导数在函数中的应用

导数在函数中的应用【学习目标】了解函数的单调性及在某点取得极值的必要条件和充分条件与导数的关系，会利用导数研究函数的单调性，会用导数求函数的极值和某闭区间上的最值．【基础检测】1．已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f′(x)的图象大致形状是()B【解析】从图上可以看出，二次函数f(x)在(－∞，0)上递增，f′(x)0，f(x)在(0，＋∞)上递减，f′(x)0.故选B.2．设函数f(x)＝2x＋lnx，则()A．x＝12为f(x)的极大值点B．x＝12为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点D【解析】利用导数法求解．∵f(x)＝2x＋lnx(x0)，∴f′(x)＝－2x2＋1x.由f′(x)＝0解得x＝2.当x∈(0，2)时，f′(x)0，f(x)为减函数；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)0，f(x)为增函数．∴x＝2为f(x)的极小值点．3．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是()C【解析】利用导函数与原函数的图象关系求解．∵f(x)在x＝－2处取得极小值，∴当x－2时，f(x)单调递减，∴当x－2时，y＝xf′(x)0；当x＝－2时，y＝xf′(x)＝0；当－2x0时，y＝xf′(x)0；当x＝0时，y＝xf′(x)＝0；当x0时，y＝xf′(x)0.结合选项中图象知选C.4．函数y＝xlnx的递减区间为()A．(0，e－1)B．(－∞，e－1)C．(e－1，＋∞)D．(e，＋∞)A【解析】y′＝lnx＋1，由于求递减区间，所以y′＝lnx＋10，解得0xe－1，递减区间为(0，e－1)，故选A.5．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()A．(－1，2)B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C．(－3，6)D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)【解析】f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为函数有极大值和极小值，所以f′(x)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4a2－4×3(a＋6)0，解得a－3或a6.B【知识要点】1．函数的单调性与导数设函数y＝f(x)在某区间(a，b)内可导，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.若x∈(a，b)，f′(x)≥0，则f(x)在区间(a，b)内为；若x∈(a，b)，f′(x)≤0，则f(x)在区间(a，b)内为．2．函数的极值与导数(1)函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在x＝a附近的其他点的函数值都小，f′(a)＝0，且在点x＝a附近的左侧，右侧，则点a叫做函数y＝f(x)的，f(a)叫做函数y＝f(x)的．增函数减函数f′(x)＜0f′(x)＞0极小值点极小值(2)函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在x＝a附近的其他点的函数值都大，f′(a)＝0，且在点x＝a附近的左侧，右侧，则点a叫做函数y＝f(x)的，f(a)叫做函数y＝f(x)的．3．函数的最值与导数若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则y＝f(x)在闭区间[a，b]上必存在最大值和最小值，且f(x)max＝max{f(a)，f极大值(x)，f(b)}，f(x)min＝min{f(a)，f极小值(x)，f(b)}．f′(x)＞0f′(x)＜0极大值点极大值一、利用导数研究函数的单调性例1已知函数f(x)＝lnx＋kex(k为常数，e＝2.71828…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)设g(x)＝(x2＋x)f′(x)，其中f′(x)为f(x)的导函数．证明：对任意x0，g(x)1＋e－2.【解析】(1)f′(x)＝1x－lnx－kex，由已知，f′(1)＝1－ke＝0，∴k＝1.(2)由(1)知，f′(x)＝1x－lnx－1ex.设k(x)＝1x－lnx－1，则k′(x)＝－1x2－1x0，即k(x)在(0，＋∞)上是减函数，由k(1)＝0知，当0x1时，k(x)0，从而f′(x)0，当x1时，k(x)0，从而f′(x)0.综上可知，f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，＋∞)．(3)由(2)可知，当x≥1时，g(x)＝xf′(x)≤0＜1＋e－2，故只需证明g(x)1＋e－2在0x1时成立．当0x1时，ex＞1，且g(x)0，∴g(x)＝（1＋x）（1－xlnx－x）ex.设F(x)＝1－xlnx－x，x∈(0，1)，则F′(x)＝－(lnx＋2)，当x∈(0，e－2)时，F′(x)0，当x∈(e－2，1)时，F′(x)0，所以当x＝e－2时，F(x)取得最大值F(e－2)＝1＋e－2.所以F(x)≤1＋e－2.设G(x)＝x＋1ex，则G′(x)＝ex－（x＋1）exe2x＝－xex.当x∈(0，1)时，G′(x)0，∴G(x)在(0，1)上单调递减．∴G(1)G(x)G(0)，即2eG(x)1.∴g(x)1＋e－2.综上，对任意x0，g(x)1＋e－2.【点评】利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)0或f′(x)0；②若已知f(x)的单调性求参数，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上的恒成立问题求解．二、利用导数研究函数的极值例2已知函数f(x)＝(x－a)lnx，a∈R.(1)当a＝0时，求函数f(x)的极小值；(2)若函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，求a的取值范围．【解析】(1)定义域为(0，＋∞)．当a＝0时，f(x)＝xlnx，f′(x)＝lnx＋1.令f′(x)＝0，得x＝1e.当x∈0，1e时，f′(x)0，f(x)为减函数；当x∈1e，＋∞时，f′(x)0，f(x)为增函数．∴函数f(x)的极小值为f1e＝－1e.(2)由已知，得f′(x)＝lnx＋x－ax.∵函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴f′(x)≥0对x∈(0，＋∞)恒成立．由f′(x)≥0，得lnx＋x－ax≥0，即xlnx＋x≥a对x∈(0，＋∞)恒成立．设g(x)＝xlnx＋x，要使“xlnx＋x≥a对x∈(0，＋∞)恒成立”，只要a≤g(x)min.∵g′(x)＝lnx＋2，令g′(x)＝0，得x＝1e2.当x∈0，1e2时，g′(x)0，g(x)为减函数；当x∈1e2，＋∞时，g′(x)0，g(x)为增函数；∴g(x)在(0，＋∞)上的最小值是g1e2＝－1e2.故函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数时，实数a的取值范围是－∞，－1e2.【点评】利用导数研究函数极值的一般步骤：(1)确定定义域；(2)求导函数f′(x)；(3)①若求极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检验f′(x)在方程根左右侧值的符号，求出极值(当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内)；②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况，从而求解．三、利用导数研究函数的最值例3已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－2.(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t0)上的最小值；(2)若函数y＝f(x)＋g(x)有两个不同的极值点x1，x2(x1x2)且x2－x1ln2，求实数a的取值范围．【解析】(1)由f′(x)＝lnx＋1＝0，可得x＝1e，①当0t1e时，函数f(x)在t，1e上单调递减，在1e，t＋2上单调递增，∴函数f(x)在[t，t＋2](t0)上的最小值为f1e＝－1e.②当t≥1e时，f(x)在[t，t＋2]上单调递增，∴f(x)min＝f(t)＝tlnt，∴f(x)min＝－1e，0t1e，tlnt，t≥1e.(2)y＝f(x)＋g(x)＝xlnx－x2＋ax－2，则y′＝lnx－2x＋1＋a，题意即为y′＝lnx－2x＋1＋a＝0有两个不同的实根x1，x2(x1x2)，即a＝－lnx＋2x＋1＋a＝0有两个不同的实根x1，x2(x1x2)，即a＝－lnx＋2x－1有两个不同的实根x1，x2(x1，x2)，等价于直线y＝a与函数G(x)＝－lnx＋2x－1的图象有两个不同的交点．∵G′(x)＝－1x＋2，∴G(x)在0，12上单调递减，在12，＋∞上单调递增，画出函数图象的大致形状(如图)．由图象知，当aG(x)min＝G12＝ln2时，x1，x2存在，且x2－x1的值随着a的增大而增大．而当x2－x1＝ln2时，由题意，得lnx1－2x1＋1＋a＝0，lnx2－2x2＋1＋a＝0，两式相减，得lnx1x2＝－2(x2－x1)＝－2ln2，∴x2＝4x1，代入上述方程可得x2＝4x1＝43ln2，此时a＝23ln2－lnln23－1，∴实数a的取值范围为23ln2－lnln23－1，＋∞.【点评】定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．1．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．2．当连续函数在开区间内的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点．3．求函数在闭区间上的最值，首先应判断函数在闭区间上的单调性，一般利用导数法判断．1．利用求导方法讨论函数的单调性要注意以下几个方面：①f′(x)＞0是f(x)递增的充分条件而非必要条件(f′(x)＜0亦是如此)；②求单调区间时，首先要确定定义域，然后再根据f′(x)＞0(或f′(x)＜0)解出x的范围；③在证明不等式时，首先要构造函数和确定定义域，其次运用求导的方法来证明．2．求函数的极值可分为以下几步：①求出可疑点，即f′(x)＝0的解x0与不可导的点；②用求极值的方法确定极值；③计算求值．3．函数的最值①连续函数f(x)在闭区间[a，b]上必有最大值与最小值；②最值的求法：先求f(x)在(a，b)上的极值，再将各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．4．极值与最值的区别和联系①函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的整体情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较；②函数的极值不一定是最值，须与端点函数值作比较方可确定是否为最值；③如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值(单峰函数)，则极大值即是(a，b)上的最大值，极小值即是(a，b)上的最小值．(2014湖南)已知函数f(x)＝xcosx－sinx＋1(x＞0)．(1)求f(x)的单调区间；(2)记xi为f(x)的从小到大的第i(i∈N*)个零点，证明：对一切n∈N*，有1x21＋1x22＋…＋1x2n＜23.【解析】(1)f′(x)＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.令f′(x)＝0，得x＝kπ(k∈N*)．当x∈(2kπ，(2k＋1)π)(k∈N)时，sinx＞0，此时f′(x)＜0；当x∈((2k＋1)π，(2k＋2)π)(k∈N)时，sinx＜0，此时f′(x)＞0.故f(x)的单调递减区间为(2kπ，(2k＋1)π)(k∈N)，单调递增区间为((2k＋1)π，(2k＋2)π)(k∈N)．(2)由(1)知，f(x)在区间(0，π)上单调递减．又fπ2＝0，故x1＝π2.当n∈N*时，因为f(nπ)f(