中考数学专题复习——线段和差的最小值问题

中考数学中的最短问题----线段和、差的最值问题学习目标•掌握线段和、差最值的求解方法。知识准备1、轴对称的性质；2、两点之间线段最短；3、垂线段最短；4、勾股定理；5、角、等腰三角形、特殊四边形、圆的轴对称性。AB如图，要在街道旁修建一个奶站P，向居民区A、B提供牛奶，奶站P应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？为什么？街道PP’ABA’P如图，要在街道旁修建一个奶站P，向居民区A、B提供牛奶，奶站P应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？为什么？街道P’求线段和最小值的一般步骤：②连结对称点A’与B之间的线段，交直线l于点P，点P即为所求的点，线段A’B的长就是AP+BP的最小值。①选点P所在直线l为对称轴；画出点A的对称点A’；BA’PLA基本图形:两点一线BB’PLA基本解法:利用对称性,将“折”转“直”出题背景变式有：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。解题思路：找点关于线的对称点，实现“折”转“直”。类型1：两个定点，一个动点如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_____________．ADCBMNPM’P’51、如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连结BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC称．连结ED交AC于P，则PB+PE的最小值等于线段_____的长度，最小值等于_________；2、小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，建立了如图1所示的平面直角坐标系，测得A点的坐标为（0，3），B点的坐标为（6，5），求从A、B两点到奶站P距离之和的最小值。练习xy街道旁图1ABoA’PCBAEPDCDE53、如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P线段EF上一个动点，连接BP、GP，则（1）PB+PG的最小值是（2）△BPG周长的最小值是。FEPGCBAP’324、已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点C是半圆的三等份点，点D是弧BC的中点，AB上有一动点P，连接PC，PD，则PC+PD的最小值是多少？并画出点P的位置.ABCOPDD’P’类型2：两个动点，一个定点（陕西省）如图3，在锐角△ABC中，AB=，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是_________．ABCDNMN′图3241、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）A、1B、C、2D、+1AQBPKCDP’Q’K’BE练习：类型3：多条线段和最小如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（2,4），点B的坐标是（6,2），在y轴和x轴上找两点P、Q，使得A，B，P，Q四点组成的四边形周长最小，请画出示意图，并求出P、Q两点的坐标。B’A’P’Q’.PQ.练习：著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km,A、B到直线X的距离分别为10km和40km,拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图5所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km,请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q,使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.B1A1QYXPOBAC图5类型4：先平移，再对称如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.••（2）如图13，作点D关于x轴的对称点，在CB边上截取CG=2，连接G与x轴交于点E，在EA上截EF=2.因为GC∥EF，GC=EF，所以四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF.•又DC、EF的长为定值，所以此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小.•因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4,D为OB的中点，CG=2,所以BC=3，DO=O=2,BG=1.•所以点G的坐标为（1，4），点的坐标为（0，-2），设直线G的解析式为y=kx+b，则，解得k=6，b=-2，所以函数的解析式为y=6x-2，令y=0，则x=，所以点E的坐标为（，0）,所以点F的坐标为（+2，0）即F的坐标为（，0）练习看这样一题：要在一条河上架一座桥（桥须与河岸垂直，两河岸平行），请提供一种设计方案，使从A地到B地的路径最短，请说明理由。AB如图，已知二次函数y=ax2-4x+c的图象与坐标轴交于点A（-1，0）点B（0，-5）点C．(I)已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使三角形PAB的周长最小，求出点P的坐标。（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点F，使FC-FB值最大．请求出点F的坐标．xOAByPC类型5：线段差的最大值拓展如图，在直角坐标系XOY中，X轴上的动点M（x，0）到定点P（5，5）和到Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，那么当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标x=__________________。(5,5)(2,1)YXOQP123456-1-1123456(5,5)(2,1)YXMOQPQ1123456-1-1123456变式应用求函数y=+最小值。2610xx2634xx小结升华不管在什么背景下，有关线段和、差最值问题，大都借助于“轴对称”，实现“折”转“直”本节课学习的主题问题，解题思路：线段和、差的最值数学思想：转化思想当堂检测1、如图⊙O的半径为2，点A,B,C在⊙O上，，，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；A′ABCPO图2OAOB60AOC°2、如图4所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为.3、如图4，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．P2P1OABPRQO图44、如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.5、如图1，在直角坐标系中，点A，B，C坐标分别为（－1，0），（3，0），（0，3），过A，B，C三点的抛物线的对称轴为直线，D为对称轴上一动点．求当DB-DC最大时，点D的坐标．图16、（2010江苏扬州）如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．1717217174171787、已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为（）A、B、C、D、3APDBC.