导数和极值20141224

函数的极值与导数银川唐徕回民中学高二（10）班aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)0f'(x)0函数单调性与导数关系如果在某个区间内恒有,则为常数.0)(xf)(xf设函数y=f(x)在某个区间内可导，f(x)增函数；f(x)减函数．复习定义域R,f′(x)=x2-x=x(x-1)令x(x-1)0,得：x0或x1，则f(x)的增区间为（－∞，0）,（1，+∞）.令x(x-1)0,得：0x1,f(x)的减区间为(0,1).注意:求单调区间:1:首先注意定义域,2:其次区间不能用(U)连接.（第一步）解：（第二步）（第三步）单调区间27x21-x31f(x)23求函数例1、已知导函数的下列信息：'()fx当1x4时，0;当x4,或x1时，0;当x=4,或x=1时，=0.试画出函数f(x)图象的大致形状。'()fx'()fx'()fxO14xyy=f(x)临界点yxOabyf(x)x1f(x1)x2f(x2)x3f(x3)x4f(x4)在x1、x3处函数值f(x1)、f(x3)与x1、x3左右近旁各点处的函数值相比,有什么特点?f(x2)、f(x4)比x2、x4左右近旁各点处的函数值相比呢?观察图像：思考?函数的极值定义设函数f(x)在点x0附近有定义，•如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)；•如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)；oxyoxy0x0x◆函数的极大值与极小值统称为极值.(极值即峰谷处的值）使函数取得极值的点x0称为极值点极值点处导数值(即切线斜率）有何特点？问题yxO结论:极值点处，如果有切线，切线水平的.即:f(x)=0abyf(x)x1x2x3f(x1)=0f(x2)=0f(x3)=0思考：若f(x0)=0，则x0是否为极值点？xyO分析yx3是极值点吗？）（处，在，得由0,00'03)(',)(23xfxxxfxxff(x0)=0，是x0为极值点的必要不充分条件极值点两侧函数的单调性有何特点?极大值极小值即:极值点两侧单调性互异思考?f(x)0yxOx1abyf(x)极大值点两侧极小值点两侧f(x)0f(x)0f(x)0探究:极值点两侧导数正负符号有何规律?x2xxx2x2xx2f(x)f(x)xxx1x1xx1f(x)f(x)增f(x)0f(x)=0f(x)0极大值减f(x)0f(x)=0增减极小值f(x)0（1）f(x0)=0，x0不一定是极值点；(2）只有f(x0)=0且x0两侧单调性不同，x0才是极值点；(3)求极值点，可以先求f(x0)=0的点，再列表判断单调性.结论：极值点处，f(x)=0注意：例1求函数的极值．44xx31y3x(-∞，-2）-2(-2，2）2(2，+∞）y′y解：定义域为R，y′=x2-4，由y′=0可得：x=-2或x=2。当x变化时，y′,y的变化情况如下表：则当x=-2时，y极大值=28/3；当x=2时，y极小值=-4∕3．++0-0极大值28/3极小值-4∕3求可导函数f(x)极值的步骤：(2)求导数f’(x)；(3)求方程f’(x）=0的根；(4)把定义域划分为部分区间，并列成表格；检查f’(x)在方程根左右的符号——•如果左正右负（+~-），那么f(x)在这个根处取得极大值；•如果左负右正（-~+），那么f(x)在这个根处取得极小值．(1)确定函数的定义域；(5)结论．（5个步骤）练习1求函数f(x)=x3-12x+12的极值．解：=3x2-12=3(x-2)(x+2))(xf令=0)(xf得x=2,或x=-2x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)+0-0+f(x)单调递增↗28单调递减↘-4单调递增↗当x变化时，,f(x)的变化情况如下表；)(xf)(xf因此，当x=-2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(-2)=28当x=2时，f(x)有极小值，并且极小值为f(2)=-4．xyo1212)(3xxxf-22图象如图所示：练习2求函数f(x)=6+12x-x3的极值．=12-3x2=3(4-x2)=3(2-x)(2+x))(xfxyo-223126)(xxxfx(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)-0+0-f(x)↘-10↗22↘)(xf例2已知函数f(x)=ax3+bx2-2x在x=-2,x=1处取得极值：(1)求函数的解析式；(2)求函数f(x)的单调区间．解：(1)=3ax2+2bx-2)(xf因为f(x)在x=-2,x=1处取得极值，0)1(f,0)2(f则xxxxf22131)(23所以2131ba解得=3ax2+2bx-2)(xf022302412baba即f(x)=ax3+bx2-2x(2)=x2+x-2)(xf则f(x)的单调增区间为：(-∞,-2)和(1,+∞)f(x)的单调减区间为：(-2,1)）求极值（）求（处极值为在：若变式2)(1?ba,14,1xbxaxxxf239b6a,4b-a-10b-2a-34f(1)0(1)f';23)(')1(2解得所以由已知有baxxxf注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值．思考1.判断下面4个命题的真假性：①f(x0)=0,则f(x0)必为极值；②f(x)=在x=0处取极大值0；③函数的极小值一定小于极大值；④函数的极小值（或极大值）不会多于一个；⑤函数的极值即为最值．3x1)6()(23xaaxxxf有极大值和极小值,求a范围?思考2解析:f(x)有极大值和极小值f’(x)=0有2实根,0已知函数解得：a6或a3课堂小结如果在x0附近的左侧f’(x)0，右侧f’(x)0，则f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f’(x)0，右侧f’(x)0，则f(x0)是极小值．已知函数f(x)在点x0处是连续的，判断函数极值的方法：•导数为0的点不一定是极值点；•若极值点处的导数存在，则一定为0．左正右负为极大，右正左负为极小2个关键：①可导函数y=f(x)在极值点处的f’(x)=0。②极值点左右两边的导数必须异号。求可导函数f(x)极值的步骤：(2)求导数f’(x)；(3)求方程f’(x）=0的根；(4)把定义域划分为部分区间，并列成表格；检查f’(x)在方程根左右的符号——•如果左正右负（+~-），那么f(x)在这个根处取得极大值；•如果左负右正（-~+），那么f(x)在这个根处取得极小值．(1)确定函数的定义域；(5)结论．（5个步骤）布置作业P29练习2；P31A组2