新北师大版九年级数学二次函数的图像与性质(第1课时)

第二章二次函数2.2二次函数的图像与性质（1）课前回顾1．我们已经学过哪些函数？2．一次函数、反比例函数的图象各是怎样的图形？数形结合,直观感受二次函数的图象又是怎样的图形呢？观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表:请你用描点连线法画二次函数y=x2的图象。x…-3-2-10123…y=x2……探究新知列表9410149描点y=x2yx…－3－2－10123……9410149…xy0-4-3-2-11234108642-21连线图（1）图（2）图（3）图（4）图（5）图（6）下一页y=x2xy0-4-3-2-11234108642-21观察图象,回答问题串(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.合作探究(2)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点,并与同伴交流.(3)图象与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?(4)当x0时,随着x的值增大,y的值如何变化？当x0呢？(5)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？2xy这条抛物线开口向上且关于y轴对称,y轴就是它的对称轴.对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点它是图像的最低点.二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.2xy当x0(在对称轴的左侧)时,y随着x的增大而减小.当x0(在对称轴的右侧)时,y随着x的增大而增大.抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外),开口向上,并且向上无限延，伸顶点是它的最低点,当x=0时,函数y的值最小,最小值是0.做一做(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？(2)先想一想，然后作出它的图象．(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？xy0-4-3-2-11234-10-8-6-4-22-1观察图象,回答问题（1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.（2)图象与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?（3)当x0时,随着x的值增大,y的值如何变化？当x0呢？（4)当x取什么值时,y的值最大?最大值是什么？你是如何知道的？（5)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点,并与同伴交流.y=-x22xy这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴.对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.二次函数y=-x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.y2xy当x0(在对称轴的左侧)时,y随着x的增大而增大.当x0(在对称轴的右侧)时,y随着x的增大而减小.y抛物线y=-x2的开口向下,顶点是它的最高点,,当x=0时,函数y的值最大,最大值是0.2xy2xy抛物线顶点坐标对称轴开口方向增减性最值y=x2y=-x2（0，0）（0，0）y轴y轴向上向下当x=0时,最小值为0.当x=0时,最大值为0.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.根据图形填表：它们的性质有哪些异同？2xy2xy在同一坐标系内，抛物线y=x2与抛物线y=-x2的位置有什么关系？抛物线y=x2与y=-x2关于x轴对称抛物线y=x2与y=-x2关于原点中心对称数学理解1.设正方形的边长为a，面积为S，试作出S随a的变化而变化的图象。知识技能2.点A（2，4）在二次函数y=x2的图象上吗？请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标、关于y轴的对称点C的坐标、关于原点O的对称点D的坐标。点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗?在二次函数y=-x2的图象上吗？2xy函数y=ax2(a≠0)的图象和性质在同一坐标系中作二次函数y=2x2的图象．(1)完成下表：(2)作出y=2x2的图象．x…-3-2-10123…y=x2y=2x2x…9410149…x………188202818…二次项系数a0,开口都向上;对称轴都是y轴;增减性与也相同.顶点都是原点(0,0).二次函数y=2x2的图象形状与y=x2一样,仍是抛物线.(3)二次函数y=2x2的图象是什么形状?它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?只是开口大小不同.想一想,在同一坐标系中作二次函数y=-x2和y=-2x2的图象,会是什么样?二次项系数a0,开口都向下;对称轴都是y轴;增减性与也相同.顶点都是原点(0,0).二次函数y=-2x2的图象形状与y=-x2一样,仍是抛物线.(4)二次函数y=-2x2的图象是什么形状?它与二次函数y=-x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?22xy只是开口大小不同.2xy请你总结二次函数y=ax2的图象和性质.1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.3.当a0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.当a0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.二次函数y=ax2的性质2.当a0时，开口向上,当a0时,开口向下.4.|a|越大,开口越小,|a|越小,开口越大.二次函数y=ax2的性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值开口大小抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2(a0)y=ax2(a0)（0，0）y轴y轴在x轴的上方(除顶点外)在x轴的下方(除顶点外)向上向下当x=0时,最小值为0.当x=0时,最大值为0.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.根据图形填表：|a|越小,开口越大.|a|越大,开口越小.aa（0，0）知道就做别客气当堂检测1.填空:抛物线y=5x2的顶点坐标是,对称轴是,在侧,y随着x的增大而增大；在__________侧,y随着x的增大而减小,当x=时,函数y的值最小,最小值是,抛物线y=5x2的开口.（0，0）y轴对称轴的右对称轴的左00向上2.若二次函数是开口向上的抛物线，则k的值是（）A.-3B.2C.3D.-3或24kk2x1ky）（B3.已知是二次函数y=x2图象上的一点，则图象上与之对称的点的坐标是（）A.B.C.D.4121，41,2141,2141,2121,214.已知a﹤-1，A(a-1，y1），B(a，y2）C（a+1，y3）为二次函数y=x2的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A.y1y2y3B.y3y2y1C.y3y1y2D.y2y1y3BB5.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）.（1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断点B（-1，-4）是否在此抛物线上.（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.解：（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得-8=a(-2)2,解得a=-2,所求函数解析式为y=-2x2.（2）∵当x=-1时,y=-2·(-1)2≠-4,∴点B（-1，-4）不在此抛物线上.（3）当y=-6时，-6=-2x2,得x2=3,x=±3,∴纵坐标为-6的点有两个，它们分别是(3,-6)与(-3,-6)