导数公式运算习题课

第一章导数及其应用基本初等函数的导数公式及导数的运算法则习题课第一章导数及其应用1.基本初等函数的导数公式(1)若f(x)＝c，则f′(x)＝①________.(2)若f(x)＝xn，则f′(x)＝②________.(3)若f(x)＝sinx，则f′(x)＝③________.(4)若f(x)＝cosx，则f′(x)＝④________.(5)若f(x)＝ax，则f′(x)＝⑤________.(6)若f(x)＝ex，则f′(x)＝⑥________.(7)若f(x)＝logax则f′(x)＝⑦________.(8)若f(x)＝lnx，则f′(x)＝⑧________.第一章导数及其应用2．导数运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝⑨________.(2)[f(x)·g(x)]′＝⑩________.(3)[f(x)g(x)]′＝⑪________.第一章导数及其应用自我校对：①0②nxn－1③cosx④－sinx⑤axlna⑥ex⑦1xlna⑧1x⑨f′(x)±g′(x)⑩f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)⑪f′(x)g(x)－f(x)g′(x)g2(x)第一章导数及其应用1.下列结论正确的个数为()①y＝ln2，则y′＝12②y＝1x2，则y′|x＝3＝－227③y＝2x，则y′＝2xln2④y＝log2x，则y′＝1xln2第一章导数及其应用A．0B．1C．2D．3解析：①y＝ln2为常数，所以y′＝0，①错；②③④均正确，直接利用公式即可验证．答案：D第一章导数及其应用2．曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n等于()A．1B．2C．3D．4解析：y′|x＝2＝n·2n－1＝12，解得n＝3.答案：C第一章导数及其应用3．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y－1＝0，则()A．f′(x0)0B．f′(x0)0C．f′(x0)＝0D．f′(x0)不存在答案：B第一章导数及其应用4．函数y＝sinxx的导数为________．解析：y′＝(sinx)′x－sinx·(x)′x2＝xcosx－sinxx2.答案：xcosx－sinxx2第一章导数及其应用5．已知f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝x2＋cx＋d，又f(2x＋1)＝4g(x)，且f′(x)＝g′(x)，f(5)＝30，求g(4)．解：由f(2x＋1)＝4g(x)，得4x2＋2(a＋2)x＋(a＋b＋1)＝4x2＋4cx＋4d，由f′(x)＝g′(x)，得2x＋a＝2x＋c，∴a＝c.③由f(5)＝30，得25＋5a＋b＝30.④∴由①③可得a＝c＝2.于是有a＋2＝2c，①a＋b＋1＝4d.②第一章导数及其应用又由④，得b＝－5.再由②，得d＝－12.∴g(x)＝x2＋2x－12.故g(4)＝16＋8－12＝472.第一章导数及其应用1.对基本初等函数的导数公式的理解：(1)基本初等函数的求导公式只要求记住公式的形式，学会使用公式解题即可，对公式的推导不要求掌握．(2)要注意幂函数与指数函数的求导公式的区别，这是易错点．第一章导数及其应用2．对导数的运算法则的理解：(1)两个函数和(或差)的函数的求导法则设函数f(x)，g(x)是可导的，则[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)．(2)两个函数积的函数的求导法则设函数f(x)，g(x)是可导的，则[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．即两个函数积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数．第一章导数及其应用推论：常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数．即[cf(x)]′＝cf′(x)．(3)两个函数商的函数的求导法则设函数f(x)，g(x)是可导的，且g(x)≠0，则[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)－f(x)g′(x)[g(x)]2，特别地，当f(x)＝1时，有[1g(x)]′＝－g′(x)[g(x)]2.第一章导数及其应用例1求下列函数的导数．(1)y＝tanx；(2)y＝3x2＋x·cosx；(3)y＝(x－2)2－sinx2·cosx2.第一章导数及其应用[分析]求函数的导数主要有直接求导和先变形然后再求导两种方法，要注意正确区分．[解](1)y′＝(tanx)′＝(sinxcosx)′＝(sinx)′cosx－sinx(cosx)′(cosx)2＝cos2x＋sin2x(cosx)2＝1cos2x.(2)y′＝(3x2＋x·cosx)′＝(3x2)′＋(x·cosx)′＝6x＋x′·cosx＋x·(cosx)′＝6x＋cosx－xsinx.(3)y′＝[(x－2)2－sinx2·cosx2]′＝[(x－2)2]′－(12sinx)′＝(x－4x＋4)′－12cosx＝1－2x－12cosx.第一章导数及其应用[点拨]理解和掌握求导法则和公式的结构是灵活进行求导运算的前提条件，当函数解析式较为复杂时，应先变形，然后求导，当函数解析式不能直接用公式时，也要先变形，使其符合公式形式．第一章导数及其应用练1求下列函数的导数：(1)y＝6x；(2)y＝log3x；(3)y＝3x4＋2x3＋5；(4)y＝sinx＋tanx.[解](1)∵y＝6x＝x16，∴y′＝(x16)′＝16x16－1＝16x－56.(2)y′＝(log3x)′＝1xln3.第一章导数及其应用(3)y′＝(3x4＋2x3＋5)′＝12x3＋6x2.(4)y′＝(sinx＋tanx)′＝(sinx)′＋(sinxcosx)′＝cosx＋(sinx)′cosx－sinx(cosx)′cos2x＝cosx＋cosx·cosx＋sinx·sinxcos2x＝cosx＋1cos2x.第一章导数及其应用例2已知f′(x)是一次函数，x2·f′(x)－(2x－1)·f(x)＝1对一切x∈R恒成立，求f(x)的解析式．[分析]根据f′(x)为一次函数，可设f(x)的解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，然后利用对一切x∈R方程恒成立，转化为关于a，b，c的方程组，即可求出f(x)的解析式．第一章导数及其应用[解]由f′(x)为一次函数可知f(x)为二次函数，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b，把f(x)，f′(x)代入方程得x2(2ax＋b)－(2x－1)·(ax2＋bx＋c)＝1，即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0，又对一切x∈R方程恒成立，所以a－b＝0，b－2c＝0，c－1＝0，解得a＝2，b＝2，c＝1，所以f(x)＝2x2＋2x＋1.第一章导数及其应用[点拨]待定系数法就是用设未知数的方法分析所要解决的问题，然后利用已知条件解出所设未知数，进而将问题解决．待定系数法常用来求函数解析式，特别是已知具有某些特征的函数．第一章导数及其应用练2求满足下列条件的函数f(x)．(1)f(x)是二次函数，且f(0)＝4，f′(0)＝－1，f′(1)＝7；(2)f′(x)是二次函数，(x2＋1)f′(x)－(3x＋1)f(x)＝5.[解](1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.由f(0)＝4，得c＝4.由f′(0)＝－1，得b＝－1.由f′(1)＝7，得2a＋b＝7，得a＝4，所以f(x)＝4x2－x＋4.第一章导数及其应用(2)由f′(x)为二次函数可知f(x)为三次函数，设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.把f(x)、f′(x)代入方程得(x2＋1)(3ax2＋2bx＋c)－(3x＋1)(ax3＋bx2＋cx＋d)＝5，即(－a－b)x3＋(3a－b－2c)x2＋(2b－c－3d)x＋c－d－5＝0.要使对任意x方程都成立，则需－a－b＝0，3a－b－2c＝0，2b－c－3d＝0，c－d－5＝0.第一章导数及其应用解得a＝32，b＝－32，c＝3，d＝－2.所以f(x)＝32x3－32x2＋3x－2.第一章导数及其应用例3已知曲线C：y＝3x4－2x3－9x2＋4.(1)求曲线C在点(1，－4)的切线方程；(2)对于(1)中的切线与曲线C是否还有其他公共点？若有，求出公共点；若没有，说明理由．[分析](1)利用导数的几何意义和导数的运算法则，求出切线的斜率，由点斜式写出切线的方程．(2)将切线方程与曲线C的方程联立，看是否还有其他解即可．第一章导数及其应用[解](1)y′＝12x3－6x2－18x，y′|x＝1＝－12，所以曲线过点(1，－4)的切线斜率为－12，所以所求切线方程为y＋4＝－12(x－1)，即y＝－12x＋8.整理得3x4－2x3－9x2＋12x－4＝0.x3(3x－2)－(3x－2)2＝0，(3x－2)(x3－3x＋2)＝0，即(x＋2)(3x－2)(x－1)2＝0.(2)设与曲线C还有其他公共点，于是由y＝3x4－2x3－9x2＋4，y＝－12x＋8.第一章导数及其应用[点拨](2)是存在性问题，先假设存在，通过推理、计算，看能否得出正确的结果，然后下结论，本题的难点在于对式子的恒等变形．所以x＝－2，x＝23，x＝1.即除切点外还有交点(－2,32)和(23，0)．第一章导数及其应用练3在曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，求斜率最小的切线方程．[解]y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3，∴当x＝－1时，切线的斜率最小，最小斜率为3，此时，y＝(－1)3＋3×(－1)2＋6×(－1)－10＝－14，切点为(－1，－14)．∴切线方程为y＋14＝3(x＋1)，即3x－y－11＝0.第一章导数及其应用1.函数y＝(3x－4)2的导数是()A．4(3x－2)B．6xC．6x(3x－4)D．6(3x－4)解析：∵y′＝[(3x－4)2]′＝2(3x－4)·3＝6(3x－4)．答案：D第一章导数及其应用2．函数y＝2sin3x的导数是()A．2cos3xB．－2cos3xC．6sin3xD．6cos3x解析：∵y′＝(2sin3x)′＝2cos3x·(3x)′＝6cos3x.答案：D第一章导数及其应用答案：D第一章导数及其应用4．函数y＝2x2＋1的导数为________．第一章导数及其应用5．求下列函数的导数．(1)y＝3x－x2；(2)y＝ln(x＋2)；(3)y＝e2x＋1；(4)y＝sin(π4－3x)．解：(1)设y＝u，u＝3x－x2，则yx′＝yu′·ux′＝12u·(3－2x)＝3－2x23x－x2.第一章导数及其应用(2)设y＝lnu，u＝x＋2，则yx′＝yu′·ux′＝1u·1＝1x＋2.(3)设y＝eu，u＝2x＋1，则yx′＝yu′·ux′＝eu·2＝2e2x＋1.(4)设y＝sinu，u＝π4－3x，则yx′＝yu′·ux′＝cosu·(－3)＝－3cos(π4－3x)．第一章导数及其应用求复合函数导数特别注意以下几点：(1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当选择中间变量．(2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的系数．如(sin2x)′＝2cos2x，而(sin2x)′≠cos2x.第一章导数及其应用(3)根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数．如求y＝sin(2x＋π3)的导数．设y＝sinu，u＝2x＋π3，则y′x＝y′u·u′x＝cosu·2＝2cosu＝2cos(2x＋π3)．(4)复合函数的求导熟练后，中间步骤可省略不写.第一章导数及其应用例1说出下列函数分别由哪几个函数复合而成．第一章导数及其应用[分析]解决复合关系问题的关键是正确分析函数的复合层次．[解](1)y＝2u，u＝x2＋x；(2)y＝log3u，u＝v，v＝x2＋1；(3)y＝2u，u＝sinv，v＝2x＋π4；(