数学讲义-信号检测-第7章

168第7章序列检测与稳健性检测7.1信号的序列检测前面讨论的信号检测问题，信号观测次数N是固定的。它包含两个含义：（1）必须进行N次信号观测；（2）N次观测后必须作出iH成立的判决。这种判决方式存在两个问题：（1）信号观测次数是否过多？若只须较少的信号观测便能准确判决，过多的观测次数是一种人力和物力的浪费，对于破坏性的信号观测与试验，过多的观测是不能接受的；（2）信号观测次数是否过少？若观测次数太少，所得到的观测信息不够充分，便降低了判决的准确性。实验表明，信号检测过程中的信号观测次数N与信噪比成反比关系。即：对于信噪比较大的信号，只须较少的信号观测次数（N较小），便能作出合理准确的判决；对于信噪比较小的信号，必须较多的信号观测次数（N较大），才能作出合理准确的判决。在实际问题中，信号的信噪比可能大，也可能小，且事先并不一定能准确的知道，所要在检测前确定一个合理的观测次数N是一件困难的事。序列信号检测可以避免上述矛盾。7.1.1信号序列检测的基本概念序列检测在进行假设检验时，不预先规定观测次数N，而是根据实际情况，采用边观测边判决的方式来确定N。在获得第一个观测信号1X时，就开始研究判决所能达到的指标，若能满足指标，则作出判决，信号检测过程便告结束；否则，进行第二次观测，得到观测信号2X，然后利用两次的观测信息1X和2X进行判决，若判决达到性能指标，则检测过程结束，否则，继续第三次观测，依次进行，直到满足指标，检测过程结束。我们把这种检测称为信号的序列检测。为了说明清楚起见，本节仅限于讨论简单二元信号的序列检测。根据似然比检测原理，相应于k次信号观测，信号检测的检测器为：10()()()kkkpXHLXpXH＞其要素是似然比函数()kLX及门限。与固定观测次数的检测不同点在于序列检测的门限，序列检测设上门限1和下门限0两个门限，当()kLX1时，判1H成立；，当()kLX0时，判0H成立；当01()kLX时，不作判决，增加观测次数，增加观测样本，按照类似的规则和门限做处理，直到做出判决为止。那么按照上述序列检测的基本思想，它应是逐步进行的。当检测过程进行到第k步时，已经获得了k个观测信号（12,,kXXX），这k个观测信号可以看作是k维观测空间R中的一个点。根据信号检测所采用的准则，对观测空间R进行划分。在简单二元信号序列检169测的情况下，观测空间R被分成三个互不相交的子空间0R，1R和2R，如图7.1.1所示，其分界面由检测准则决定。图7.1.1序列检测的判决域如果信号观测矢量12(,,)TkkXXXX落在0R域，则判决假设0H成立；如果kX落在1R域，则判决假设1H成立；如果kX落在2R域，则不作出判决，继续进行第1k次观测。7.1.2两个门限0和1的计算方法――瓦尔德序列检测设计瓦尔德序列检测的关键问题是根据指定的虚警概率FAP和漏警概率MP，来计算检验器的两个门限0和1。在纽曼-皮尔逊准则下，下面研究检测门限0和1与错误判决概率FAP和MP的关系。设N次观测信号所构成的N维随机观测矢量为12(,,)TNNXXXX,其似然比函数为10()()()NNNpXHLXpXH（7.1.1）为了计算似然比函数()NLX，需要对随机观测矢量NX进行统计描述，即求N维联合概率密度函数0()NpXH和1()NpXH。如果假定各次观测是相互独立的，则似然比函数可以表示为11100()()()()()NNkNkkNpXHpXHLXpXHpXHR0判H0成立R2判H1成立R1继续观测170111100()()()()NNkkNkpXHpXHpXHpXH（7.1.2）也可以写成1()()()NNNLXLXLX（7.1.3）根据虚警概率FAP和漏警概率MP来计算0和1。记FAP,MP（7.1.4）进行下列检验，若1()NLX（7.1.5）则判决假设1H成立；若0()NLX（7.1.6）则判决假设0H成立；若01()NLX（7.1.7）则需要进行下一次观测，根据1()NLX再进行检验。对于给定的约束值和，有10()NNRpXHdX（7.1.8）11101()()()NNNNNRRpXHdXpXHLXdX（7.1.9）式中，1代表1H为真时判决1H成立的正确判决概率，所以必满足（7.1.5）式，即1()NLX，将其带入（7.1.9）式，得11011()NNRpXHdX（7.1.10）从而有不等式11（7.1.11）类似的可以求得关于门限0的不等式为01（7.1.12）171因为序列检测的条件是，当似然比函数1()NLX时，判决假设1H成立，而似然比检测门限的理论值为11，只有取1理论值的上限时，似然比检验时才能有足够的观测次数，以满足性能要求指标。所以检测门限1的设计公式为11（7.1.13）采用类似的分析方法，可得检测门限0的设计公式为01（7.1.14）如果采用对数似然比检验，则（7.1.2）式变为11ln()ln()ln()NNNkkLXLXLX（7.1.15）对应的检测门限为0ln和1ln。7.1.3序列检测的平均观测次数信号序列检测能确保信号检测的精度，但信号序列检测的最大优点是在给定的检测性能要求下，它所利用的平均观测次数最少，即平均检测时间最短。下面证明这一结论。求序列检测的平均观测次数，也就是求在假设1H为真和假设0H为真的条件下作出判决所需要的观测次数的平均值1()ENH和0()ENH，其中N是终止观测的观测次数，是一个随机变量。假设观测量iX都是独立同分布的，即来自同一总体X，则11ln()ln()ln()ln()NNNkkkkLXLXLXNLX（7.1.16）式中，()LX可以认为是任意一次观测的似然比函数。这样有1111[ln()][ln()][ln()]()NELXHENLXHELXHENH（7.1.17）于是有111[ln()]()[ln()]NELXHENHELXH（7.1.18）由NP准则，检测结束，当1H为真时，有：17201[ln()ln]NPLXH11[ln()ln]1NPLXH当0H为真时，有：00[ln()ln]1NPLXH10[ln()ln]NPLXH信号序列检测到第N次观测时终止，检测结束，可认为ln()NLX近似取1ln和0ln之一，即检测结束时，有：01[ln()ln]NPLXH11[ln()ln]1NPLXH或00[ln()ln]1NPLXH10[ln()ln]NPLXH于是，ln()NLX的条件均值为110[ln()](1)lnlnNELXH（7.1.19）010[ln()]ln(1)lnNELXH（7.1.20）将式（7.1.19）代入式（7.1.18），则在假设1H下，所需的平均观测次数是1011(1)lnln()[ln()]ENHELXH（7.1.21）类似地，在假设0H为真的条件下，所需的平均观测次数是1000ln(1)ln()[ln()]ENHELXH（7.1.22）这样，可求出总平均观测数为10()[][]ENpENHqENH（7.1.22）其中1()pPH，0()qPH分别是1H和0H发生的先验概率。瓦尔德（Wald）和沃尔福维茨（Wolfowitz）已经证明，对于FAP和MP已经确定，这种173序列似然比检验的平均观测次数1()ENH和0()ENH最小。序列检测由于出现了不做出判决的中间结果，是否会出现在1ln和0ln之间发生振荡无止境呢？结论是：肯定不会。若01lnln()lnNLX，需要进行下一次观测再作处理。我们知道，ln()NLX落在0ln和1ln之间的概率总小于1，即01[lnln()ln]1NpLXr所以，在n次观测中，对数似然比ln()nLX落在0ln和1ln之间的概率，即ln()kLX(1,2,)kn全部落在0ln和1ln之间的概率为01[lnln()ln]nnpLXr因此，当Nn时01lim[lnln()ln]0NnPLX这说明当n时，ln()nLX落在0ln和1ln之间的概率等于零，即序列似然比检验是有终止的，或者说序列似然比检验以概率1结束。虽然序列似然比检验是有终止的，但人们在使用中宁愿规定一个观测次数的上限*N。当观测次数达到*N仍不能判决是，就转为固定观测次数的检验方法，强制作出假设1H或者0H成立的判决。这类序列似然比检验称为截断的序列似然比检验。例7.1.1在二元数字通信系统中，两个假设下的观测信号分别为0:,1,2,kkHXk1:1,1,2,kkHXk其中，观测噪声(0,1)kN,各次观测统计独立，且观测是顺序进行的。试确定在0.1FAP，0.1MP时的判决规则；并计算在每个假设下，观测次数N的平均值。解：若进行到第N次观测，似然比为1742/21120/21(1)1()exp22()()()1()exp22NkNkNNNNkNkXpXHLXpXHX对数似然比为1ln()2NNkkNLXX两个检测门限分别为11lnln()2.1970ln=ln=2.1971因此似然比判决规则为若12.1972NkkNX，则判决假设1H成立；若12.1972NkkNX，则判决假设0H成立；若12.1972.1972NkkNX，则需要再进行一次观测后，再进行检验。在假设1H和假设0H下，观测次数N的平均值分别为1011(1)lnln()[ln()]ENHELXH1000ln(1)ln()[ln()]ENHELXH式中，11111[ln()][()][(1)]222ELXHEXHEn00111[ln()][()][]222ELXHEXHEn其中n是任意一次的观测噪声。于是有1()3.515ENH1750()3.515ENH上述结果表明，平均观测4次就可以达到预期性能。7.2稳健性检测7.2.1概述对于信号统计检验的理论和方法，大致可以分成两种类型。一类是信号的参数检测，它要求准确掌握观测信号的概率分布特性。另一类是信号的非参数检测，它可以在完全不知道观测信号概率分布特性的情况下，根据检测单元样本数据和参考单元样本数据比较所得的结果设计信号检测器，实现信号的检测，所以又称为分布自由检测。非参数检测虽然适应性强，但针对性差，其检测性能一般低于参数检测性能，且要求信号观测次数N较大。从工程实用性出发，本书不讲述非参数检测方法。从严格意义上讲，实际工程问题中最有可能遇到介于两类检测之间的情况，即部分掌握观测信号的统计特性，但又不足以得到其确切的概率分布描述。例如，在某些雷达、通信系统中，信号模型()(,)()Xtstt中噪声()t的统计特性虽然基本上属于高斯型，但并不完全一致，实测结果往往是其概率密度函数在均值附近与高斯分布一致，但在远离均值的“尾部”却与高斯分布差异较大，表现为一个衰减慢于高斯分布的“宽尾巴”。这说明噪声主要由高斯型噪声组成，但也含有一小部分的其他类型的噪声。对于这种情况，参数检测与非参数检测方法都不适合，可采用稳健性（Robust）检测方法。稳健性指的是一种韧性，稳健性检测指的是检测器的性能对于噪声()t统计特性变化的非敏感性，即：当信号的实际统计模型与假设的统计模型有较小的差异时，检测性能只受到较小的影响，不会因为实际模型的变化使检测性能严重变差。当实际的统计模型与所假设的理论模型一致时，稳健性检测性能良好，但达不到某种准则下的最佳性能，所以稳健性检测不是最佳检测，这是为