导数及其应用同步练习题(教师版)

1导数及其应用同步练习题一、选择题1．函数216xxy的极大值为（）A.3B.4C.2D.5【答案】A【解析】2222226(1)626(1)(1)(1)xxxxyxx,121,1xx,当x=1时，y取得极大值，极大值为3y.2．函数xylnx的单调递减区间是（）A.(),1e)B.(),1e)C.（,e）D.（0，e1）【答案】D【解析】试题分析：函数定义域0,，lnln1yxxyx，令0y得10xe，所以减区间为10,e考点：函数单调性点评：判定函数单调性先求定义域，然后由导数小于零求得减区间，由导数大于零求得增区间3．函数22(2)yxx取得最大值时x的值是（）A．1B．1C．1D．2【答案】C【解析】解：因为223(2)'444(1)(1)yxxyxxxxx，可知当y’0时，和y’0时的解集，进而得到极值，从而得到最值，可知在x=1时，取得最大值。选C4．已知函数)(xfy，其导函数)('xfy的图象如下图，则对于函数)(xfy的描述正确的是（）A.在)0,(上为减函数B.在0x处取得最大值C.在),4(上为减函数D.在2x处取得最小值【答案】C【解析】由)('xfy的图象可知f(x)在x=2处取得极小值，在x=0,x=4处取得极大值，在),4(上为减函数.5．函数3()33fxxbxb在(0,1)内有极小值，则（）A．01bB．1bC．0bD．12b【答案】A【解析】试题分析：先对函数f（x）进行求导，然后令导函数等于0，由题意知在（0，1）内必有根，从而得到b的范围。解：因为函数在（0，1）内有极小值，所以极值点在（0，1）上．令f'（x）=3x2-3b=0，得x2=b，显然b＞0，∴x=±b，又∵x∈（0，1），∴0＜b＜1．∴0＜b＜1，故选A．2考点：导数的运用点评：本题主要考查应用导数解决有关极值与参数的范围问题6．函数3()2fxxax在区间[1,)内是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[3,)B．[3,)C．(3,)D．(,3)【答案】B【解析】试题分析：根据题意，由于3()2fxxax在区间[1,)内是增函数，则说明22'()303fxxaax区间[1,)内是恒成立，则只要a大于函数的最大值即可，结合二次函数的性质可知当x=1时，函数取得最大值-3，因此可知实数a的取值范围是[3,)，选B.考点：函数的单调性点评：解决的关键是能够利用导数恒大于等于零来说明函数的单调性，从而利用分离参数的思想来得到结论，属于基础题。7．函数93)(23xaxxxf，已知)(xf在3x时取得极值，则a=（）A.2B.3C.4D.5【答案】D【解析】解：对函数求导可得，f′（x）=3x2+2ax+3∵f（x）在x=-3时取得极值∴f′（-3）=0⇒a=5故答案为：选D8．函数xexxf)3()(的单调递减区间是()A.)2,(B.)3,0(C.)4,1(D.),2(【答案】A【解析】解：因为xxxxf(x)(x3)ef'(x)e(x3)ee(x2)f'(x)0x2因此递减区间为)2,(，选A9．函数32()6(,)fxaxxx+在上既有极大值又有极小值，则a的取值范围为（）(A)0a(B)0a(C)13a(D)31a【答案】D【解析】解：因为函数32()6(,)fxaxxx+在上既有极大值又有极小值所以21'()321041203fxaxxaa+10．函数)(xf的定义域为开区间),(ba，导函数)(xf在),(ba内的图象如图所示，则函数)(xf在开区间),(ba内极值点有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3【答案】C【解析】解：由导函数图像可知，图像穿过x轴3次，说明有3个极值点，选C11．函数)0(3)(3abaxxxf的极大值为6,极小值为2,则)(xf的减区间（）A.（-1，1）B.（0，1）C.（-1，0）D.（-2，-1）【答案】：A【解析】：函数)0(3)(3abaxxxf的极大值为6,极小值为2,则有'2()330fxxa，xa，可以得到()fx在(,),(,),aa为增函数，在(,)aa上为减函数，因此xa取极大值，xa取极小值，解得4b，1a，减区间为（-1，1）12．已知函数5)63()(23xaaxxxf有极大值和极小值，则a的取值范围是（）A．3a6B．1a3C．a3或a6D．a1或a3【答案】C【解析】f(x)有极大值和极小值,2()3236fxxaxa则2443(36)0aa，所以a3或a6。二、填空题13．3()31fxxx在[-2,2]上的最大值是．【答案】3【解析】2()330,1,1fxxxx,(1)3,(1)1,(2)1,(2)3ffff.所以最大值为3.14．当]1,1[x时，函数xexxf2)(的值域是.【答案】[0,e]【解析】22222()xxxxxexexxfxee,()fx在区间(1,0)上是减函数，f(x)在区间(1,2)上是增函数，所以当x=0,f(x)取得最小值0.因为f(-1)=e,f(1)=1e,显然最大值为e,所以f(x)的值域为[0,e].15．函数y＝13x3－ax2＋x－2a在R上不是单调函数，，则a的取值范围是________．【答案】(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】试题分析：函数导数221yxax，因为函数在R上不是单调函数，所以导数值有正有负，即导函数221yxax与x轴有两个交点01a或1a考点：函数单调性点评：本题通过函数导数判定函数单调性，在R上不是单调函数，则存在极值点，即存在导数值大于零和小于零的情况16．已知函数3227yxaxbx在1x处有极大值，在3x处有极小值，则ab【答案】3；9【解析】略17．若函数32()4fxxxax在区间1,1恰有一个极值点，则实数a的取值范围为【答案】[1,5)【解析】解：因为函数32()4fxxxax在区间1,1恰有一个极值点，则说明了2()32‘fxxxa=0在区间1,1只有一个实数根，借助于二次函数图像可知实数a的4取值范围为[1,5)18．函数1)(23mxxxxf是R上的单调函数，则m的取值范围是：【答案】),31[【解析】略19．若函数1)(23axxxg在区间2,1上单调递减，则实数a的取值范围是_____________.【答案】3a【解析】32?2max()11,2()320232363gxxaxgxxaxaxaxa在上单减，则恒成立，恒成立，即（）20．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值为____________.【答案】9【解析】解：∵f′（x）=12x2-2ax-2b，又因为在x=1处有极值∴a+b=6∵a＞0，b＞0，∴ab≤(a+b2)2=9，当且仅当a=b=3时取等号，所以ab的最大值等于9三、解答题21．设函数842)(23xxxxf。（Ⅰ）求)(xf的极大值点与极小值点；（Ⅱ）求)(xf在区间]0,5[上的最大值与最小值。【答案】解：（Ⅰ）443)(2xxxf。令0)(xf，解得2,3221xx。1分∵)(xf的单调递增区间)32,2(，单调递减区间)2,(，),32(。2分∴)(xf的极大值点x32，极小值点2x。3分（Ⅱ）列表x5)2,5(2)0,2(0)(xf－0＋)(xf↘极小值↗5分当0x时，8)0(f，当2x时，0)2(f，当5x时，63)5(f。∴在区间]0,5[上的最大值为63，最小值为0。7分【解析】本试题主要是考查了函数的极值和最值问题的运用。（1）先求解导数，然后判定函数的单调性，利用极值的概念可知道饿到第一问的结论。（2）在第一问的基础上，进一步比较端点值的函数值域极值的大小关系得到最值。22．已知函数32yaxbx，当1x时，有极大值3（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间；5（3）求此函数在[-2，2]上的最大值和最小值。【答案】（1）2396)(xxxf；（2）增区间为)1,0(，减区间为),1(),0,(；(3)12)(,84)2()(minmaxxffxf【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中极值和最值的问题的运用。解：（1）bxaxxf23)(2'，由题意知3)1(,0)1('ff………（2分）3023baba，解得96ba，2396)(xxxf……………（3分）（2）)1(181818)(2'xxxxxf当10x时，0)('xf，)(xf的单调递增区间为)1,0(当10xx或时，0)('xf，)(xf的单调递减区间为),1(),0,(………（7分）（3）当0x时，0)0()(fxf极小值，当1x时，3)1()(fxf极大值又12)2(,84)2(ff,12)(,84)2()(minmaxxffxf。……（10分）23．已知函数3()fxaxbxc在1x处取得极值4c.(1)求,ab;(2)设函数()yfx为R上的奇函数,求函数()fx在区间(2,0)上的极值.【答案】(1)26ab（2）()fx在1x处有极大值(1)264f无极小值.【解析】试题分析：∵2()3fxaxb(1)∴(1)4(1)0fcf∴430abccab∴26ab（2）因为其为奇函数∴3()26fxxx∴2()666(1)(1)fxxxx令()0fx∴1x或1∵(2,0)x∴1x∴当(2,1),()0xfx(1,0),()0xfx∴()fx在1x处有极大值(1)264f无极小值.考点：本题主要考查应用导数研究函数的单调性、极值。点评：中档题，本题属于导数应用中的基本问题，通过研究导数的正负，明确函数的单调性。判断函数的驻点是何种类型的极值点。24．已知函数32()fxxaxbxc在23x与1x时都取得极值.6(1)求,ab的值；(2)求函数()fx的单调区间.【答案】解：（1）a=－12，b=－2.（2）递增区间是2(,)3与(1,),递减区间是2(,1)3【解析】第一问，利用函数32()fxxaxbxc在23x与1x时都取得极值.得到两个导数值为零，然后利用求解后的解析式，代入原式中，研究函数的单调性。令0)('xf，得132xx或当时0)('xf，132xx或，当时0)('xf，132x解：（1）3222f(x)xaxbxcf'(x)3x2axb2f(x)x=-x=132124f(-)=0=f(1)=0=3+2a+b=03931a,b2622f'(x)3x-x-2=(3x+2)(x-1)8在和处取得极值，因此则有’-a+b=0且’分（）分令0)('xf，得132xx或当时0)('xf，132xx或当时0)('xf，132x………………………10分所以函数()fx的递增区间是2(,)3与(1,),递减区间是2(,1)3；……………………12分25．已