《直线与平面垂直的判定》ppt课件

2.3.1直线与平面垂直的判定观察图中立柱与地面,立柱与桥面之间是怎样的位置关系?旗杆与地面的位置关系，给人以直线与平面垂直的形象.思考1阳光下直立于地面的旗杆及它在地面的影子有何位置关系.ABα1.旗杆所在的直线始终与影子所在的直线垂直.2.事实上，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线也是垂直的.ABαCBB1C1直线和平面垂直的定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.l平面α的垂线直线l的垂面A垂足直线和平面垂直的画法αP注：画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.l思考2若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线垂直于平面吗？不一定如图：BCBCl①“任何”表示所有.②直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，在垂直时，直线与平面的交点叫做垂足.③等价于对任意的直线，都有m利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时也得到了线面垂直的最基本的性质.a.ma【提升总结】请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图所示的试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）.ABCD动手操作ABDC思考3(1)折痕AD与桌面垂直吗？(2)如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面α垂直？当折痕AD⊥BC且翻折后BD与DC不在一条直线上时,折痕AD与桌面所在平面垂直.ABDCABDCABDCABDCABDCABDCABDCABDCABDCABDCABDCBDCABD,CD都在桌面内，BD∩CD=D，AD⊥CD,AD⊥BD,直线AD所在的直线与桌面垂直lmnP一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．直线和平面垂直的判定定理lmnP符号表示：,,mnmnPllmln“平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少简记为：线线垂直线面垂直定理补充例1如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.bamn分析：在平面内作两条相交直线.是两条相交直线，直线m，n．证明：在平面内作两条相交因为直线a，根据直线与平面垂直的定义知,.aman又因为//ba，所以,.bmbn又因为所以.b,,,mnmn结论：两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这一个平面.例2：正方体中，求证:.////ABCDABCD//ACBDDBD'C'B'A'DCBA下列命题中正确的个数是()①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．A．0B．1C．2D．3B【变式练习】如图，直四棱柱ABCD-ABCD中（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱），底面四边形ABCD满足什么条件时，A思C⊥4B考D?ABCDABCDACBDOPAα斜线斜足线面所成角（锐角∠PAO）射影关键：过斜线上一点作平面的垂线线面所成的角l一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角.一条直线在平面内，或与平面平行，它们所成的角是0°的角.【提升总结】A1B1C1D1ABCD例3如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.分析:找出直线A1B在平面A1B1CD内的射影,就可以求出A1B和平面A1B1CD所成的角.O连点连因为所以所以所以所以为线内为设长为，所以线11111111111111111111111111111111o111接BC交BC于O,接AO,AB⊥BC，AB⊥BB,AB⊥平面BCCB.AB⊥BC,又BC⊥BC,BC⊥平面ABCD.AO斜AB在平面ABCD的射影，∠BAOAB与平面ABCD所成的角.正方体的棱a2在Rt△ABO中，AB=2a,BO=a,21BO=AB,∠BAO=30.2直解A：为o11B和平面ABCD所成的角30.例4如图，AB为平面α的一条斜线，B为斜足，AO⊥平面α，垂足为O，直线BC在平面α内，已知∠ABC=60°，∠OBC=45°，求斜线AB和平面α所成的角.ABCOαDVABCVA=VC，AB=BC,ABCV求证:VB⊥AC.中，在三棱锥1.如图，提示：找AC中点D,连接VD,BD【变式练习】点o2.过△ABC所在平面α外一点P,作PO⊥α,垂足为O,连接PA,PB,PC.(1)若PA=PB=PC,∠C=90,则点O是AB边的__点.(2)若PA=PB=PC,则点O是△ABC的_____心.(3)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则O是△ABC的_____心.中外垂1．下列说法中错误的是()①如果一条直线和平面内的一条直线垂直，该直线与这个平面必相交；②如果一条直线和平面的一条平行线垂直，该直线必在这个平面内；③如果一条直线和平面的一条垂线垂直，该直线必定在这个平面内；④如果一条直线和一个平面垂直，该直线垂直于平面内的任何直线．A．①②B．②③④C．①②④D．①②③D2．一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是()A．0°＜θ＜90°B．0°≤θ≤90°C．0°≤θ＜90°D．0°≤θ≤180°【解析】由线面角的定义知B正确．B3．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则BD1与平面A1B1C1D1所成的角的大小为________．【解析】如下图所示，连接B1D1.6则B1D1是BD1在平面A1B1C1D1上的射影，则∠BD1B1是BD1与平面A1B1C1D1所成的角．在Rt△BD1B1中，tan∠BD1B1＝BB1B1D1＝13＝33，则∠BD1B1＝π6.4.（2012·四川高考）如图,在正方体1111ABCD-ABCD中,M，N分别是CD，1CC的中点,则异面直线1AM与DN所成角的大小是____________.90º[解析]连接D1M,易得DN⊥A1D1,DN⊥D1M,所以,DN⊥平面A1MD1,又A1M平面A1MD1,所以,DN⊥A1M1,故夹角为90º.NMB1A1C1D1BDCA5.如图，已知P是菱形ABCD所在平面外一点，且PA＝PC，求证：AC⊥平面PBD.【证明】设AC∩BD＝O，由题意知O为AC的中点，连接PO，因为PA＝PC，所以PO⊥AC，又因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC，而PO∩BD＝O，PO⊂平面PBD，BD⊂平面PBD，所以AC⊥平面PBD.直线与平面垂直判定定理及应用定义直线与平面所成的角转化思想：线面垂直线线垂直定义判定定理不去奋斗，不去创造，再美的青春也结不出硕果。