导数及其应用测试题(有详细答案)

《导数及其应用》一、选择题1.0()0fx是函数fx在点0x处取极值的:A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2、设曲线21yx在点))(,(xfx处的切线的斜率为()gx，则函数()cosygxx的部分图象可以为A.B.C.D.3．设()fx是函数()fx的导函数，将()yfx和()yfx的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）4.若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－15．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a等于()A．2B．3C．4D．56.设函数fx的导函数为fx，且221fxxxf，则0f等于()A、0B、4C、2D、27.直线yx是曲线lnyax的一条切线，则实数a的值为()A．1B．eC．ln2D．18.若函数)1,1(12)(3kkxxxf在区间上不是单调函数，则实数k的取值范围（）A．3113kkk或或B．3113kk或C．22kD．不存在这样的实数k9.函数fx的定义域为,ab，导函数fx在,ab内的图像如图所示，则函数fx在,ab内有极小值点()A．1个B．2个C．3个D．4个10.已知二次函数2()fxaxbxc的导数为'()fx，'(0)0f，对于任意实数x都有()0fx，则(1)'(0)ff的最小值为()A．3B．52C．2D．32二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）11.函数sinxyx的导数为_________________12、已知函数223)(abxaxxxf在x=1处有极值为10，则f(2)等于____________.13．函数2cosyxx在区间[0,]2上的最大值是14．已知函数3()fxxax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是15.已知函数)(xf是定义在R上的奇函数，0)1(f，0)()(2xxfxfx）（0x，则不等式0)(2xfx的解集是三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.设函数32()2338fxxaxbxc在1x及2x时取得极值．（1）求a、b的值；（2）若对于任意的[03]x，，都有2()fxc成立，求c的取值范围．17.已知函数32()233.fxxx（1）求曲线()yfx在点2x处的切线方程；（2）若关于x的方程0fxm有三个不同的实根，求实数m的取值范围.OxxxxyyyyOOO18.设函数Rxxxxf,56)(3.（1）求)(xf的单调区间和极值；（2）若关于x的方程axf)(有3个不同实根，求实数a的取值范围.（3）已知当)1()(,),1(xkxfx时恒成立，求实数k的取值范围.19.（本题满分12分）已知函数()lnfxxx.（Ⅰ）求()fx的最小值；（Ⅱ）若对所有1x都有()1fxax，求实数a的取值范围.20.已知Raxxaaxxf14)1(3)(23（1）当1a时，求函数的单调区间。（2）当Ra时，讨论函数的单调增区间。（3）是否存在负实数a，使0,1x，函数有最小值－3？21.已知函数2afxxx，lngxxx，其中0a．（1）若1x是函数hxfxgx的极值点，求实数a的值；（2）若对任意的12,1xxe，（e为自然对数的底数）都有1fx≥2gx成立，求实数a的取值范围．《导数及其应用》参考答案一、选择题：题号12345678910答案DADADBDBAC二、填空题：11.2cossin'xxxyx；12.1813.36；14.}0|{aa；15.),1()0,1(三、解答题16.解：（1）2()663fxxaxb，因为函数()fx在1x及2x取得极值，则有(1)0f，(2)0f．即6630241230abab，．解得3a，4b．（2）由（Ⅰ）可知，32()29128fxxxxc，2()618126(1)(2)fxxxxx．当(01)x，时，()0fx；当(12)x，时，()0fx；当(23)x，时，()0fx．所以，当1x时，()fx取得极大值(1)58fc，又(0)8fc，(3)98fc．则当03x，时，()fx的最大值为(3)98fc．因为对于任意的03x，，有2()fxc恒成立，所以298cc，解得1c或9c，因此c的取值范围为(1)(9)，，．.17.解（1）2()66,(2)12,(2)7,fxxxff………………………2分∴曲线()yfx在2x处的切线方程为712(2)yx，即12170xy；……4分（2）记322()233,()666(1)gxxxmgxxxxx令()0,0gxx或1.…………………………………………………………6分则,(),()xgxgx的变化情况如下表x(,0)0(0,1)1(1,)()gx00()gx极大极小当0,()xgx有极大值3;1,()mxgx有极小值2m.………………………10分由()gx的简图知，当且仅当(0)0,(1)0gg即30,3220mmm时，函数()gx有三个不同零点，过点A可作三条不同切线.所以若过点A可作曲线()yfx的三条不同切线，m的范围是(3,2).…………14分18.解:（1）2,2,0)(),2(3)(212xxxfxxf得令…………………1分∴当22()0;22,()0xxfxxfx或时,当时，…………………2分∴)(xf的单调递增区间是(,2)(2,)和，单调递减区间是)2,2(……3分当245)(,2有极大值xfx；当245)(,2有极小值xfx.…………4分（2）由（1）可知)(xfy图象的大致形状及走向（图略）∴当)(,245245xfyaya与直线时的图象有3个不同交点，……6分即当542542a时方程)(xf有三解.…………………………………7分（3）)1()5)(1()1()(2xkxxxxkxf即∵),1(5,12在xxkx上恒成立.…………………………………………9分令5)(2xxxg，由二次函数的性质，),1()(在xg上是增函数，∴,3)1()(gxg∴所求k的取值范围是3k……………………………………12分19.解析：()fx的定义域为0(，+)，…………1分()fx的导数()1lnfxx.………………3分令()0fx，解得1ex；令()0fx，解得10ex.从而()fx在10e，单调递减，在1e，+单调递增.………………5分所以，当1ex时，()fx取得最小值1e.…………………………6分（Ⅱ）解法一：令()()(1)gxfxax，则()()1lngxfxaax，……………………8分①若1a，当1x时，()1ln10gxaxa，故()gx在(1)，+上为增函数，所以，1x时，()(1)10gxga，即()1fxax.……………………10分②若1a，方程()0gx的根为10eax，此时，若0(1)xx，，则()0gx，故()gx在该区间为减函数.所以0(1)xx，时，()(1)10gxga，即()1fxax，与题设()1fxax相矛盾.……………………13分综上，满足条件的a的取值范围是(1]，.……………………………………14分解法二：依题意，得()1fxax在[1)，上恒成立，即不等式1lnaxx对于[1)x，恒成立.……………………8分令1()lngxxx，则21111()1gxxxxx.……………………10分当1x时，因为11()10gxxx，故()gx是(1)，上的增函数，所以()gx的最小值是(1)1g，………………13分所以a的取值范围是(1]，.…………………………………………14分20.（1）,2,x或,,2x)(xf递减;,2,2x)(xf递增;（2）1、当,0a,2,x)(xf递增;2、当,0a,2,2ax)(xf递增;3、当,10a,2,x或,,2ax)(xf递增;当,1a,,x)(xf递增;当,1a,2,ax或,,2x)(xf递增;（3）因,0a由②分两类（依据：单调性，极小值点是否在区间[-1,0]上是分类“契机”：1、当,2,12aa,2,20,1ax)(xf递增，3)1()(minfxf，解得,243a2、当,2,12aa由单调性知：3)2()(minafxf，化简得：01332aa，解得,26213a不合要求；综上，43a为所求。21.（1）解法1：∵22lnahxxxx，其定义域为0，，∴2212ahxxx．∵1x是函数hx的极值点，∴10h，即230a．∵0a，∴3a．经检验当3a时，1x是函数hx的极值点，∴3a．解法2：∵22lnahxxxx，其定义域为0，，∴2212ahxxx．令0hx，即22120axx，整理，得2220xxa．∵2180a，∴0hx的两个实根211184ax（舍去），221184ax，当x变化时，hx，hx的变化情况如下表：x20,x2x2,xhx—0＋hx极小值依题意，211814a，即23a，∵0a，∴3a．（2）解：对任意的12,1xxe，都有1fx≥2gx成立等价于对任意的12,1xxe，都有minfx≥maxgx．当x［1，e］时，110gxx．∴函数lngxxx在1e，上是增函数．∴max1gxgee．∵2221xaxaafxxx，且1,xe，0a．①当01a且x［1，e］时，20xaxafxx，∴函数2afxxx在［1，e］上是增函数，∴2min11fxfa.由21a≥1e，得a≥e，又01a，∴a不合题意．②当1≤a≤e时，若1≤x＜a，则20xaxafxx，若a＜x≤e，则20xaxafxx．∴函数2afxxx在1,a上是减函数，在ae，上是增函数．∴min2fxfaa.由2a≥1e，得a≥12e，又1≤a≤e，∴12e≤a≤e．③当ae且x［1，e］时，20xaxafxx，∴函数2afxxx在1e，上是减函数．∴2minafxfeee.由2aee≥1e，得a≥e，又ae，∴ae．综上所述，a的取值范围为1,2e