项式中二项的平方和，再加上或减去这两项乘积的2倍。例1.若x2＋mx＋４是一个完全平方式，则m的值为。例2.计算：（1）21x（2）221ba（3）210151yx（4）)12)(12(yxyx（5）)2)((4)2(2yxyxyx（6）9982考点七．整式的除法1．单项式除法单项式法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。2．多项式除以单项式法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以3单项式，再把所得的商相加考点八、因式分解1、因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把多项式因式分解.注：因式分解是“和差”化“积”，整式乘法是“积”化“和差”故因式分解与整式乘法之间是互为相反的变形过程，因些常用整式乘法来检验因式分解.2、提取公因式法：把mambmc，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式()abc是mambmc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.用式子表求如下：()mambmcmabc注：i多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.ii公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数；②字母：各项都含有的相同字母③指数：相同字母的最低次幂.3、运用公式法：把乘法公式反过用，可以把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.ⅰ）平方差公式22()()ababab注意：①条件：两个二次幂的差的形式；②平方差公式中的a、b可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；③在用公式前，应将要分解的多项式表示成22ba的形式，并弄清a、b分别表示什么.ⅱ）完全平方公式2222222(),2()aabbabaabbab注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项式；②其首尾两项是两个符号相同的平方形式；③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）；④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成222)(2bababa公式原型，弄清a、b分别表示的量.补充：常见的两个二项式幂的变号规律：①22()()nnabba；②2121()()nnabba．（n为正整数）44、十字相乘法借助十字叉线分解系数，从而把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次项系数为l的二次三项式,2qpxx寻找满足,abqabp的ab、，则有22()()();xpxqxabxabxaxb5.在因式分解时一般步骤：①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；②如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；③如果用上述方法都不能分解，那么可以用十字相乘法，分组分解法来分解；④分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.例1在下列各式中，从左到右的变形是不是因式分解？⑴2(3)(3)9xxx；⑵2524(3)(8)xxxx；⑶223(2)3xxxx；⑷211()xxxx.注：左右两边的代数式必须是恒等，结果应是整式乘积，而不能是分式或者是n个整式的积与某项的和差形式..例2⑴yxyxyx3234268；⑵23()2()xxyyx注：提取公因式的关键是从整体观察，准确找出公因式，并注意如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数为正.提出公因式后得到的另一个因式必须按降幂排列.例1把下列式子分解因式：⑴22364ab；⑵22122xy.注：能用平方差分解的多项式是二项式，并且具有平方差的形式.注意多项式有公因式时，首先考虑提取公因式，有时还需提出一个数字系数.5例2.把下列式子分解因式：⑴2244xyxy；⑵543351881ababab.注：能运用完全平方公式分解因式的多项式的特征是：有三项，并且这三项是一个完全平方式，有时需对所给的多项式作一些变形，使其符合完全平方公式.[补例练习]1、⑴6216aa；⑵22(2)(2)abab；⑶421681xx；⑷2222(1)4(1)4xxxx.注：整体代换思想：ab、比较复杂的单项式或多项式时，先将其作为整体替代公式中字母.还要注意分解到不能分解为止.例3⑴254aa；⑵422454xxyy.[补例练习]2、⑴22616xxyy⑵2()2()80xyyx例4若25)4(22xax是完全平方式，求a的值.说明根据完全平方公式特点求待定系数a，熟练公式中的“a、b”便可自如求解.6例5已知2ba，求222121baba的值.说明将所求的代数式变形，使之成为ba的表达式，然后整体代入求值.[补例练习]已知1yx，2xy，求32232xyyxyx的值.跟踪习题13.1.1同底数幂的乘法1、判断(1)x5·x5=2x5()(2)x13+x13=x26()(3)m·m3=m3()(4)x3(－x)4=－x7()2、填空：（1）54mm=（2）nnyyy533=（3）32aa=（4）22xx=3、计算：(1)103×104(2)(－2)2·(－2)3·(－2)(3)a·a3·a5(4)(a+b)(a+b)m(a+b)n(5)a4nan+3a(6)－a2·a3(7)(－a）2·a3(8)5222xyyx◆典例分析7若3m=5,3n=7,求3m+n+1的值●拓展提高1、填空（1）mnpyxxyyx32=（2）已知2x+2=m,用含m的代数式表示2x=_____2、选择：（1）下列计算中①b5+b5=2b5②b5·b5=b10③y3·y4=y12④m·m3=m4⑤m3·m4=2m7其中正确的个数有（）A1个B2个C3个D4个（2）x3m+2不等于（）Ax3m·x2Bxm·x2m+2Cx3m+2Dxm+2·x2m3、解答题：（1）5,35bacbaxx，求cx的值.（2）若,14xxxxnm求m+n.（3）若61aaanmn，且m-2n=1,求nm的值.（4）计算：4353xxxxx.●体验中考81.下列计算错误的是()A．2m+3n=5mnB．426aaaC．632)(xxD．32aaa2.下列计算中，结果正确的是（）A．236aaa·B．26aaa·3C．326aaD．623aaa13.1.2幂的乘方◆随堂检测1、判断题，错误的予以改正。（1）a5+a5=2a10（）（2）（x3）3=x6（）（3）（－3）2·（－3）4=（－3）6=18（）（4）(xn+1)2=x2n+1（）（5）[－（a2）3]3=[－（a3）2]3（）2、计算：（1）.（103）3（2）.(－x4)7（3）.[（－x）4]7（4）.[(a-b)3]5·[(b-a)7]3(5).{[(-a)3]2}5(6).-(-m3)2·[(-m)2]3(7).[(-a-b)3]2[-(a+b)2]33、化简(1)5（P3）4（－P2）3+2[（－P）2]4（－P5）2(2)xm－4x2+m－(－xm－1)2◆典例分析9计算：（1）〔（-a）2〕3（2）(-a)2·(a2)2（3）〔（x+y）2〕3·〔（x+y）3〕4●拓展提高一、填空：1、已知a2=3,则①(a3)2=②a8=2、若（x2）n=x8，则n=_____________.3.若[（x3）m]2=x12，则m=_____________。二、选择：1、化简2m·4n的结果是()A．（2×4）mnB.2×2m+nC.（2×4）m+nD.2m+2n2、若x2=a,x3=b，则x7等于()A.2a+bB.a2bC.2abD.以上都不对.三、解答题；1.若xm·x2m=2，求x9m的值.2.若a2n=3，求（a3n）4的值.3、计算(-3)2n+1+3·(-3)2n.4、已知am=2,an=3,求a2m+3n的值.●体验中考1、计算32()a的结果是（）A．5aB．6aC．8aD．9a9.102、计算23()a的结果是（）A．5aB．6aC．8aD．23a13.1.3积的乘方◆随堂检测一.下面的计算对不对?如果不对,应怎样改正?1.(ab2)2=ab4（）2.3339)3(dccd（）3.(3a3)2=9a6（）4.(32x3y)3=96x6y3（）二、填空：1.33a23x32yx2.如果9123273yxyxnmm成立，则整数m=,n=三、计算：1.(2×107)32.(amb6c)23.(xm+2y2n-1)34.(3a2c3)25.[4(ab)]2(ba)36.(-0.125)16×817◆典例分析计算：24×44×0.1254●拓展提高1.填空:（1）645×82=2x,则x=_______.（2）︱x1︱+(y+3)2=0,则(xy)2=______.（3）若M3=-8a6b9,则M表示的单项式是________112．选择：（1）已知23×8