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第6讲┃一次方程(组)及其应用第6讲┃考点聚焦考点聚焦考点1等式的概念与等式的性质等式的概念表示________关系的式子，叫做等式性质1等式两边加(或减)同一个数或同一个整式所得的结果仍相等．如果a＝b，那么a±c＝b±c等式的性质性质2等式两边都乘(或除以)同一个数(除数不为0)所得的结果仍是等式．如果a＝b，那么ac＝bc，ac＝bc(c≠0)相等第6讲┃考点聚焦考点2方程及相关概念方程的概念含有未知数的等式叫做方程方程的解使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，也叫它的根解方程求方程解的过程叫做解方程考点3一元一次方程的定义及解法第6讲┃考点聚焦定义只含有________个未知数，且未知数的最高次数是________次的整式方程，叫做一元一次方程一般形式________________一一ax＋b＝0(a≠0)第6讲┃考点聚焦解一元方程的一般步骤(1)去分母在方程两边都乘各分母的最小公倍数，注意别漏乘(2)去括号注意括号前的系数与符号(3)移项把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到另一边，注意移项要改变符号(4)合并同类项把方程化成ax＝b(a≠0)的形式(5)系数化为1方程两边同除以x的系数，得x＝的形式ba考点4二元一次方程组的有关概念第6讲┃考点聚焦二元一次方程含有两个未知数，并且所含有未知数的项的次数都是1的整式方程二元一次方程的解定义适合一个二元一次方程的每一组未知数的值，叫做二元一次方程的一个解．任何一个二元一次方程都有无数组解定义二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解二元一次方程组的解防错提醒二元一次方程组的解应写成x＝a，y＝b的形式考点5二元一次方程组的解法第6讲┃考点聚焦代入法定义在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法防错提醒在用代入法求解时，能正确用其中一个未知数去表示另一个未知数加减法两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法考点6一次方程(组)的应用第6讲┃考点聚焦列方程(组)解应用题的一般步骤1.审审清题意，分清题中的已知量、未知量2.设设未知数，设其中某个未知量为x，并注意单位．对于含有两个未知数的问题，需要设两个未知数3.列根据题意寻找等量关系列方程4.解解方程(组)5.验检验方程(组)的解是否符合题意6.答写出答案(包括单位)考点7常见的几种方程类型及等量关系第6讲┃考点聚焦基本量之间的关系路程＝速度×时间相遇问题全路程＝甲走的路程＋乙走的路程追及问题若甲为快者，则被追路程＝甲走的路程－乙走的路程行程问题流水问题v顺＝v静＋v水，v逆＝v静－v水基本量之间的关系工作效率＝工作总量工作时间工程问题其他常用关系量(1)甲、乙合做的工作效率＝甲的工作效率＋乙的工作效率；(2)通常把工作总量看作“1”第6讲┃归类示例归类示例►类型之一等式的概念及性质命题角度：1.等式及方程的概念；2.等式的性质．例1如图①，在第一个天平上，砝码A的质量等于砝码B加上砝码C的质量；如图②，在第二个天平上，砝码A加上砝码B的质量等于3个砝码C的质量．请你判断：1个砝码A与________个砝码C的质量相等．图6－1图6－12第6讲┃归类示例第6讲┃归类示例(1)当天平的左右两边质量相等时，天平处于平衡状态，即为等量关系；(2)利用等式性质，等式两边同除以同一个数时，一定要注意此数不为0.►类型之二一元一次方程的解法命题角度：1．一元一次方程及其解的概念；2．解一元一次方程的一般步骤．第6讲┃归类示例例2[2011·滨州]依据下列解方程0.3x＋0.50.2＝2x－13的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据．第6讲┃归类示例分式的基本性质等式性质2等式性质1去括号法则或乘法分配律移项合并同类项系数化为1等式性质2解：原方程可变形为3x＋52＝2x－13；(____________)去分母，得3(3x＋5)＝2(2x－1)；()去括号，得9x＋15＝4x－2；(____________________)(__________)，得9x－4x＝－15－2；(__________)合并，得5x＝－17；(________)(__________)，得x＝－175.(____________)►类型之三二元一次方程(组)的有关概念第6讲┃归类示例C命题角度：1．二元一次方程(组)的概念；2．二元一次方程(组)的解的概念[2012·菏泽]已知x＝2，y＝1是二元一次方程组mx＋ny＝8，nx－my＝1的解，则2m－n的算术平方根为()A．±2B.2C．2D．4例3第6讲┃归类示例►类型之四二元一次方程组的解法命题角度：1．代入消元法；2．加减消元法．第6讲┃归类示例例4[2012·南京]解方程组：x＋3y＝－1，3x－2y＝8.第6讲┃归类示例(1)在二元一次方程组中，若一个未知数能很好地表示出另一个未知数时，一般采用代入法．(2)当两个方程中的某个未知数的系数相等或互为相反数时，或者系数均不为1时，一般采用加减消元法．第6讲┃归类示例►类型之五利用一次方程(组)解决生活实际问题命题角度：1．利用一元一次方程解决生活实际问题；2．利用二元一次方程组解决生活实际问题．第6讲┃归类示例例5[2012·无锡]某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购．投资者可以在以下两种购铺方案中作出选择：方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可获得的租金为商铺标价的10%.第6讲┃归类示例方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后，每年可获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用．(1)请问，投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高？为什么？(2)对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元．问：甲、乙两人各投资了多少万元．注：投资收益率＝投资收益实际投资额×100%第6讲┃归类示例[解析](1)利用方案的叙述，可以得到投资的收益，即可得到收益率，即可进行比较；(2)利用(1)的表示，根据二者的差是5万元，便可列方程求解．第6讲┃归类示例解：(1)设商铺标价为x万元，则按方案一购买，则可获投资收益(120%－1)·x＋x·10%×5＝0.7x，投资收益率为0.7xx×100%＝70%.按方案二购买，则可获投资收益(120%－0.85)·x＋x×10%×(1－10%)×3＝0.62x.∴投资收益率为0.62x0.85x×100%≈72.9%.∴投资者选择方案二所获得的投资收益率更高．(2)由题意得0.7x－0.62x＝5，解得x＝62.5(万元)．∴甲投资了62.5万元，乙投资了53.125万元．用方程或方程组解决实际问题，关键是先分析出实际问题中的等量关系，一个方程需要一个等量关系，方程组则需要两个等量关系．第6讲┃归类示例第7讲┃一元二次方程及其应用第7讲┃考点聚焦考点聚焦考点1一元二次方程的概念及一般形一元二次方程定义含有________个未知数，并且未知数最高次数是________的整式方程一般形式________________防错提醒在一元二次方程的一般形式中要注意强调ax2＋bx＋c＝0(a≠0)一2ax2＋bx＋c＝0(a≠0)第7讲┃考点聚焦考点2一元二次方程的四种解法直接开平方法适合于(x＋a)2＝b(b≥0)或(ax＋b)2＝(cx＋d)2形式的方程因式分解法基本思想把方程化成ab＝0的形式，得a＝0或b＝0方法规律常用的方法主要运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式型因式分解第7讲┃考点聚焦求根公式一元二次方程ax2＋bx＋c＝0,且b2－4ac≥0时，则x1,2＝－b±b2－4ac2a公式法公式法解方程的一般步骤(1)将方程化成ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式；(2)确定a，b，c的值；(3)若b2－4ac≥0，则代入求根公式，得x1，x2；若b2－4ac0，则方程无实数根第7讲┃考点聚焦配方法定义通过配成完全平方的形式解一元二次方程配方法解方程的步骤①化二次项系数为1；②把常数项移到方程的另一边；③在方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把方程整理成(x＋a)2＝b的形式；⑤运用直接开平方解方程考点3一元二次方程的根的判别式第7讲┃考点聚焦两个不相等两个相等没有根的判别式定义关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为b2－4ac.(1)b2－4ac0⇔方程有________的实数根；(2)b2－4ac＝0⇔方程有________的实数根；判别式与根的关系(3)b2－4ac0⇔方程________实数根一元二次方程根的判别式防错提醒在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件考点4一元二次方程的根与系数的关系第7讲┃考点聚焦考点5一元二次方程的应用第7讲┃考点聚焦应用类型等量关系增长率问题(1)增长率＝增量÷基础量(2)设a为原来的量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a(1＋m)n＝b，当m为平均下降率时，则a(1－m)n＝b利率问题(1)本息和＝本金＋利息(2)利息＝本金×利率×期数销售利润问题(1)毛利润＝售出价－进货价(2)纯利润＝售出价－进货价－其他费用(3)利润率＝利润÷进货价第7讲┃归类示例归类示例►类型之一一元二次方程的有关概念命题角度：1．一元二次方程的概念；2．一元二次方程的一般式；3．一元二次方程的解的概念．例1已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0有一个根是－a(a≠0)，则a－b的值为()A．－1B．0C．1D．2A[解析]把x＝－a代入x2＋bx＋a＝0，得(－a)2＋b×(－a)＋a＝0，∴a2－ab＋a＝0，所以a－b＋1＝0，∴a－b＝－1，故选择A►类型之二一元二次方程的解法命题角度：1．直接开平方法；2．配方法；3．公式法；4．因式分解法．第7讲┃归类示例例2解方程：2（x-3)=3x(x-3)第7讲┃归类示例利用因式分解法解方程时，当等号两边有相同的含未知数的因式(如例2)时，不能随便先约去这个因式，因为如果约去则是默认这个因式不为零，那么如果此因式可以为零，则方程会失一个根，出现漏根错误．所以应通过移项，提取公因式的方法求解．第7讲┃归类示例►类型之三一元二次方程根的判别式第7讲┃归类示例命题角度：1．判别一元二次方程根的情况；2．求一元二次方程字母系数的取值范围．例3[2012·绵阳]已知关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0.(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根；(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长．第7讲┃归类示例解：(1)∵b2－4ac＝[－(m＋2)]2－4×1×(2m－1)＝m2－4m＋8＝(m－2)2＋40，∴方程恒有两个不相等的实数根．(2)①把x＝1代入方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0中，解得m＝2，∴原方程为x2－4x＋3＝0，解这个方程得：x1＝1，x2＝3，∴方程的另一个根为x＝3.②当1、3为直角边时，斜边为12＋32＝10，∴周长为1＋3＋10＝4＋10.当3为斜边时，另一直角边为32－12＝22，∴周长为1＋3＋22＝4＋22.(1)判别一元二次方程有无实数根，就是计算判别式Δ＝b2－4ac的值，看它是否大于0.因此，在计算前应先将方程化为一般式．(2)注意二次项系数不为零这个隐含条件第7讲┃归类示例►类型之四一元二次方程的应用命题角度：1．用一元二次方程解决变化率问题：a(1±m)n